【同步练习】《垂径定理》（北师大）

垂径定理垂径定理 同步练习同步练习 选择题选择题 1 下列语句中 不正确的有 直径是弦 弧是半圆 经过圆内一定点可以作无数条弦 长度相等的弧是等 弧 A B C D 2 下列语句中不正确的有 平分 弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形 任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 以上都不对 3 如图 3 37 所示 在 O 中 弦 AB 的长为 6 cm 圆心 O 到 AB 的距离为 4 cm 则 O 的 半径长为 A 3 cm B 4 cm C 5 cm D 6 cm 填空题填空题 4 如图 3 38 所示 C 为的中点 CN OB 于 N 弦 CD OA 于 M 若 O 的半径为 5 A AB cm ON 4 cm 则 CD 的长等于 5 2014 陕西 第 17 题 3 分 如图 O 的半径是 2 直线 l 与 O 相交于 A B 两点 M N 是 O 上的两个动点 且在直线 l 的异侧 若 AMB 45 则四边形 MANB 面积的最 大值是 解答题解答题 6 如图 3 41 所示 AB 是直径 弦 CD AB 垂足为 P AC CD 求 OP 的长 2 3 7 如图 3 42 所示 O 的直径是 4 cm C 是的中点 弦 AB CD 相交于 P CD A AB cm 求 APC 的度数 2 3 8 如图 在 ABC 中 AB BC 2 以 AB 为直径的 O 分别交 BC AC 于点 D E 且 点 D 为 BC 的中点 1 求证 ABC 为等边三角形 2 求 DE 的长 3 在线段 AB 的延长线上是否存在一点 P 使 PBD AED 若存在 请求出 PB 的长 若不存在 请说明理由 9 如图 AB 是 O 的直径 C D 是 O 上的两点 且 AC CD 1 求证 OC BD 2 若 BC 将四边形 OBDC 分成面积相等的两个三角形 试确定四边形 OBDC 的形状 答案与解析答案与解析 选择题选择题 1 C 2 B 3 C 提示 本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用 作 OC AB 于点 C 连接 AO 则 OC 4 AC 3 所以在 Rt AOC 中 AO 5 cm 故选 C 22 ACOC 填空题填空题 4 6 cm 提示 由题意可知 CD CE 2CN 又 CN 3 所以 2222 54COON CD 2CN 6 cm 故填 6 cm 5 4 解答题解答题 6 解 连接 OC AB 是直径 CD AB CP CD 在 Rt ACP 中 AP 1 2 3 3 OP AP AO 3 AO 3 OC 在 Rt COP 中 2222 2 3 3 ACCP OC2 OP2 CP2 即 OC2 3 OC 2 解得 OC 2 OP 3 2 1 2 3 7 解 连接 OC 交 AB 于 E C 是的中点 OC AB PEC 90 作 A AB OF CD 垂足为 F CF CD cm O 的直径是 4 cm OC 2 1 2 1 2 33 2 cm 在 Rt COF 中 cosC C 30 APC 90 30 60 3 2 CF OC 8 解析 解答 1 证明 连接 AD AB 是 O 的直径 ADB 90 点 D 是 BC 的中点 AD 是线段 BC 的垂直平分线 AB AC AB BC AB BC AC ABC 为等边三角形 2 解 连接 BE AB 是直径 AEB 90 BE AC ABC 是等边三角形 AE EC 即 E 为 AC 的中点 D 是 BC 的中点 故 DE 为 ABC 的中位线 DE AB 2 1 1 2 1 2 3 解 存在点 P 使 PBD AED 由 1 2 知 BD ED BAC 60 DE AB AED 120 ABC 60 PBD 120 PBD AED 要使 PBD AED 只需 PB AE 1 分析 1 连接 AD 利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段 AB AC 联立已知的 AB BC 即可证得 ABC 是等边三角形 2 连接 BE 利用直径所对的圆周角为直角 得到 BE AC 然后利用等腰三角形三线合 一的性质得出 E 为 AC 的中点 继而利用三角形中位线的数量关系求得 DE 的长度 3 根据等边三角形的性质 可以证得 PBD 和 AED 有一组边 DE BD 和一对角 PBD AED 对应相等 所以只要再满足这组角的另一夹边对应相等就可以了 9 解析 解答 1 证明 AC CD AA ACCD ABC CBD 又 OC OB O 的半径 OCB OBC OCB CBD OC BD 2 解 OC BD 不妨设平行线 OC 与 BD 间的距离为 h 又 S OBC OC h S DBC BD h 1 2 1 2 因为 BC 将四边形 OBDC 分成面积相等的两个三角形 即 S OBC S DBC OC BD 四边形 OBDC 为平行四边形 又 OC OB 四边形 OBDC 为菱形 分析 1 首先由 AC CD 得到弧 AC 与弧 CD 相等 然后得到 ABC CBD 而 OC OB 所以得到 OCB OBC 接着得到 OCB CBD 由此即可