二次函数典型例题解析与习题训练

1 二次函数二次函数 一 知识点梳理一 知识点梳理 1 1 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函cbacbxaxy 2 0 ayx 数 2 2 二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴的抛物线 cbxaxy 2 y 二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 a 0a 0 y 0 x y 0 x 1 抛物线开口向上 并向上无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x时 y 随 x 的增大而增大 a b 2 4 抛物线有最低点 当 x 时 y a b 2 有最小值 a bac y 4 4 2 最小值 1 抛物线开口向下 并向下无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x时 y 随 x 的增大而减小 a b 2 4 抛物线有最高点 当 x 时 y 有 a b 2 最大值 a bac y 4 4 2 最大值 3 3 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴以及最值 通常选择顶点式 khxay 2 求抛物线的顶点 对称轴的方法 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 顶点是 对称轴是直线 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为xcbxaxy 2 x 由于 是方程的两个根 故 00 21 xBxA 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 4 4 抛物线中 的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 a 0 开口向上 0 开口向上 又 y x2 x m x2 x 1 2 2 1 4 m x 1 2 2 41 4 m 对称轴是直线 x 1 2 顶点坐标为 1 2 41 4 m 2 顶点在 x 轴上方 顶点的纵坐标大于 0 即 41 4 m 0 m 1 4 m 1 4 时 顶点在 x 轴上方 3 令 x 0 则 y m 即抛物线 y x2 x m 与 y 轴交点的坐标是 A 0 m AB x 轴 B 点的纵坐标为 m 当 x2 x m m 时 解得 x1 0 x2 1 A 0 m B 1 m 在 Rt BAO 中 AB 1 OA m S AOB 1 2 OA AB 4 1 2 m 1 4 m 8 故所求二次函数的解析式为 y x2 x 8 或 y x2 x 8 4 点评 正确理解并掌握二次函数中常数 a b c 的符号与函数性质及位置的关系是解答 本题的关键之处 例例 2 已知 m n 是方程 x2 6x 5 0 的两个实数根 且 m n 抛物线 y x2 bx c 的图像 经过点 A m 0 B 0 n 如图所示 1 求这个抛物线的解析式 2 设 1 中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C 抛物线的顶点 为 D 试求出点 C D 的坐标和 BCD 的面积 3 P 是线段 OC 上的一点 过点 P 作 PH x 轴 与抛物线交 于 H 点 若直线 BC 把 PCH 分成面积之比为 2 3 的两部分 请求出 P 点的坐标 分析 1 解方程求出 m n 的值 用待定系数法求出 b c 的值 2 过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M 可求出 DMC 梯形 BDBO BOC 的面积 用割补法可求出 BCD 的面积 3 PH 与 BC 的交点设为 E 点 则点 E 有两种可能 EH 3 2 EP EH 2 3 EP 解答 1 解方程 x2 6x 5 0 得 x1 5 x2 1 由 m n 有 m 1 n 5 所以点 A B 的坐标分别为 A 1 0 B 0 5 将 A 1 0 B 0 5 的坐标分 别代入 y x2 bx c 得 10 5 bc c 解这个方程组 得 4 5 b c 所以抛物线的解析式为 y x2 4x 5 2 由 y x2 4x 5 令 y 0 得 x2 4x 5 0 解这个方程 得 x1 5 x2 1 所以点 C 的坐标为 5 0 由顶点坐标公式计算 得点 D 2 9 过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M 如图所示 则 S DMC 1 2 9 5 2 27 2 S梯形 MDBO 1 2 2 9 5 14 5 S BDC 1 2 5 5 25 2 所以 S BCD S梯形 MDBO S DMC S BOC 14 27 2 25 2 15 3 设 P 点的坐标为 a 0 因为线段 BC 过 B C 两点 所以 BC 所在的直线方程为 y x 5 那么 PH 与直线 BC 的交点坐标为 E a a 5 PH 与抛物线 y x2 4x 5 的交点 坐标为 H a a2 4a 5 由题意 得 EH 3 2 EP 即 a2 4a 5 a 5 3 2 a 5 解这个方程 得 a 3 2 或 a 5 舍去 EH 2 3 EP 得 a2 4a 5 a 5 3 2 a 5 解这个方程 得 a 2 3 或 a 5 舍去 P 点的坐标为 3 2 0 或 2 3 0 例例 3 已知关于 x 的二次函数 y x2 mx 2 1 2 m 与 y x2 mx 2 2 2 m 这两个二次函数 的图像中的一条与 x 轴交于 A B 两个不同的点 1 试判断哪个二次函数的图像经过 A B 两点 2 若 A 点坐标为 1 0 试求 B 点坐标 3 在 2 的条件下 对于经过 A B 两点的二次函数 当 x 取何值时 y 的值随 x 值 的增大而减小 解答 1 对于关于 x 的二次函数 y x2 mx 2 1 2 m 由于 b2 4ac m 4 1 2 1 2 m m2 20 所以此函数的图像与 x 轴有两个不同的交点 故图像经过 A B 两点的二次函数为 y x2 mx 2 2 2 m 2 将 A 1 0 代入 y x2 mx 2 2 2 m 得 1 m 2 2 2 m 0 整理 得 m2 2m 0 解得 m 0 或 m 2 当 m 0 时 y x2 1 令 y 0 得 x2 1 0 解这个方程 得 x1 1 x2 1 此时 点 B 的坐标是 B 1 0 当 m 2 时 y x2 2x 3 令 y 0 得 x2 2x 3 0 解这个方程 得 x1 1 x2 3 此时 点 B 的坐标是 B 3 0 3 当 m 0 时 二次函数为 y x2 1 此函数的图像开口向上 对称轴为 x 0 所以当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 m 2 时 二次函数为 y x2 2x 3 x 1 2 4 此函数的图像开口向上 对称轴 为 x 1 所以当 x 1 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 点评 本题是一道关于二次函数与方程 不等式有关知识的综合题 但它仍然是反映函 数图像上点的坐标与函数解析式间的关系 抓住问题的实质 灵活运用所学知识 这类综 合题并不难解决 课堂习题课堂习题 一 填空题一 填空题 1 右图是二次函数 y1 ax2 bx c 和一次函数 y2 mx n 的图像 观察图像写出 y2 y1时 x 的取值范围 2 已知抛物线 y a2 bx c 经过点 A 2 7 B 6 7 7 C 3 8 则该抛物线上纵坐标为 8 的另一点的坐标是 3 已知二次函数 y x2 2x c2的对称轴和 x 轴相交于点 m 0 则 m 的值为 4 若二次函数 y x2 4x c 的图像与 x 轴只有 1 个交点 则 c 5 已知抛物线 y ax2 bx c 经过点 1 2 与 1 4 则 a c 的值是 6 甲 乙两人进行羽毛球比赛 甲发出一十分关键的球 出手点为 P 羽毛球飞行的水平 距离 s m 与其距地面高度 h m 之间的关系式为 h 1 12 s2 2 3 s 3 2 如下左图所 示 已知球网 AB 距原点 5m 乙 用线段 CD 表示 扣球的最大高度为 9 4 m 设乙的 起跳点 C 的横坐标为 m 若乙原地起跳 因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接 球失败 则 m 的取值范围是 7 二次函数 y x2 2x 3 与 x 轴两交点之间的距离为 8 杭州市 安居工程 新建成的一批楼房都是 8 层高 房子的价格 y 元 m2 随楼层数 x 楼 的变化而变化 x 1 2 3 4 5 6 7 8 已知点 x y 都在一个二次函 数的图像上 如上右图 则 6 楼房子的价格为 元 m2 二 选择题二 选择题 9 二次函数 y ax2 bx c 的图像如图所示 则下列关系式不正确的是 A a0 C a b c0 第 9 题 第 12 题 第 15 题 10 已知二次函数 y ax2 bx c 的图像过点 A 1 2 B 3 2 C 5 7 若点 M 2 y1 N 1 y2 K 8 y3 也在二次函数 y ax2 bx c 的图像上 则下 列结论中正确的是 8 A y1 y2 y3 B y2 y1 y3 C y3 y1 y2 D y1 y30 交 x 轴 A B 两点 交 y 轴于点 C 抛物 线的对称轴交 x 轴于点 E 点 B 的坐标为 1 0 1 求抛物线的对称轴及点 A 的坐标 2 过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P 你能 判断四边形 ABCP 是什么四边形 并证明你的结论 9 18 如图所示 m n 是方程 x2 6x 5 0 的两个实数根 且 m n 抛物线 y x2 bx c 的图像经过点 A m 0 B 0 n 1 求这个抛物线的解析式 2 设 1 中抛物线与 x 轴的另一交点为 C 抛物线 的顶点为 D 试求出点 C D 的坐标和 BCD 的面积 3 P 是线段 OC 上的一点 过点 P 作 PH x 轴 与抛物线交于点 H 若直线 BC 把 PCH 分成面积之比为 2 3 的两部分 请求出点 P 的坐标 19 某地计划开凿一条单向行驶 从正中通过 的隧道 其截面是抛物线拱形 ACB 而 且能通过最宽 3m 最高 3 5m 的厢式货车 按规定 机动车通过隧道时车身距隧道壁 的水平距离和铅直距离最小都是 0 5m 为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的 隧道 在图纸上以直线 AB 为 x 轴 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 建立如图所示的直 角坐标系 求抛物线拱形的表达式 隧道的跨度 AB 和拱高 OC 10 20 已知一个二次函数的图