2012年高考数学二轮复习 专题六 解析几何综合检测 新人教A版

用心 爱心 专心 1 20122012 年高考数学二轮复习综合检测 专题六年高考数学二轮复习综合检测 专题六 解析几何解析几何 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 2011 新课标文 4 椭圆 1 的离心率为 x2 16 y2 8 A B 1 3 1 2 C D 3 3 2 2 答案 D 解析 e 2 2 4 2 2 2 2011 湖北理 4 将两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 另一个顶点是此抛物线焦 点的正三角形个数记为n 则 A n 0 B n 1 C n 2 D n 3 答案 C 解析 由抛物线的对称性知 在抛物线上的两个顶点关于x轴对称 所以过抛物线焦 点F作斜率为 或斜率为 的直线与抛物线有两个不同交点 它们关于x轴的对称点也 3 3 3 3 在抛物线上 这样可得到两个正三角形 3 文 2011 陕西理 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为x 2 则抛物线的方 程是 A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 答案 B 解析 准线x 2 2 p 4 开口向右 p 2 y2 8x 理 2011 广东文 8 设圆C与圆x2 y 3 2 1 外切 与直线y 0 相切 则C的圆 心轨迹为 A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 用心 爱心 专心 2 答案 A 解析 由题意作图可知 圆C的圆心到 0 3 的距离等于到直线y 1 的距离 所 以C的圆心轨迹为抛物线 4 2011 福建 5 月质检 已知椭圆 1 0 b0 直线 b2 1 x ay 2 0 与直线x b2y 1 0 互相垂 直 则ab的最小值等于 A 1 B 2 C 2 D 2 23 答案 B 解析 由两条直线垂直的充要条件可得 1 解得a 所以 b2 1 a 1 b2 b2 1 b2 ab b b 又因为b 0 故b 2 2 当且仅当b 即b 1 时 b2 1 b2 b2 1 b 1 b 1 b b 1 b 1 b 取 8 2011 唐山二模 圆x2 y2 50 与圆x2 y2 12x 6y 40 0 的公共弦长为 A B 56 C 2 D 2 56 答案 C 解析 x2 y2 50 与x2 y2 12x 6y 40 0 作差 得两圆公共弦所在的直线方程为 2x y 15 0 圆x2 y2 50 的圆心 0 0 到 2x y 15 0 的距离d 3 因此 公共弦长 5 为 2 2 选 C 5 2 2 3 5 25 9 2011 山东理 8 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆 x2 a2 y2 b2 C x2 y2 6x 5 0 相切 且双曲线的右焦点为圆C的圆心 则该双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 3 y2 6 x2 6 y2 3 用心 爱心 专心 4 答案 A 解析 依题意 C方程为 x 3 2 y2 4 圆心C 3 0 半径r 2 双曲线的 右焦点F2为 3 0 即c 3 又双曲线的渐近线方程为y x 即 b a bx ay 0 2 即b 2 a2 9 4 5 故选 A 3b a2 b2 10 文 2011 青岛 4 月质检 若双曲线过点 m n m n 0 且渐近线方程为 y x 则双曲线的焦点 A 在x轴上B 在y轴上 C 在x轴或y轴上D 无法判断是否在坐标轴上 答案 A 解析 由于还未确定焦点的位置 因此分两种情况进行讨论 双曲线渐近线方程为 y x a b 假设焦点在x轴上 设双曲线方程为 1 由图像过点 m n 得 x2 a2 y2 a2 1 m2 n2 a2 因为m n 所以等式能够成立 假设焦点在y轴上 设双曲线方 m2 a2 n2 a2 程为 1 由图像过点 m n 得 1 n2 m2 a2 因为m n 所以等式不能 y2 a2 x2 a2 n2 a2 m2 a2 够成立 因此焦点在x轴上 理 2011 湘潭五模 已知圆O x2 y2 25 点A 3 0 B 3 0 一条抛物线以圆 O的切线为准线且过点A和B 则这列抛物线的焦点的轨迹方程是 A 1 x 0 B 1 y 0 x2 25 y2 16 x2 25 y2 16 C 1 x 0 D 1 y 0 x2 25 y2 9 x2 25 y2 9 答案 B 解析 由题意可知 根据抛物线的定义 抛物线上的点 3 0 和 3 0 到准线的距离 d1 d2与其到焦点 x y 的距离分别相等 所以 d1 d2 又坐标原点是点 3 0 和 3 0 的中点 令圆 x 3 2 y2 x 3 2 y2 O的半径为R 所以d1 d2 2R 所以 d1 d2 10 所以 x 3 2 y2 x 3 2 y2 点 x y 满足到两定点 3 0 和 3 0 的距离之和等于定值 所以点 x y 的轨迹是椭圆 其方程为 1 当y 0 时 抛物线不可能过点 3 0 和点 3 0 所以抛物线的焦点 x2 25 y2 16 的轨迹方程是 1 y 0 故选 B x2 25 y2 16 11 2011 大纲全国卷文 11 设两圆C1 C2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则 两圆心的距离 C1C2 用心 爱心 专心 5 A 4 B 4 2 C 8 D 8 2 答案 C 解析 C1 C2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 C1 C2的圆心都在y x上 由题意 圆C1 C2的圆心坐标 x1 x1 x2 x2 为方程 x 4 2 x 1 2 x2的两根 即x2 10 x 17 0 x1 x2 10 x1 x2 17 C1C2 x1 x2 8 22 x1 x2 2 4x1x2 12 2011 四川理 10 在抛物线y x2 ax 5 a 0 上取横坐标为x1 4 x2 2 的 两点 过这两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 5y2 36 相 切 则抛物线顶点的坐标为 A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 答案 A 解析 因为x1 4 y1 16 4a 5 11 4a 又 x2 2 y2 4 2a 5 2a 1 则经过两点的斜率 k 2 a y1 y2 x1 x2 11 4a 2a 1 4 2 12 6a 1 6 由导数的几何意义 在 x0 y0 处抛物线切线斜率 y 2x a x x0 2x0 a 由题意 2x0 a 2 a x0 1 y0 4 a 所以切线方程为 y 4 a 2 a x 1 利用圆心 0 0 到切线的距离等于半径 则 r 则a 4 则抛物线y x2 4x 5 顶点坐标 2 9 故选 A a 4 a 2 1 2 a 2 6 5 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将答案填写在题中横线上 13 文 2011 北京文 10 已知双曲线x2 1 b 0 的一条渐近线的方程为 y2 b2 y 2x 则b 答案 2 解析 双曲线的渐近线方程为y x 因为a 1 又知一条渐近线方程为y 2x b a 所以b 2 理 2011 新课标理 14 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点 F1 F2在x轴上 离心率为 过F1的直线l交C于A B两点 且 ABF2的周长为 16 那么 2 2 用心 爱心 专心 6 C的方程为 答案 1 x2 16 y2 8 解析 依题意 4a 16 即a 4 又e c a 2 2 c 2 b2 8 2 椭圆C的方程为 1 x2 16 y2 8 14 2011 辽宁理 13 已知点 2 3 在双曲线C 1 a 0 b 0 上 C的焦距 x2 a2 y2 b2 为 4 则它的离心率为 答案 2 解析 Error Error a 1 c 2 e 2 c a 15 2011 大连一模 过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点作一条渐近线的垂线 x2 a2 y2 b2 垂足恰好落在曲线 1 上 则双曲线的离心率为 x2 b2 y2 a2 答案 2 解析 不妨设双曲线的一个焦点为 c 0 c 0 一条渐近线方程为y x 由Error b a 得垂足的坐标为 把此点坐标代入方程 1 得 1 化简 并由 a2 c ab c x2 b2 y2 a2 a4 b2c2 a2b2 a2c2 c2 a2 b2得a b e c a2 16 已知椭圆 1 a b 0 A 2 0 为长轴的一个端点 弦BC过椭圆的中心O 且 x2 a2 y2 b2 0 2 则椭圆的方程为 AC BC OC OB BC BA 答案 y2 1 x2 4 3 4 解析 2 OC OB BC BA 2 BC AC 又 0 AC BC AC BC AOC为等腰直角三角形 用心 爱心 专心 7 2 点C的坐标为 1 1 或 1 1 OA 点C在椭圆上 1 又a2 4 1 a2 1 b2 b2 故所求椭圆方程为 y2 1 4 3 x2 4 3 4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 2011 福建文 18 如图 直线l y x b与抛物线 C x2 4y相切于点A 1 求实数b的值 2 求以点A为圆心 且与抛物线C的准线相切的圆的方程 解析 1 由Error 得x2 4x 4b 0 直线l与抛物线相切 4 2 4 4b 0 b 1 2 由 1 知b 1 方程 为x2 4x 4 0 解得x 2 代入x2 4y中得 y 1 A 2 1 圆 A 与抛物线准线y 1 相切 r 1 1 2 所以圆 A 的方程为 x 2 2 y 1 2 4 18 本小题满分 12 分 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 且经过点 x2 a2 y2 b2 1 2 P 1 3 2 1 求椭圆C的标准方程 2 设F是椭圆C的左焦点 判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系 并说明理由 解析 1 椭圆 1 a b 0 的离心率为 且经过点P 1 x2 a2 y2 b2 1 2 3 2 用心 爱心 专心 8 Error 即Error 解得Error 椭圆C的标准方程为 1 x2 4 y2 3 2 a2 4 b2 3 c 1 a2 b2 椭圆C的左焦点坐标为 1 0 以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2 y2 4 圆心坐标是 0 0 半径为 2 以PF为直径的圆的方程为x2 y 2 3 4 25 16 圆心坐标是 0 半径为 3 4 5 4 两圆心之间的距离为 2 0 0 2 3 4 0 2 3 4 5 4 故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切 19 本小题满分 12 分 文 已知双曲线方程x2 1 y2 2 1 求证 对一切实数k 直线kx y k 0 与双曲线均相交 22 2 求以点A 2 1 为中点的弦的方程 解析 1 由Error 得 2 k2 x2 2k k 1 x 2 k2 2k 2 0 2 当k 时 方程 有根 当k 时 8 k 2 2 0 故方程 总有实根 22 即直线与双曲线均相交 2 设过点A 2 1 的弦的端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 则Error 两式相减 有kP1P2 4 y1 y2 x1 x2 2 2 1 1 故直线方程为 4x y 7 0 理 2011 北京文 19 已知椭圆G 1 a b 0 的离心率为 右焦点为 x2 a2 y2 b2 6 3 2 0 斜率为 1 的直线l与椭圆G交于A B两点 以AB为底边作等腰三角形 顶点为 2 P 3 2 1 求椭圆G的方程 2 求 PAB的面积 用心 爱心 专心 9 解析 1 由已知得 c 2 2 c a 6 3 解得a 2 又b2 a2 c2 4 3 所以椭圆G的方程为 1 x2 12 y2 4 2 设直线l的方程为y x m 由Error 得 4x2 6mx 3m2 12 0 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x10 故a 1 21 本小题满分 12 分 文 2011 厦门模拟 已知椭圆C的中心在坐标原点 焦点在 x轴上 离心率为 它的一个顶点恰好是抛物线y x2的焦点 2 5 5 1 4 1 求椭圆C的标准方程 2 过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A B两点 交y轴于M点 若 1 MA AF 2 求 1 2的值 MB BF 解析 1 设椭圆C的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 抛物线方程为x2 4y 其焦点为 0 1 椭圆C的一个顶点为 0 1 即b 1 由e 得a2 5 c a a2 b2 a 2 5 5 椭圆C的标准方程为 y2 1 x2 5 2 由 1 得椭圆C的右焦点为F 2 0 设A x1 y1 B x2 y2 M 0 y0 显然直线l的斜率存在 设直线l的方程为y k x 2 代入 y2 1 并整理得 x2 5 1 5k2 x2 20k2x 20k2 5 0 x1 x2 x1x2 20k2 1 5k2 20k2 5 1 5k2 又 x1 y1 y0 x2 y2 y0 2 x1 y1 2 x2 y2 MA MB AF BF 由 1 2 MA AF MB BF 得 x1 y1 y0 1 2 x1 y1 x2 y2 y0 2 2 x2 y2 1 2 x1 2 x1 x2 2 x2 用心 爱心 专心 11 1 2 10 x1 2 x1 x2 2 x2 2 x1 x2 2x1x2 4 2 x1 x2 x1x2 理 2011 宁夏银川一中 5 月三模 已知圆C x 1 2 y2 8 定点A 1 0 M为圆上 一动点 点P在AM上 点N在CM上 且满足 2 0 点N的轨迹为曲线E AM AP NP AM 1 求曲线E的方程 2 若直线y kx 与 1 中所求点N的轨迹交于不同两点F H O是坐标原点 k2 1 且 求k2的取值范围 2 3 OF OH 3 4 解析 1 因为 2 0 AM AP NP AM 所以NP为线段AM的垂直平分线 如图 连接AN 则 NA NM 所以 NC NA NC NM CM 2 2 CA 2 所以动点N的轨迹是以C 1 0 A 1 0 为焦点的椭圆 且长轴长为 2a 2 焦距 2 2c 2 所以a c 1 b2 1 2 所以曲线E的方程为 y2 1 x2 2 2 设F x1 y1 H x2 y2 则由Error 消去y得 2k2 1 x2 4kx 2k2 0 8k2 0 k 0 k2 1 x1 x2 x1x2 4k k2 1 2k2 1 2k2 2k2 1 x1x2 y1y2 OF OH x1x2 kx1 kx2 k2 1k2 1 k2 1 x1x2 k x1 x2 k2 1 k2 1 k2 1 k2 1 2k2 2k2 1 4k2 k2 1 2k2 1 k2 1 2k2 1 用心 爱心 专心 12 k2 1 2 3 k2 1 2k2 1 3 4 1 2 22 本小题满分 14 分 椭圆G 1 a b 0 的左 右两个焦点分别为F1 c 0 x2 a2 y2 b2 F2 c 0 M是椭圆G上一点 且满足 0 F1M F2M 1 求离心率e的取值范围 2 当离心率e取得最小值时 点N 0 3 到椭圆上的点的最远距离为 5 2 求此时椭圆G的方程 设斜率为k k 0