2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学解析几何汇编

新课标全国卷新课标全国卷 文科数学汇编文科数学汇编 解解 析析 几几 何何 一 选择题一 选择题 2017 5 已知是双曲线的右焦点 是上一点 且与轴垂直 点的坐标F 2 2 1 3 y C x PCPFxA 是 则的面积为 1 3 APF A B C D 1 3 1 2 2 3 3 2 解法 选 D 由得 所以 将代入 得 所以 222 4cab 2c 2 0 F2x 2 2 1 3 y x 3y 又 A 的坐标是 1 3 故 APF 的面积为 选 D 3PF 13 3 2 1 22 2017 12 设 A B 是椭圆 C 长轴的两个端点 若 C 上存在点 M 满足 AMB 120 则 22 1 3 xy m m 的取值范围是 A B C D 0 1 9 0 3 9 0 1 4 0 3 4 解法 选 A 图 1 图 2 解法一 设是椭圆 C 短轴的两个端点 易知当点是椭圆 C 短轴的端点时最大 依题意只EF MAMB 需使 0 120AEB 1 当时 如图 1 解得 故 03m 0 3 tantan603 2 AEBa bm 1m 01m 2 当时 如图 2 解得 3m 0 tantan603 23 AEBam b 9m 综上可知 m 的取值范围是 故选 A 0 1 9 解法二 设是椭圆 C 短轴的两个端点 易知当点是椭圆 C 短轴的端点时最大 依题意只EF MAMB 需使 0 120AEB 1 当时 如图 1 即 03m 0 1 cos cos120 2 EA EB 1 2 EA EB EA EB 带入向量坐标 解得 故 1m 01m 2 当时 如图 2 即 3m 0 1 cos cos120 2 EA EB 1 2 EA EB EA EB 带入向量坐标 解得 9m 综上可知 m 的取值范围是 故选 A 0 1 9 2016 5 直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 则该椭圆ll 1 4 的离心率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 解析 选 B 由等面积法可得 故 从而 故选 B 111 2 224 bcab 1 2 ca 1 2 c e a 2015 5 已知椭圆 E 的中心为坐标原点 离心率为 E 的右焦点与抛物线 C y2 8x 的焦点重合 1 2 A B 是 C 的准线与 E 的两个交点 则 AB A 3 B 6 C 9 D 12 解 选 B 抛物线的焦点为 2 0 准线为 x 2 所以 c 2 从而 a 4 所以 b2 12 所以椭圆方程为 将 x 2 代入解得 y 3 所以 AB 6 故选 B 22 1 1612 xy 2014 10 10 已知抛物线 C y2 x 的焦点为 F A x0 y0 是 C 上一点 AF 则 x0 A 0 5 4 x A 1 B 2 C 4 D 8 解 根据抛物线的定义可知 AF 解之得 x0 1 故选 A 00 15 44 xx 2014 4 4 已知双曲线的离心率为 2 则 a D 0 1 3 2 2 2 a y a x A 2 B C D 1 2 6 2 5 解 解得 a 1 故选 D 222 22 3 2 caba e aaa 2013 4 已知双曲线 C a 0 b 0 的离心率为 则 C 的渐近线方程为 22 22 1 xy ab 5 2 A y B y C y D y x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 解析 选 C 即 c2 a2 b2 5 2 e 5 2 c a 2 2 5 4 c a 2 2 1 4 b a 1 2 b a 双曲线的渐近线方程为 渐近线方程为 故选 C b yx a 1 2 yx 2013 8 O 为坐标原点 F 为抛物线 C y2 的焦点 P 为 C 上一点 若 PF 则 POF4 2x4 2 的面积为 A 2 B C D 42 22 3 答案 C 解析 利用 PF 可得 xP yP S POF OF yP 24 2 P x 3 22 6 1 2 2 3 故选 C 2012 4 4 设 是椭圆 E 的左 右焦点 P 为直线上一点 1 F 2 F 22 22 xy ab 0ab 3 2 a x 是底角为 30 的等腰三角形 则 E 的离心率为 21 F PF A B 1 2 2 3 C D 3 4 4 5 解析 如图所示 是等腰三角形 21 F PF 2121 30F FPF PF 212 2F PFFc 2 60PF Q 2 30F PQ 2 F Qc 又 所以 解得 因此 故选择 C 2 3 2 a F Qc 3 2 a cc 3 4 ca 3 4 c e a 2012 10 10 等轴双曲线 C 的中心在原点 焦点在轴上 x C 与抛物线的准线交于 A B 两点 2 16yx 则 C 的实轴长为 4 3AB A B 22 2 C 4 D 8 解析 设等轴双曲线 C 的方程为 即 22 22 1 xy aa 222 xya 0a 抛物线的准线方程为 联立方程 解得 2 16yx 4x 222 4 xya x 22 16ya 因为 所以 从而 所以 4 3AB 222 2 448AByy 2 12y 2 1612a 2 4a 因此 C 的实轴长为 故选择 C 2a 24a 2011 4 椭圆的离心率为 22 1 168 xy A B C D 1 3 1 2 3 3 2 2 解析 选 D 因为中 所以 所 22 1 168 xy 22 16 8ab 222 8cab 以 2 22 42 c e a 2011 9 已知直线 过抛物线的焦点 且与的对称轴垂直 与交于 两点 lClCAB12AB 为的准线上一点 则的面积为 PCABP A B C D 18243648 解析 不妨设抛物线的标准方程为 由于 垂直于对称轴且过焦点 故直线 的方程 2 20ypx p ll 为 代入得 即 又 故 所以抛物线的准线方程 2 p x 2 2ypx yp 2ABp 12AB 6p 为 故 故选 C 3x 1 6 1236 2 ABP S 二 填空题二 填空题 2016 15 设直线与圆相交于两点 若 则圆2yxa 22 220C xyay A B2 3AB 的面积为 C 解析 由题意直线即为 圆的标准方程为 4 20 xya 2 22 2xyaa 所以圆心到直线的距离 所以 2 a d 2 2 22 2 a ABa 2 222 3 2 a 故 所以 故填 22 24ar 2 4Sr 4 2015 16 已知 F 是双曲线 C 的右焦点 P 是 C 左支上一点 当 APF 周长 2 2 1 8 y x 0 6 6 A 最小时 该三角形的面积为 解 a 1 b2 8 c 3 F 3 0 设双曲线的的左焦点为 F1 由双曲线定义知12 6 PF 2 PF1 APF 的周长为 PA PF AF PA AF PF1 2 由于 AF 是定值 只要 PA PF1 最小 即 A P F1共线 F1 3 0 直线 AF1的方程为 联立 8x2 y2 8 消去 x 整理 0 6 6 A1 36 6 xy 得 y2 y 96 0 解得 y 或 y 舍去 此时 S APF S AFF1 6 62 68 6 S PFF1 3 6 62 6 12 6 三 解答题三 解答题 2017 20 设 A B 为曲线 C 上两点 A 与 B 的横坐标之和为 4 4 2 x y 1 求直线 AB 的斜率 2 设 M 为曲线 C 上一点 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行 且 求直线 AB 的方BMAM 程 解析 第一问 解法 1 设 AB 直线的斜率为 k 又因为 A B 都在曲线 C 上 所以 1122 A x yB xy 4 2 11 xy 4 2 22 xy 得由已知条件 22 211221 21 44 xxxxxx yy 12 4xx 所以 即直线 AB 的斜率 k 1 21 21 1 yy xx 解法 2 设 AB 直线的方程为 y kx b 所以 2211 yxByxA 4 2 xy bkxy 整理得 且所以 k 1 4 044 21 2 kxxbkxx 4 21 xx 第二问 设 所以 又 所以 00 M xy 2 00 4yx 1 2 yx 000 1 1 2 1 2 kxxy 所以 M 2 1 且 11 2 1 MAxy 22 2 1 MBxy AMBM 0AM BM A 即 设 AB 直线的方程为 05 2 21212121 yyyyxxxx yxb 4 2 xy bxy 化简得 所以044 2 bxx 2 212121 24 4byybyybxx 由 得所以 b 7 或者 b 1 舍去 077 2 bb 所以 AB 直线的方程为 y x 7 2016 20 在直角坐标系中 直线交轴于点 交抛物线xOy 0 l yt t yM 于点 关于点的对称点为 连结并延长交于点 2 2 0 C ypx p PMPNONCH 1 求 2 除以外 直线与是否有其他公共点 请说明理由 OH ON HMHC 解析解析 1 如图 由题意不妨设 可知点的坐标分别为 0t M P N 0 Mt 2 2 t Pt p 2 N t t p H N P M O y x 从而可得直线的方程为 联立方程 解得 ONyx p t 2 2 p x t ypx y 2 2 x t p 2yt 即点的坐标为 从而由三角形相似可知 H 2 2 2 t t p 2 2 H N OHyt ONyt 2 由于 可得直线的方程为 0 Mt 2 2 2 t Ht p MH 2 2 t ytx t p 整理得 联立方程 整理得 2 220typxt 2 2 220 2 ty y pxt px 22 440tyyt 则 从而可知和只有一个公共点 22 16160tt MHCH 2015 20 已知过点 A 0 1 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C x 2 2 y 3 2 1 交于 M N 两点 求 k 的取值范围 12 其中 O 为坐标原点 求 MN OM ON 解 依题可设直线 l 的方程为 y kx 1 则圆心 C 2 3 到的 l 距离 解得 2 23 1 1 1 k d k 4747 33 k 所以 k 的取值范围是 47 47 33 将 y kx 1 代入圆 C 的方程整理得 k2 1 x2 4 k 1 x 7 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 1212 22 4 1 7 11 k xxx x kk 所以 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 1 kx2 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 OM ON 12 解得 k 1 所以 l 的方程为 y x 1 2 4 1 8 1 k k k 1k 故圆心在直线 l 上 所以 MN 2 2013 21 已知圆 M x 1 2 y2 1 圆 N x 1 2 y2 9 动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切 圆心 P 的轨迹为曲线 C 1 求 C 的方程 2 l 是与圆 P 圆 M 都相切的一条直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 当圆 P 的半径最长时 求 AB 解 由已知得圆 M 的圆心为 M 1 0 半径 r1 1 圆 N 的圆心为 N 1 0 半径 r2 3 设圆 P 的圆心 为 P x y 半径为 R 1 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切 所以 PM PN R r1 r2 R r1 r2 4 由椭圆的定义可知 曲线 C 是以 M N 为左 右焦点 长半轴长为 2 短半轴长为的椭圆 左顶3 点除外 其方程为 x 2 22 1 43 xy 2 对于曲线 C 上任意一点 P x y 由于 PM PN 2R 2 2 所以 R 2 当且仅当圆 P 的圆心为 2 0 时 R 2 所以当圆 P 的半径最长时 其方程为 x 2 2 y2 4 若 l 的倾斜角为 90 则 l 与 y 轴重合 可得 AB 2 3 若 l 的倾斜角不为 90 由 r1 R 知 l 不平行于 x 轴 设 l 与 x 轴的交点为 Q 则 可求 1 QPR QMr 得 Q 4 0 所以可设 l y k x 4 由 l 与圆 M 相切得 1 解得 k 2 3 1 k k 2 4 当 k 时 将代入 并整理得 7x2 8x 8 0 解得 2 4 2 2 4 yx 22 1 43 xy x1 2 46 2 7 所以 AB x2 x1 2 1k 18 7 当 k 时 由图形的对称性可知 AB 2 4 18 7 综上 AB 或 AB 2 3 18 7 2012 20 设抛物线 C 的焦点为 F 准线为 A 为 C 上一点 已知以 F 为圆心 pyx2 2 0 pl FA 为半径的圆 F 交 于 B D 两点 l 1 若 BFD 90 ABD 的面积为 求的值及圆 F 的方程 24p 2 若 A B F 三点在同一直线上 直线与平行 且与 C 只有一个公共点 mnmn 求坐标原点到 距离的比值 mn 解析 1 若 BFD 90 则 BFD 为等腰直角三角形 且 BD 圆 F 的半径 2p 2rFAp 又根据抛物线的定义可得点 A 到准线 的距离l 2dFAp 因为 ABD 的面积为 24 所以 即 1 4 2 2 BD d 1 224 2 2 pp 所以 由 解得 2 4p 0 p2p 从而抛物线 C 的方程为 2 4xy 圆 F 的圆心 F 0 1 半径 2 2rFA 因此圆 F 的方程为 22 1 8xy 2 若 A B F 三点在同一直线上 m 则 AB 为圆 F 的直径 ADB 90 根据抛物线的定义 得 所以 从而直线的斜率为或 1 2 ADFAAB 30ABD m 3 3 3 3 当直线的斜率为时 直线的方程为 原点 O 到直线的距离m 3 3 m 3 32 p yx m 1 2 2 3 1 3 p d 依题意设直线的方程为 联立 得 n 3 3 yxb 2 3 3 2