2011年高中数学 分析论文 理 新人教版

专心 爱心 用心1 20112011 年高考理科数学热点分析年高考理科数学热点分析 2011 年 广东普通高考将沿用 2010 开始实施的 3 文科 理科综合 的形式 即选 考理科类的考生参加 语文 数学 英语 理科综合 模式的测试 这种新的考试形式对 数学科是否有影响 我们可以从两个角度来分析 从考试内容范围的角度看 理科类的考生 因为不需要考政治 历史 地理等科目 内容上看似乎减少了一些 然而 如果从考试的 深度和难度上来看 理科综合中的试题无论是题型还是难度都不同于过去大综合中相应科 目的试题 而是相当于物理 化学 生物这三个科自单独分科考试的试题 考试的难度大 了 知识的范围广了 从这个角度来看 似乎对数学会有一定的冲击 因为考生的时间和 精力都是有限的 投入到这里多了 到那里的就会少了 怎么办 考生不能盲目地分配时间 和精力 一向以来 数学学科都与高考总成绩高度正相关 即数学成绩好 高考总成绩一 般也会很高 这是因为数学抽象程度高 试题的区分度明显 能够拉开考生总分的差距 实施 3 理科综合 的考试模式后 考生应该根据自己的具体情况 决定采用什么样的策 略 由于数学学科的抽象程度比较高 要取得好的成绩 更重要的是平时是否重视思维能 力的训练 能否对数学知识的理解和数学技能的运用打好一个扎实的基础 应对数学高考 第一阶段的复习是非常重要的 在这一阶段 学生应该把过去学过的知识加以统整 加深 理解 拓展联系 形成自己的知识体系 掌握解答数学问题的主要技巧 理科综合中的物 理 与数学的特点相近 也应该采取类似的策略 相对来说 化学和生物这两个学科的抽 象程度没有那么高 但对知识的了解和记忆的要求要更高一些 前期的阅读和梳理固然很 重要 后期的强化记忆也不能忽视 两相对比 前期加强数学和物理 后期加强化学和生 物 似乎有利一些 考生可以根据自己的情况决定复习的策略 成绩一般的考生可以在备 考前期对数学 物理多花些功夫 多给点儿时间 基本稳定在一个自己比较满意的分数后 再适当增加化学 生物的复习时间 如果觉得自己在数学 物理方面已经具有一定的优势 也可以先对化学和生物进行一段时间的主攻 在基本摸清它们的套路之后 再加强数学 物理科目的复习 高考不仅是知识和能力的考核 而且是士气和心理的测试 一些同学一听说今年高考 要实行新的考试方案就怕了起来 担心这担心那 其实这是没有必要的 高考改革是稳扎 稳打的 不会大起大落 按照考试管理部门的说法 也不太可能出现跨学科的试题 这样 所谓的理科综合实际上是各个学科分科试题的拼盘 和分科独立考试不会有实质性的不同 科目多了 要求复习的内容多了 但是单科的题量却减少了 即每一科的考查面没那么宽 了 难度也会下降 因此不必过度担忧 影响了自己的信心 对其他科目的复习备考造成 冲击 20102010 年广东高考理科数学考什么年广东高考理科数学考什么 1990 年以来 广东高考的命题经历了统一命题 单独命题 自主命题三个阶段 其中自 主命题始于 2004 年 2007 年广东开始按照新课程的要求进行高考 这三年的考试对 2010 年的考试特别有参考意义 认真分析 2008 年 2009 年 2010 年这三年的高考试题 就能 对 2011 年广东高考数学科考什么有比较清晰的认识了 一 一 20082008 年以来广东高考理科数学考点分布年以来广东高考理科数学考点分布 表 1 2008 2009 年广东高考理科数学考点分布 按知识点 题号2008 年2009 年2010 年 1 复数模 不等式集合 集合语言集合运算 2 等差数列复数 符号语言 复数运算 3 概率 古典概型 分层抽样反函数函数奇偶性 专心 爱心 用心2 4 线性规则等比数列 对数运算 等比数列 5 三视图空间的位置关系充要条件 6 简易 平面向量 在物理中的应用 三视图 7 导数 极值排列组合 分类与分步 正态分布 8 平面向量定积分 在物理中的应用 组合 9 算法框图算法框图 样本平均数函数定义域 10 二项展开式平面向量向量运算 11 直线与圆 椭圆定义 离心率 标准方 程 正弦定理 12 三角函数变形 二倍角 周 期 离散型随机变量分布列及其 性质 期望 方差 圆的方程 13 直线与圆的极坐标方程直线参数方程程序框图 14 绝对值不等式绝对值不等式平面几何证明 15 几何证明选讲几何证明选讲极坐标 16 三角函数最值 诱导公式 同角三角函数基本关系式 两角差的余弦公式 平面向量 同量三角函数基 本关系式 两角差的正弦公 式 三角函数的性质 17 概率 古典概型 频率分布 概率分布 期望 频率分布直方图 独立重复 实验 频率分布直方图 超 几何分布 二项分布 18 抛物线 二次函数 导数 椭圆 空间几何体 投影 线面垂 直 异面直线所成角 体积 计算 线线 线面 面面关 系 空间向量及坐标 运算 19 分段函数 导数 函数单调 性 抛物线 二次函数 直线 方程 圆的方程 线性规则不等式组 20 棱锥 斜线与平面所成角 简单证明 面积计算 二次函数 导数 基本不等 式 函数零点 双曲线 椭圆 直线 与圆锥直线关系及曲 线方程 21 数列 数列求和 圆的方程 圆的切线 导数 数列 不等式 绝对值不等式 新定 义 尽管现在的高考命题不刻意追求知识点的覆盖率 但是每年的试卷都会注意到一定的覆 盖面 尽量考查到考试大纲所规定的大多数内容 从 2008 2010 年的考试点覆盖情况可以 看出如下的一些特点 1 1 侧重于支撑学科体系的主干内容的考查 侧重于支撑学科体系的主干内容的考查 函数 数列 不等式 三角 立体几何 解析几何 概率统计是高中数学的主干内容 也是高考所考查的重点 核心知识是不会有意识回避的 诸如函数的图象与性质 三角函 数简单的变形 不等式的应用 等差 等比 数列 曲线与方程 直线 圆 椭圆 空间中 直线与平面的位置关系 几何体的有关计算 概率统计在实际生活中的应用等 在每年的 试题中都会重复考查 相信在 2011 年的试题中也会一如既往 2 2 侧重于必修模块的考查 侧重于必修模块的考查 现在我们所使用的新课程标准的教材共两大部分 必修模块 必修 1 2 3 4 5 选 修模块 选修 2 1 2 2 2 3 4 1 4 4 4 5 从模块可以看到三年来理科数学试 题中必修模块的内容所占的权重比较大一些 这是符合新课程精神的 2011 年依然会延续 这种做法 备考中要注意有侧重 专心 爱心 用心3 3 3 侧重对新增内容的考查 侧重对新增内容的考查 算法 样本估计总体 线性回归 最小二乘法 独立性检验 全称量词与特称量词 几 何概型 定积分 推理与证明 参数方程 极坐标 条件概率等都是新课程增加的内容 此外还有 一些新增加的概念 函数零点 超几何分布 两点分布等 高考是支持新课程 改革的 理所当然要加大这些新增内容的考查力度 从内容可以看到新增内容所占的比重 比较稳定 估计 2011 年高考数学试题中这些新增内容所占的分值还会保持这个比例 4 4 存在一些尚未出现在 存在一些尚未出现在 20082008 20102010 年试题中的知识点年试题中的知识点 以下是近三年高考试题中没有考查到 或者考查力度不够 的考点 必修 1 幂函数 二分法 函数值域 函数模型的应用 必修 2 空间几何体的直观图 球的面积与体积 空间直角坐标系 必修 3 系统抽样 几何概型 对立事件 互斥事件 必修 4 任意角三角函数定义 扇形面积 正切函数图象 两角和差的正切公式 必修 5 解三角形的实际应用 数列求和 裂项法 选修 2 1 全称量词与特称量词 双曲线 与二面角有关的计算 选修 2 2 类比推理 复合函数求导 导数与切线 共轭复数 选修 2 3 两点分布 超几何分布 二项分布 条件概率 独立性检验 选修 4 4 椭圆 双曲线 抛物线 的参数方程 压缩变换 柱坐标系与球坐标系 要正确对待这些尚未出现在近三年试卷中的考点 并给予足够的重视 同时更要了解考 试大纲中对这些考点的层次要求 做到知己知彼 方能百战不殆 二 广东高考理科数学试题的特点二 广东高考理科数学试题的特点 2008 2010 年广东高考数学科的试题特色鲜明 尽管有个别争议 但是总体是得到肯定 的 分析这些试题的特点有助于预测 2011 年试题的趋向 有助于进一步把握 2011 年考什 么 1 1 回归教材 回归教材 高考是高中三年学习的最后冲刺 成功与否与低年级的知识积累关系密切 备考的时候 很有必要回头将全部教材中的习题再仔细 扫荡 一遍 特别是那些典型的习题更要搞懂 搞透 因为高考中有相当一部分试题是从教材中的例题 习题 演变出来的 这些题目较好 地体现了课程目标的要求 所以 尽管现在高中的教材是多样化 但是万变不离其宗 这 些教材都是依据课程标准来编写的 高考依据课程标准 也就必然要重视教材 举例如下 例 2 1 1 2007 年广东卷 4 如图 1 客车从甲地以 60km h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地 在乙地停留了半 小时 然后以 80km h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地 下列描述客车从甲地出发 经过 乙地 最后到达丙地所经过的路程 S 与 t 时间之间关系的图象中 正确的是 解析 函数的表示方法可以用解析式 也可以用图表 更可以用一些离散的点 此题 目也可以说是考查学生文字语言与图形语言的转换能力 很容易误选 B 这是因为没有注 意到变量 S 所代表的是 所经过的路程 适当地选择几个特殊时间段的数值 就可以确定 正确答案为 C 专心 爱心 用心4 此题目的原型是人教版必修 1 第 3 页练习 2 如下所示 下图中哪几个图象与下述三件事情分别吻合得最好 请你为剩下的那个图象写出一件事 我离开家不久 发现自己把作业本忘在家里了 于是返回家里找到了作业本再上学 我骑着车一路匀速行驶 只是在途中遇到一次交通堵塞 耽搁了一些时间 我出发后 心情轻松 缓缓行进 后来为了赶时间开始加速 命题人员为了体现高考试题以教材为依据的要求 每年都会编制一些具有教材背景的 试题 所以在进行第一轮复习时候 不要一味地脱离教材 要把教材中的典型问题挑选出 来 进行同步温习 一般来讲 高考备考时都会有一个 回归教材 的阶段 怎么回归教 材 就是把这些典型问题再过一遍 加深印象 这才是好办法 2 2 注意新增栏目 注意新增栏目 同学们应该注意到 我们所使用的教材增加了一些很有特色的栏目 每节教材中间都 有 思考 探究 这样的提示 每章节后更有 阅读与思考 探究与发现 等内容 据我们了解 绝大多数同学对这些栏目都置之不理 极少过问 更谈不上主动阅读 思考 了 这种漠视态度是大错而特错的 因为广东高考数学科试题经常从这些栏目中提炼考题 举例如下 例 2 2 2 2007 年广东卷文科 20 已知函数是方程 f x 0 的两个根 f x 是 f x 的 1 2 xxxf 导数 设 2 1 1 1 n af af aa n nTn 1 求 的值 2 证明 对任意的正整数 n 都有 an 3 记求 bn 数列的前 n 项和 Sn 2 1 ln n a b n n n 解析 当年很多考生感觉该题目的背景很 生涩 可是命题组却认为此题目最接近学 生认知水平 而且背景极其公平 因为已知条件中的与 牛顿迭代 1 n nn af af aa 有关 为了计算方程 f x 0 的近似根 x0 我们在 x0附近找一个点 x1 过点 x1 f x1 作 曲线 y f x 的切线 交 x 轴与点 x2 0 重复进行下去 就会得到方程 f x 0 的近似根 而 牛顿迭代法 恰好在选修 2 2 导数 一章后面的 阅读与思考 栏目中做过介绍 对于教材中这些新增加的栏目 尤其要重视 既然这是新课程教材与众不同之处 那么 高考试题就一定会有所体现 高考考什么 当然是考特色 3 3 重在能力的考查 重在能力的考查 专心 爱心 用心5 高考不是水平测试 而是要考查学生是否具有进一步学习的能力 所以 高考对于考生 的能力也有一定的要求 相较以前 新课程高考在能力要求上也有所变化 由原来的四大 能力 一个意识 思维能力 运算能力 空间想象能力以及实践能力和创新意识 变为现在 的五大能力 两个意识 空间想象能力 抽象概括能力 推理论证能力 运算求解能力 数 据处理能力以及应用意识和创新意识 把过去的 思维能力 改为现在的 抽象概括能力 与 推理论证能力 两大部分 实践能力 改为现在的 数据处理能力 和 应用意识 两部分 1 1 抽象概括能力 抽象概括能力 抽象是指舍弃事物非本质的属性 揭示其本质的特征 概括是指把仅仅属于某一类对象 的共同属性区分出来的思维过程 抽象和概括是相互联系的 没有抽象就不可能有概括 而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论 抽象概括能力就是从具体的 生动的实例 在抽象概括的过程中 发现研究对象的本质 从给定的大量信息材料中 概括出一些结论 并能将其应用于解决问题的过程或做出新的 判断 例 2 1 3 2007 年广东卷 8 设 S 是至少含有两个元素的集合 在 S 上定义了一个二元运算 即对任意的 a b S 对于有序元素对 a b 在 S 中有唯一确定的元素 a b 与之对应 若对任意的 a b S 有 a b a b 则对任意的 a b S 下列等式中不恒成立的是 A a b a a B a b a a b a C b b b b D a b b a b b 解析 该题目重点考查学生的抽象概括能力 题目给出了一些信息 定义了一种运 算 这种运算可能是考生从来没有见过 更是不熟悉的 背景公平 在具体解答的时候 可以类比加减法运算 a b a b 只不过是一种运算法则而已 而 4 个选项相当于验证 该运算法则是否满足类似于加减法的一些运算律 需要考生具备一定的信息迁移能力 答 案 A 2 推理论证能力 推理是思维的基本形式之一 它由前提和结论两部分组成 论证是由已有的正确的前 提到被论证的结论正确的一连串的推理过程 推理既包括演绎推理 也包括合情推理 论 证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法 也包括按思考方法划分的直接证法和间接证 法 一般运用合情推理进行猜想 再运用演绎推理进行证明 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学 命题真实性初步的推理能力 举例如下 例 2 1 4 2007 年广东卷 12 如下图所示 如果一个凸多面体是 n 棱锥 那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直 线共有 条 这些直线中共有 f n 对异面直线 则 f 4 f n 答案用数 字或 n 的解析式表示 解析 本题目虽可以用计数原理来解答 但意在考查学生的推理能力 演绎法就是 由一般到特殊 归纳法恰好相反 是由特殊到一般 可以先观察三棱锥 四棱锥 五棱锥 专心 爱心 用心6 而后再进行猜想 就能够得到正确答案 答案依次为 8 n n 2 2 1 nn 3 数据处理能力 会收集 整理 分析数据 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息 并作出判断 数 据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理 分析 并解决给定的实际 问题 举例如下 例 2 1 5 2009 年广东卷 17 根据空气质量指数 API 为整数 的不同 可将空气质量分级如下表 API 0 5051 100101 150151 200201 250251 300 300 级别 IIIIII1III2IV1IV2V 状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染 对某城市一年 365 天 的空气质量进行监测 获得 API 数据按照区间 0 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 进行分组 得到频率分布 直方图如下图 I 求直方图中 x 的值 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 III 求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率 结果用分数表示 已知 57 78125 27 128 365 73 5 9125 123 1825 8 1825 3 1825 7 365 2 1825 3 解析 该题位于解答题的第二题 很多考生在这里花费了一定的时间 具体表现在数 据处理能力薄弱 第 I II 问根据频率直方图中各个小矩形的面积之和为 1 比较容易 解 答 150 9125 8 1825 3 1825 7 365 2 1825 3 x 解得 18250 119 x II 良好的天数为 天 轻微污染的天数 天 11950 18250 119 365 10050 365 2 365 在解答第 III 的时候 一些考生把精力放在表格提供的信息中了 其实这个表格所提供 的信息对该问的解答没什么关系 数据处理不但包括利用有效信息 也要排除无效信息 防 止这些信息干扰 由此可见这个题目的设计可谓煞费苦心 III 良好或轻微污染的概率为 设事件 A 某一周至少有 2 天的 5 3 365 219 365 100119 专心 爱心 用心7 空气质量为良或轻微污染 则 1953125 24192 5 3 1 5 3 72 2 7 CAP 4 应用意识 能综合应用所学数学知识 思想和方法解决问题 包括解决相关学科 生产 生活中 简单的数学问题 能理解陈述问题的材料 并对所提供的信息资料进行归纳 整理和分类 将实际问题抽象为数学问题 能应用相关的数学方法解决问题继而加以验证 并能用数学 语言正确地表达和说明 应用的主要过程是依据现实的生活背景 提炼相关的数量关系 将现实问