排列组合题型总结与易错点提示

八八 排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略 例 8 有 5 个不同的小球 装入 4 个不同的盒内 每盒至少装一个球 共有多少不同的装法 解 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有种方法 再把 4 个元素 包含一个复合元素 装 2 5 C 入 4 个不同的盒内有种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 4 4 A 24 54 C A 练习题 一个班有 6 名战士 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务 每人完成一 种任务 且正副班长有且只有 1 人参加 则不同的选法有 192 种 九九 小集团问题先整体后局部策略小集团问题先整体后局部策略 例 9 用 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1 在两个奇数之间 这样的 五位数有多少个 解 把 当作一个小集团与 排队共有种排法 再排小集团内部共有种 2 2 A 22 22 A A 排法 由分步计数原理共有种排法 15243 222 222 A A A 练习题 计划展出 10 幅不同的画 其中 1 幅水彩画 幅油画 幅国画 排成一行陈列 要求同一 品种的必须连在一起 并且水彩画不在两端 那么共有陈列方式的种数为 254 254 A A A 2 5 男生和 女生站成一排照像 男生相邻 女生也相邻的排法有种 255 255 A A A 十十 元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略 例 10 有 10 个运动员名额 分给 7 个班 每班至少一个 有多少种分配方案 解 因为 10 个名额没有差别 把它们排成一排 相邻名额之间形成 个空隙 在 个空档中 选 个位置插个隔板 可把名额分成 份 对应地分给 个班级 每一种插板方法对应 一种分法共有种分法 6 9 C 一一 班班 二二 班班 三三 班班 四四 班班 五五 班班 六六 班班 七七 班班 练习题 1 10 个相同的球装 5 个盒中 每盒至少一有多少装法 4 9 C 2 求这个方程组的自然数解的组数 100 xyzw 3 103 C 十一十一 正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略 例 11 从 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这十个数字中取出三个数 使其和为不小于 10 的偶数 不同的 取法有多少种 解 这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难 可用总体淘汰法 这十个数字中有 5 个 偶数 5 个奇数 所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 只含有 1 个偶数的取法有 和 3 5 C 12 55 C C 为偶数的取法共有 再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种 符合条件的取法共有 123 555 C CC 123 555 9C CC 解决排列组合混合问题 先选后排是最基本的指导思想 此法与相邻元素捆绑策略相似吗 将 n 个相同的元素分成 m 份 n m 为正整数 每份至少一个元素 可以用 m 1 块隔板 插入 n 个元素排成一排的 n 1 个 空隙中 所有分法数为 1 1 m n C 练习题 我们班里有 43 位同学 从中任抽 5 人 正 副班长 团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种 十二十二 平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略 例 12 6 本不同的书平均分成 3 堆 每堆 2 本共有多少分法 解 分三步取书得种方法 但这里出现重复计数的现象 不妨记 6 本书为 ABCDEF 若第 222 642 C C C 一步取 AB 第二步取 CD 第三步取 EF 该分法记为 AB CD EF 则中还有 AB EF CD 222 642 C C C CD AB EF CD EF AB EF CD AB EF AB CD 共有种取法 而这些分法仅是 3 3 A AB CD EF 一种分法 故共有种分法 2223 6423 C C CA 练习题 1 将 13 个球队分成 3 组 一组 5 个队 其它两组 4 个队 有多少分法 5442 13842 C C CA 2 10 名学生分成 3 组 其中一组 4 人 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 有多少种不同的 分组方法 1540 3 某校高二年级共有六个班级 现从外地转 入 4 名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安 排 2 名 则不同的安排方案种数为 2222 4262 90C C AA 十三十三 合理分类与分步策略合理分类与分步策略 例 13 在一次演唱会上共 10 名演员 其中 8 人能能唱歌 5 人会跳舞 现要演出一个 2 人唱歌 2 人 伴舞的节目 有多少选派方法 解 10 演员中有 5 人只会唱歌 2 人只会跳舞 3 人为全能演员 选上唱歌人员为标准进行研 究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有种 只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌 22 33 C C 人员种 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有种 由分类计数原理共有 112 534 C C C 22 55 C C 种 2211222 3353455 C CC C CC C 练习题 1 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会 若这 4 人中必须既有男生又有女生 则不同的选法共有 34 2 3 成人 2 小孩乘船游玩 1 号船最多乘 3 人 2 号船最多乘 2 人 3 号船只能乘 1 人 他们任选 2 只船或 3 只船 但小孩不能单独乘一只船 这 3 人共有多少乘船方法 27 本题还有如下分类标准 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四十四 构造模型策略构造模型策略 有些排列组合问题 正面直接考虑比较复杂 而它的反面往往比较简捷 可以先求出它的反面 再从整体中淘汰 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要一定要除以 为均分的组数 避免重复计数 n n An 解含有约束条件的排列组合问题 可按元素的性质进行分类 按事件发生的连续过程分步 做到标准明确 分步层次 清楚 不重不漏 分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终 例 14 马路上有编号为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的九只路灯 现要关掉其中的 3 盏 但不能关掉相邻 的 2 盏或 3 盏 也不能关掉两端的 2 盏 求满足条件的关灯方法有多少种 解 把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 种 3 5 C 练习题 某排共有 10 个座位 若 4 人就坐 每人左右两边都有空位 那么不同的坐法有多少种 120 十五十五 实际操作穷举策略实际操作穷举策略 例 15 设有编号 1 2 3 4 5 的五个球和编号 1 2 3 4 5 的五个盒子 现将 5 个球投入这五个盒子 内 要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 有多少投法 解 从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应 利用实际操作法 2 5 C 如果剩下 3 4 5 号球 3 4 5 号盒 3 号球装 4 号盒时 则 4 5 号球有只有 1 种装法 同 理 3 号球装 5 号盒时 4 5 号球有也只有 1 种装法 由分步计数原理有种 2 5 2C 5 53 34 4 3 号盒 4 号盒 5 号盒 练习题 1 同一寝室 4 人 每人写一张贺年卡集中起来 然后每人各拿一张别人的贺年卡 则四张贺年卡不 同的分配方式有多少种 十六十六 分解与合成策略分解与合成策略 例 16 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析 先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030 2 3 5 7 11 13 依题意可 知偶因数必先取 2 再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积 所有的偶因数为 12345 55555 CCCCC 练习 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 解 我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 每个四面体有 3 对异面直 4 8 1258C 线 正方体中的 8 个顶点可连成对异面直线3 58174 十七十七 数字排序问题查字典策略数字排序问题查字典策略 例 18 由 0 1 2 3 4 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数 解 29722 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 AAAAAN 练习 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字组成没有重复的四位偶数 将这些数字从小到大排列起来 第 71 个数是 3140 十八十八 树图策略树图策略 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型 如占位填空模型 排队模型 装盒模型等 可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题 不易用公式进行运算 往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决 然后依据问题分解后 的结构 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 从而得到问题的答案 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 数字排序问题可用查字典法 查字典的法应从高位向低位查 依次求出其符合要求的个数 根据分类计数原理求出其总数 例 19 人相互传球 由甲开始发球 并作为第一次传球 经过 次传求后 球仍回到甲的手中 则35 不同的传球方式有 10 N 练习 分别编有 1 2 3 4 5 号码的人与椅 其中 号人不坐 号椅 的不同坐法ii54321 i 有多少种 44 N 十九十九 复杂分类问题表格策略复杂分类问题表格策略 例 20 有红 黄 兰色的球各 5 只 分别标有 A B C D E 五个字母 现从中取 5 只 要求各字 母均有且三色齐备 则共有多少种不同的取法 解 二十 住店法策略二十 住店法策略 解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素 一类元素可以重复 另一类不能重复 把不能 重复的元素看作 客 能重复的元素看作 店 再利用乘法原理直接求解 例 21 七名学生争夺五项冠军 每项冠军只能由一人获得 获得冠军的可能的种数有 分析 因同一学生可以同时夺得 n 项冠军 故学生可重复排列 将七名学生看作 7 家 店 五 项冠军看作 5 名 客 每个 客 有 7 种住宿法 由乘法原理得 7 种 5 排列组合易错题正误解析排列组合易错题正误解析 1 1 没有理解两个基本原理出错没有理解两个基本原理出错 排列组合问题基于两个基本计数原理 即加法原理和乘法原理 故理解 分类用加 分步用乘 是解决排列组合问题的前提 例例 1 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台 其中至少有原装与组装计算机各两台 则 不同的取法有 种 例例 2 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲 乙 丙三人中产生 那么不同的夺冠情况共有 种 A B C D 3 4 A 3 4 4 3 3 4 C 2 2 判断不出是排列还是组合出错判断不出是排列还是组合出错 在判断一个问题是排列还是组合问题时 主要看元素的组成有没有顺序性 有顺序的是排列 无顺序的是组合 例例 3 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球 排成一排 共有多少种不同的排列方法 对于条件比较复杂的排列组合问题 不易用 公式进行运算 树图会收到意想不到的结果 红 111223 黄 123121 兰 321211 取法 1 4 1 5C C 2 4 1 5C C 3 4 1 5C C 1 3 2 5C C 2 3 2 5C C 1 2 3 5C C 一些复杂的分类选取题 要满足的条件比较多 无从入手 经常出现重复遗漏的情况 用表格法 则分类明确 能保证题中须 满足的条件 能达到好的效果 3 3 重复计算出错重复计算出错 在排列组合中常会遇到元素分配问题 平均分组问题等 这些问题要注意避免重复计数 产 生错误 例例 4 4 5 本不同的书全部分给 4 个学生 每个学生至少一本 不同的分法种数为 A 480 种 B 240 种 C 120 种 D 96 种 例例 5 5 某交通岗共有 3 人 从周一到周日的七天中 每天安排一人值班 每人至少值 2 天 其不 同的排法共有 种 A 5040 B 1260 C 210 D 630 4 4 遗漏计算出错遗漏计算出错 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面 因为遗漏某些情况 而出错 例 6 用数字 0 1 2 3 4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有 A 36 个 B 48 个 C 66 个 D 72 个 5 5 忽视题设条件出错忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号 不然就可能多 解或者漏解 例 7 如图 一个地区分为 5 个行政区域 现给地图着色 要求相邻区域不得使用同一颜色 现有 4 种颜色可供选择 则不同的着色方法共有 种 以数字作答 6 6 未考虑特殊情况出错未考虑特殊情况出错 在排列组合中要特别注意一些特殊情况 一有疏漏就会出错 例9 现有1角 2角 5角 1元 2元 5元 10元 50元人民币各一张 100元人民币2张 从中 至少取一张 共可组成不同的币值种数是 A B 1023种 C 1536种 D 1535种 7 7 题意的理解偏差出错题意的理解偏差出错 例 10 现有 8 个人排成一排照相 其中有甲 乙 丙三人不能相邻的排法有 种 A B C D 5 5 3 6 AA 3 3 6 6 8 8 AAA 3 3 3 5 AA 4 6 8 8 AA 8 8 解题策略的选择不当出错解题策略的选择不当出错 例 10 高三年级的三个班到甲 乙 丙 丁四个工厂进行社会实践 其中工厂甲必须有班 级去 每班去何工厂可自由选择 则不同的分配方案有 A 16 种 B 18 种 C 37 种 D 48 种 排列与组合习题排列与组合习题 1 6 个人分乘两辆不同的汽车 每辆车最多坐 4 人 则不同的乘车方法数为 1 3 2 5 4 A 40 B 50 C 60 D 70 2 有 6 个座位连成一排 现有 3 人就坐 则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 A 36 种 B 48 种 C 72 种 D 96 种 3 只用 1 2 3 三个数字组成一个四位数 规定这三个数必须同时使用 且同一数字不能相邻出 现 这样的四位数有 A 6 个 B 9 个 C 18 个 D 36 个 4 男女学生共有 8 人 从男生中选取 2 人 从女生中选取 1 人 共有 30 种不同的选法 其中女 生有 A 2 人或 3 人 B 3 人或 4 人 C 3 人 D 4 人 5 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级 上楼可以一步上一级 也可以一步上两级 若规定从二 楼到三楼用 8 步走完 则方法有 A 45 种 B 36 种 C 28 种 D 25 种 6 某公司招聘来 8 名员工 平均分配给下属的甲 乙两个部门 其中两名英语翻译人员不能分 在同一个部门 另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门 则不同的分配方案共有 A 24 种 B 36 种 C 38 种 D 108 种 7 已知集合A 5 B 1 2 C 1 3 4 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标 系中点的坐标 则确定的不同点的个数为 A 33 B 34 C 35 D 36 9 如果在一周内 周一至周日 安排三所学校的学生参观某展览馆 每天最多只安排一所学校 要求甲学校连续参观两天 其余学校均只参观一天 那么不同的安排方法有 A 50 种 B 60 种 C 120 种 D 210 种 10 安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班 每人值班一天 其中甲 乙二人都不能安排 在 5 月 1 日和 2 日 不同的安排方法共有 种 用数字作答 11 今有 2 个红球 3 个黄球 4 个白球 同色球不加以区分 将这 9 个球排成一列有 种不同的排法 用数字作答 12 将 6 位志愿者分成 4 组 其中两个组各 2 人 另两个组各 1 人 分赴世博会的四个不同场馆 服务 不同的分配方案有 种 用数字作答 13 要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花 要求相 邻区域不同色 有 种不同的种法 用数字作答 14 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个信封放 2 张 其中 标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 15 15 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班 每天 1 人 每人值班 1 天 若 7 位员工中的 甲 乙排在相邻两天 丙不排在 10 月 1 日 丁不排在 10 月 7 日 则不同的安排方案共有 A 504 种 B 960 种 C 1008 种 D 1108 种 16 16 由 1 2 3 4 5 6 组成没有重复数字且 1 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 A 72 B 96 C 108 D 144 17 17 在某种信息传输过程中 用 4 个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列 表示不同信息 若所用数字只有 0 和 1 则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信 息个数为 A 10 B 11 C 12 D 15 18 现安排甲 乙 丙 丁 戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动 每人从事翻译 导游 礼仪 司机四项工作之一 每项工作至少有一人参加 甲 乙不会开车但能从事其他三项工作 丙丁戌都能胜任四项工作 则不同安排方案的种数是 A 152 B 126 C 90 D 54 19 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中各选 出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 20 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到一名学生 且甲 乙两名学 生不能分到同一个班 则不同分法的种数为 18A 24B 30C 36D 22 从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理 则甲 乙至少有 1 人入选 而丙没有入选 的不同选法的种数位 A 85 B 56 C 49 D 28 24 12 个篮球队中有 3 个强队 将这 12 个队任意分成 3 个组 每组 4 个队 则 3 个强队恰好 被分在同一组的概率为 A 1 55 B 3 55 C 1 4 D 1 3 25 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分 站的位置 则不同的站法种数是 用数字作答 26 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个 花生馅汤圆 5 个 豆沙馅汤圆 4 个 这三种汤圆的外部特征完全 相同 从中任意舀取 4 个汤圆 则每种汤圆都至少取到 1