2012年中考数学复习提高练习 圆

用心 爱心 专心1 圆圆 提高测试提高测试 一 选择题 每题 一 选择题 每题 2 2 分 共分 共 2020 分 分 1 有 4 个命题 直径相等的两个圆是等圆 长度相等的两条弧是等弧 圆中最大的弧是过圆心的弧 一条弦把圆分为两条弧 这两条弧不可能是等弧 其中真命题是 A B C D 提示 长度相等的两弧不一定是等弧 故 不对 当弦是直径时 直径把圆分为两个半圆 它们是等弧 故 不对 答案 A 点评 本题考查等圆 等弧 直线与弦的概念 注意 等弧是能互相重合的两条弧 直径是 圆中最大的弦 2 如图 点I为 ABC的内心 点O为 ABC的外心 O 140 则 I为 A 140 B 125 C 130 D 110 提示 因点O为 ABC的外心 则 BOC A分别是所对的圆心角 圆周角 所以 O 2 A 故 A 140 70 又因为I为 ABC的内心 所以 2 1 I 90 A 90 70 125 2 1 2 1 答案 B 点评 本题考查圆心角与圆周角的关系 内心 外心的概念 注意三角形的内心与两顶点组成的角与另 一角的关系式 3 如果正多边形的一个外角等于 60 那么它的边数为 A 4 B 5 C 6 D 7 提示 正多边形的外角等于它的中心角 所以 60 故n 6 n 360 答案 C 点评 此题考查正多边形的外角与中心角的关系 注意 正n边形的中心角为 且等于它的一个 n 360 外角 4 如图 AB是 O的弦 点C是弦AB上一点 且BC CA 2 1 连结OC并延长 交 O于D 又DC 2 厘米 OC 3 厘米 则圆心O到AB的距离为 A 厘米 B 厘米 C 2 厘米 D 3 厘米67 提示 延长DO交 O于E 过点O作OF AB于F 则CE 8 厘米 由相交弦定理 得DC CE AC CB 所以AC 2 AC 2 8 故AC 2 厘米 2 从而BC 4厘米 2 由垂径定理 得 AF FB 2 4 2 1 22 3 厘米 2 所以CF 3 2 厘米 222 在Rt COF中 OF 厘米 22 OFOC 22 2 3 7 答案 C 点评 本题考查相交弦定理 垂径定理 注意 在圆中求线段的长 往往利用相交弦定理 垂径定理进 行线段的转换 再结合勾股定理建立等式 5 等边三角形的周长为 18 则它的内切圆半径是 用心 爱心 专心2 A 6 B 3 C D 333 3 3 提示 等边三角形的边长为 6 则它的面积为 62 9 又因为三角形的面积等于内切圆的半径 4 3 3 与三角形的周长的积的一半 所以 9 r 18 r为内切圆半径 3 2 1 解此方程 得r 3 答案 C 点评 本题考查等边三角形的面积的求法 内切圆半径的求法 注意 求三角形的内切圆的半径 通常 用面积法 6 如图 O的弦AB CD相交于点P PA 4 厘米 PB 3 厘米 PC 6 厘米 EA切 O于点A AE与CD的 延长线交于点E AE 2厘米 则PE的长为 5 A 4 厘米 B 3 厘米 C 厘米 D 厘米 4 5 2 提示 由相交弦定理 得PA PB PD PC 4 3 PD 6 PD 2 厘米 由切割线定理 得 AE2 ED EC 2 2 ED ED 2 6 解此方程得5 ED 2 或ED 10 舍去 PE 2 2 4 厘米 答案 A 点评 本题考查相交弦定理 切割线定理 注意 应用相交弦定理 切割线定理往往建立方程 通过解 方程求解 7 一个扇形的弧长为 20 厘米 面积是 240 厘米 2 则扇形的圆心角是 A 120 B 150 C 210 D 240 提示 设扇形的圆心角为n度 半径为R 则解方程组得 240 360 20 180 2 Rn Rn 150 24 n R 答案 B 点评 本题考查扇形的弧长 面积公式 注意 应熟记扇形的弧长公式 扇形的面积公式 8 两圆半径之比为 2 3 当两圆内切时 圆心距是 4 厘米 当两圆外切时 圆心距为 A 5 厘米 B 11 厘米 C 14 厘米 D 20 厘米 提示 设两圆半径分别为 2 x 3 x厘米 则内切时有 3 x 2 x 4 所以x 4 于是两圆半径分别为 8 厘米 12 厘米 故外切时圆心距为 20 厘米 答案 D 点评 本题考查两圆内切 外切时 圆心距与两圆半径的关系 注意 要理解并记忆两圆的五种位置关 系及圆心距与半径的关系 9 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍 则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是 A 60 B 90 C 120 D 180 提示 设圆锥的母线长为a 圆心角度数为n 底面圆的半径为r 则 用心 爱心 专心3 r an r an 2 180 2 360 2 2 解此方程组 得 n 180 答案 D 点评 此题考查圆锥的侧面展开图的概念 注意理解圆柱 圆柱的侧面展开图的有关概念 10 如图 等腰直角三角形AOB的面积为S1 以点O为圆心 OA为半径的弧与以AB 为直径的半圆围成的图形的面积为S2 则S1与S2的关系是 A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D S1 S2 提示 设OA a 则S1 a2 弓形ACB的面积 a2 a2 2 1 4 1 2 1 在Rt AOB中 AB a 则以AB为直径的半圆面积为2 2 a 2 a2 则S2 a2 a2 a2 a2 2 1 2 AB 2 1 2 2 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 答案 C 点评 本题考查三角形 圆 弓形的面积计算 注意 弓形的面积计算方法 二 填空题 每题 二 填空题 每题 2 2 分 共分 共 2020 分 分 11 已知 O1和 O2的半径分别为 2 和 3 两圆相交于点A B 且AB 2 则 O1O2 提示 当两圆在AB的两侧时 设O1O2交AB于C 则O1O2 AB 且AC BC AC 1 在Rt AO2C中 O2C 2 22 2 ACAO 132 2 在Rt AO1C中 O1C 22 1 ACAO 22 12 3 O1O2 2 23 当两圆在AB的同侧时 同理可求O1O2 2 23 答案 2 23 点评 此题考查 两圆相交时 连心线垂直于公共弦 的应用 注意 在圆中不要漏解 因为圆是轴对 称图形 符合本题条件的两圆有两种情形 12 已知四边形ABCD是 O的外切等腰梯形 其周长为 20 则梯形的中位线长为 提示 圆外切四边形的两组对边之和相等 则上 下底之和为 10 故中位线长为 5 答案 5 点评 本题考查圆外切四边形的性质 注意 本题还可求得圆外切等腰梯形的腰长也为 5 即等于中位 线长 13 如图 在 ABC中 AB AC C 72 O过A B两点 且与BC切于点B 用心 爱心 专心4 与AC交于D 连结BD 若BC 1 则AC 5 提示 在 ABC中 AB AC 则 ABC ACB 72 BAC 36 又 BC切 O于B A DBC 36 BDC 72 ABD 72 36 36 AD BD BC 易证 CBD CAB BC 2 CD CA AD BD BC CD AC AD AC BC BC2 AC BC CA 解关于AC的方程 得AC BC 15 2 AC 1 2 15 2 5 答案 2 点评 本题考查弦切角定理 等腰三角形的性质 相似三角形的性质 注意底角为 72 的等腰三角形的特 殊性 底角的平分线把对边分成的两线段的比为 即成黄金比 2 15 14 用铁皮制造一个圆柱形的油桶 上面有盖 它的高为 80 厘米 底面圆的直径为 50 厘米 那么这个油 桶需要铁皮 不计接缝 厘米 2 不取近似值 提示 铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和 底面圆面积为 502 625 厘米 2 底面圆周长 4 1 为 50 50 厘米 则铁皮的面积为 2 625 80 50 5250 厘米 2 答案 5250 厘米 2 点评 本题考查圆柱的侧面展开图的面积及圆柱的表面积 注意 圆柱的表面积等于侧面积与两底面积 之和 5 已知两圆的半径分别为 3 和 7 圆心距为 5 则这两个圆的公切线有 条 提示 7 3 5 7 3 两圆相交 外公切线有 2 条 内公切线有 0 条 答案 2 点评 本题考查两圆的位置关系及对应的圆心距与两圆半径的关系 注意 仅仅从 5 7 3 并不能断定两圆相交 还要看 5 与 7 3 的大小关系 16 如图 以AB为直径的 O与直线CD相切于点E 且AC CD BD CD AC 8 cm BD 2 cm 则四边形ACDB的面积为 提示 设AC交 O于F 连结BF AB为 O的直径 AFB 90 连结OE 则OE CD AC OE BD 点O为AB的中点 E为CD的中点 OE BD AC 8 2 5 cm 2 1 2 1 AB 2 5 10 cm 用心 爱心 专心5 在Rt BFA中 AF CA BD 8 2 6 cm AB 10 cm BF 8 cm 22 610 四边形ACDB的面积为 2 8 8 40 cm2 2 1 答案 40 cm2 点评 本题考查直径的性质 中位线的判定与性质 切线的性质 注意 在圆中不要忽视直径这一隐含 条件 17 如图 PA PB DE分别切 O于A B C O的半径长为 6 cm PO 10 cm 则 PDE的周长是 图中知 CM R 8 MD R 8 提示 连结OA 则OA AP 在Rt POA中 PA 8 cm 22 OAOP 22 610 由切线长定理 得EA EC CD BD PA PB PDE的周长为 PE DE PD PE EC DC PD PE EA PD DB PA PB 16 cm 答案 16 cm 点评 本题考查切线长定理 切线的性质 勾股定理 注意 在有关圆的切线长的计算中 往往利用切 线长定理进行线段的转换 18 一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等 则此正方形与正六边形的面积之比为 提示 设两正多边形的外接圆半径为R 则正方形面积为 4 R2 2 R2 正六边形的面积为 2 1 6 R2 R2 所以它们的比为 2 R2 R2 4 9 4 3 3 2 3 3 2 3 3 答案 4 9 3 点评 本题考查正方形 正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系 注意 正多边形的面积通常化为 n个三角形的面积和 19 如图 已知PA与圆相切于点A 过点P的割线与弦AC交于点B 与圆相交于点D E 且PA PB BC 又PD 4 DE 21 则AB 提示 由切割线定理 得 PA2 PD PE PA 10 254 PB BC 10 PE PD DE 25 BE 25 10 15 DB 21 15 6 由相交弦定理 得 AB BC BE BD AB 10 15 6 AB 9 答案 9 点评 本题考查切割线定理与相交弦定理的应用 要观察图形 适当地进行线段间的转化 用心 爱心 专心6 20 如图 在 ABCD中 AB 4 AD 2 BD AD 以BD为直径的 O交AB于E 交CD于F 则 33 ABCD被 O截得的阴影部分的面积为 提示 连结OE DE AD BD 且AB 4 AD 2 33 DBA 30 且BD 6 BD为直径 DEB 90 DE BD sin 30 6 3 BE 6 3 2 1 2 3 3 S DEB 3 3 2 1 3 2 9 3 O为BD的中点 S BOE S DEB 2 1 4 9 3 DO BD 3 DOE 2 30 60 2 1 S阴影 2 S ADB S扇形DOE S EOB 2 2 6 32 2 1 3 360 60 4 9 3 3 答案 2 15 3 33 2 15 点评 本题考查了勾股定理 扇形面积公式 解直角三角形等知识 注意 求不规则图形面积 往往转 化为规则图形的面积的和或差的形式 三 判断题 每题 三 判断题 每题 2 2 分 共分 共 1010 分 分 21 点A B是半径为r的圆O上不同的两点 则有 0 AB 2 r 答案 点评 因为直径是圆中最大的弦 则判断正确 22 等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心 答案 点评 因为等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 根据垂径定理的推论知 顶角平分线所 在直线必过圆心 23 直角梯形的四个顶点不在同一个圆上 答案 点评 若在同一个圆上 则对角互补 故四个角全为直角 所以假设不成立 原命题成立 24 等边三角形的内心与外心重合 答案 点评 等腰三角形的顶角的平分线也是对边的中线与高 因此等边三角形的内心与外心重合 25 两圆没有公共点时 这两个圆外离 答案 点评 两圆没有公共点时 既可以是外离 也可以是内含 所以原命题不成立 四 解答题与证明题 共 四 解答题与证明题 共 5050 分 分 26 8 分 如图 ABC内接于 O AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D BE与AC相交于点F 且CB CE 求证 1 BE DG 2 CB2 CF2 BF FE 提示 1 证明利用弦切角定理进行角之间的转化可证 E GCE 把 2 变形为CB2 CF2 BF FE BF FE CF AF CF2 BF FE CF2 CF AF CF CF AF CF CA 即只要证CB2 CF CA即 可 只需证 CBF CAB 略证 1 CG为 O的切线 EBC GCE CB CE EBC E E GCE GC EB 用心 爱心 专心7 2 EBC E A FCBO 为公共角 CBF CAB CB2 CF CA CF CF AF CF2 CF AF 由相交弦定理 得 CF FA BF FE CB2 CF2 BF FE 即 CB2 CF2 BF FE 点评 对于形如a2 cd ef的等式的证明较困难 因不易找到突破口 一般先把待证明的等式进行变形 以便于看出等式中线段之间的联系 如本题中 先把CF2移到等式的右边去 再结合相交弦定理找出了思 路 27 8 分 如图 O表示一个圆形工件 图中标注了有关尺寸 且MB MA 1 4 求工件半径的长 提示 把OM向两方延长 交 O于点C D 设 O的半径为R 则可用相交弦定理求半径长 略解 把OM向两方延长 分别交 O于C D两点 设 O的半径为R 从图中知 AB 15 cm 又 MB MA 1 4 MB 15 3 cm MA 12 cm 5 1 从图中知 CM R 8 MD R 8 由相交弦定理 得 AM BM CM MD 12 3 R 8 R 8 解此方程 得 R 10 或R 10 舍去 故工件的半径长为 10 cm 点评 此题是一道实际问题 要善于把实际问题转化为数学问题 因在圆中 OM与AB相交 故向相交弦定理转化 28 8 分 已知 如图 1 O1与 O2相交于A B两点 经过A点的直线分别交 O1 O2于C D两 点 C D不与B重合 连结BD 过点C作BD的平行线交 O1于点E 连BE 1 求证 BE是 O2的切线 2 如图 2 若两圆圆心在公共弦AB的同侧 其他条件不变 判断BE和 O2的位置关系 不要求 证明 提示 1 过B作 O2的直径BH 连结AB AH 证 EBH 90 2 用类似的方法去探求 证明 1 连结AB 作 O2的直径BH 连结AH 则 ABH H 90 H ADB EBA ECA EC BD ADB ACE EBA EBA ABH 90 即 EBH 90 BE是 O2的切线 2 同理可知 BE仍是 O2的切线 点评 证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径 或直径 再证直径与半径 垂直 但此题已知条件中无 90 的角 故作直径构造 90 的角 再进行角的转换 同时两圆相交 通常作 它们的公共弦 这样把两圆中的角都联系起来了 另外 当问题进行了变式时 要学会借鉴已有的思路解 题 29 12 分 如图 已知CP为 O的直径 AC切 O于点C AB切 O于点D 并 与CP的延长线相交于点B 又BD 2 BP 用心 爱心 专心8 求证 1 PC 3 PB 2 AC PC 提示 1 因为BC BP PC 所以要证PC 3 BP 即要证BC 4 BP 用切割线定理进行转化 2 要 证AC等于 O的直径 即要证AC 2 半径 只要连结OD 易证 BOD BAC 可利用相似三角形的性质 证明结论 略证 1 BD是 O的切线 BPC是 O的割线 BD2 BP BC BD 2 BP 4 BD2 BP BC 4 BP BC BC BP PC 4 B