初高中衔接数学学习必备的知识与技能【共七讲含配套练习与答案】

初高中衔接必备的数学知识与技能七讲初高中衔接必备的数学知识与技能七讲 含配套练习及答案含配套练习及答案 目目 录录 第一讲 数与式的运算 1 第一讲 习题答案 6 第二讲 因式分解 7 第二讲 因式分解答案 12 第三讲 一元二次方程根与系数的关系 13 第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案 19 第四讲 不 等 式 19 第四讲 不等式答案 25 第五讲 二次函数的最值问题 26 第五讲 二次函数的最值问题答案 28 第六讲 简单的二元二次方程组 29 第六讲 简单的二元二次方程组答案 33 第七讲 分式方程和无理方程的解法 34 第七讲 分式方程和无理方程的解法答案 39 本站资源汇总 优秀资源 值得收藏 40 第一讲第一讲 数与式的运算数与式的运算 在初中 我们已学习了实数 知道字母可以表示数用代数式也可以表示数 我们把实数和代数式 简称为数与式 代数式中有整式 多项式 单项式 分式 根式 它们具有实数的属性 可以进行运 算 在多项式的乘法运算中 我们学习了乘法公式 平方差公式与完全平方公式 并且知道乘法公式 可以使多项式的运算简便 由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算 因此本节中将拓展 乘法公式的内容 补充三个数和的完全平方公式 立方和 立方差公式 在根式的运算中 我们已学 过被开方数是实数的根式运算 而在高中数学学习中 经常会接触到被开方数是字母的情形 但在初 中却没有涉及 因此本节中要补充 基于同样的原因 还要补充 繁分式 等有关内容 一 乘法公式一 乘法公式 公式公式 1 cabcabcbacba222 2222 证明证明 2222 2 ccbabacbacba cabcabcbacbcacbaba222222 222222 等式成立 例例 1 计算 22 3 1 2 xx 解解 原式 22 3 1 2 xx 9 1 3 22 3 8 22 2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 1 2 234 222222 xxxx xxxxxx 说明说明 多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列 公式公式 2 立方和公式立方和公式 3322 babababa 证明证明 3332222322 bababbaabbaabababa 说明说明 请同学用文字语言表述公式 2 例例 2 计算 22 bababa 解解 原式 333322 bababbaaba 我们得到 公式公式 3 立方差公式立方差公式 3322 babababa 请同学观察立方和 立方差公式的区别与联系 公式 1 2 3 均称为乘法公式乘法公式 例例 3 计算 1 2 416 4 2 mmm 4 1 10 1 25 1 2 1 5 1 22 nmnmnm 3 4 164 2 2 24 aaaa 22222 2 yxyxyxyx 解解 1 原式 333 644mm 2 原式 3333 8 1 125 1 2 1 5 1 nmnm 3 原式 644 44 4 63322242 aaaaa 4 原式 2222222 yxyxyxyxyxyx 6336233 2 yyxxyx 说明说明 1 在进行代数式的乘法 除法运算时 要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构 2 为了更好地使用乘法公式 记住 1 2 3 4 20 的平方数和 1 2 3 4 10 的立方数 是非常有好处的 例例 4 已知 求的值 013 2 xx 3 3 1 x x 解解 013 2 xx 0 x3 1 x x 原式 18 33 3 3 1 1 1 1 1 22 2 2 x x x x x x x x 说明说明 本题若先从方程中解出的值后 再代入代数式求值 则计算较烦琐 本题013 2 xxx 是根据条件式与求值式的联系 用整体代换的方法计算 简化了计算 请注意整体代换法 本题的解 法 体现了 正难则反 的解题策略 根据题求利用题知 是明智之举 例例 5 已知 求的值 0 cba 111111 abc bccaab 解解 bacacbcbacba 0 原式 ab ba c ac ca b bc cb a abc cba ab cc ac bb bc aa 222 abccabccabbababa3 3 3 32233 把 代入 得原式 abccba3 333 3 3 abc abc 说明说明 注意字母的整体代换技巧的应用 引申引申 同学可以探求并证明 3 222333 cabcabcbacbaabccba 二 根式二 根式 式子叫做二次根式 其性质如下 0 a a 1 2 2 0 aa a 2 aa 3 4 0 0 abab ab 0 0 bb ab a a 例例 6 化简下列各式 1 2 22 32 31 22 1 2 1 xxx 解解 1 原式 32 31 2331 1 2 原式 1 2 23 2 1 2 1 2 1 1x2 xxxx xx xx 说明说明 请注意性质的使用 当化去绝对值符号但字母的范围未知时 要对字母的取值 2 aa 分类讨论 例例 7 计算 没有特殊说明 本节中出现的字母均为正数 1 2 3 3 23 11 ab 3 28 2 x xx 解解 1 原式 2 3 23 3 23 63 3 23 23 23 2 原式 22 aba bab abab 3 原式 22 2 22222 23 2 22 x x xxxx xxxx x 说明说明 1 二次根式的化简结果应满足 被开方数的因数是整数 因式是整式 被开方数不含 能开得尽方的因数或因式 2 二次根式的化简常见类型有下列两种 被开方数是整数或整式 化简时 先将它分解因数或因式 然后把开得尽方的因数或因式开出来 分母中有根式 如 或被开方数有分母 如 这时 3 23 2 x 可将其化为形式 如可化为 转化为 分母中有根式 的情况 化简时 要把分母中的根 a b 2 x 2 x 式化为有理式 采取分子 分母同乘以一个根式进行化简 如化为 其中 3 23 3 23 23 23 与叫做互为有理化因式 23 23 例例 8 计算 1 2 2 1 1 ababab aa aabaab 解解 1 原式 22 1 2 2221baaabbaabb 2 原式 11 aa aabaababab 2 ababa ab abab 说明说明 有理数的的运算法则都适用于加法 乘法的运算律以及多项式的乘法公式 分式二次根式 的运算 例例 9 设 求的值 2323 2323 xy 33 xy 解解 2 2 23 23 74 3 74 3 14 1 2323 xyxyxy 原式 2222 3 14 143 2702xy xxyyxyxyxy 说明说明 有关代数式的求值问题 1 先化简后求值 2 当直接代入运算较复杂时 可根据结论的 结构特点 倒推几步 再代入条件 有时整体代入可简化计算量 三 分式三 分式 当分式的分子 分母中至少有一个是分式时 就叫做繁分式 繁分式的化简常用以下两种方 A B A B 法 1 利用除法法则 2 利用分式的基本性质 例例 10 化简 1 1 x x x x x 解法一解法一 原式 22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x xxxxxx xxxxx xxxx xxx xxxx x x 解法一解法一 原式 2 2 1 1 1 1 11 1 x xxxxx xxxxxx xxx xxx xx xx x 说明说明 解法一的运算方法是从最内部的分式入手 采取通分的方式逐步脱掉繁分式 解法二则是 利用分式的基本性质进行化简 一般根据题目特点综合使用两种方法 AAm BBm 例例 11 化简 2 22 3961 62279 xxxx xxxx 解解 原式 2 22 3961161 2 3 3 3 3 2 3 3 39 9 xxxxx xxxxxxxxxx 2 2 3 12 1 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 xxxxx xxxxx 说明说明 1 分式的乘除运算一般化为乘法进行 当分子 分母为多项式时 应先因式分解再进行 约分化简 2 分式的计算结果应是最简分式或整式 A 组组 1 二次根式成立的条件是 2 aa A B C D 是任意实数0a 0a 0a a 2 若 则的值是 3x 2 96 6 xxx A B C D 3 计算 1 2 2 34 xyz 2 21 2 abab ab 3 4 222 ab aabbab 22 1 4 4 4 ababab 4 化简 下列的取值范围均使根式有意义 a 1 2 3 8a 1 a a 3 4 4ab a bb a 112 23231 5 化简 1 2 2 1 9102 325 mm mmm m 2 22 0 2 xyxy xy xx y B 组组 1 若 则的值为 11 2 xy 33xxyy xxyy A B C D 3 5 3 5 5 3 5 3 2 计算 1 2 abcabc 11 1 23 3 设 求代数式的值 11 3232 xy 22 xxyy xy 4 当 求的值 22 320 0 0 aabbab 22 abab baab 5 设 为实数 且 求的值 xy3xy yx xy xy 练练 习习 6 已知 求代数式的值 111 20 19 21 202020 axbxcx 222 abcabbcac 7 设 求的值 51 2 x 42 21xxx 8 展开 4 2 x 9 计算 1 2 3 4 xxxx 10 计算 xyzxyz xyz xyz 11 化简或计算 1 113 184 23 23 2 2 21 22 25 3 52 3 2 x xxyxxyy xyyx xyy 4 bababab a ababbabaab 第一讲第一讲 习题答案习题答案 A 组 1 C 2 A 3 1 2 222 9166824xyzxyxzyz 22 353421aabbab 3 4 22 33a bab 33 1 16 4 ab 4 2 2 22 1 2 ab aaa ab 5 2m mxy B 组 1 D 2 3 2 3 22 3acbac 13 3 6 4 5 6 3 7 3 2 2 3 35 8 432 8243216xxxx 9 432 10355024xxxx 10 444222222 222xyzx yx zy z 11 4 3 3 3 xy ba y 第二讲第二讲 因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形 它与整式乘法是相反方向的变形 在分式运算 解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用 是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多 除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法 平方差公式和完全平方公式 外 还有公式法 立方和 立方差公式 十字相乘法和分组分解法等等 一 公式法一 公式法 立方和 立方差公式立方和 立方差公式 在第一讲里 我们已经学习了乘法公式中的立方和 立方差公式 立方和公式 2233 ab aabbab 立方差公式 2233 ab aabbab 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形 所以把整式乘法公式反过来写 就得到 3322 abab aabb 3322 abab aabb 这就是说 两个数的立方和 差 等于这两个数的和 差 乘以它们的平方和与它们积的差 和 运用这两个公式 可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解 例例 1 用立方和或立方差公式分解下列各多项式 1 2 3 8x 3 0 12527b 分析 分析 1 中 2 中 3 82 333 0 1250 5 27 3 bb 解 解 1 3332 82 2 42 xxxxx 2 33322 0 125270 5 3 0 53 0 50 5 3 3 bbbbb 2 0 53 0 251 59 bbb 说明 说明 1 在运用立方和 差 公式分解因式时 经常要逆用幂的运算法则 如 这 333 8 2 a bab 里逆用了法则 2 在运用立方和 差 公式分解因式时 一定要看准因式中各项的符号 n nn aba b 例例 2 分解因式 1 2 34 381a bb 76 aab 分析 分析 1 中应先提取公因式再进一步分解 2 中提取公因式后 括号内出现 可看着 66 ab 是或 3232 ab 2323 ab 解 解 1 343322 3813 27 3 3 39 a bbb abb ab aabb 2 76663333 aaba aba abab 2222 2222 a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 二 分组分解法二 分组分解法 从前面可以看出 能够直接运用公式法分解的多项式 主要是二项式和三项式 而对于四项以上 的多项式 如既没有公式可用 也没有公因式可以提取 因此 可以先将多项式mambnanb 分组处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法 分组分解法的关键在于如何分组 1 分组后能提取公因式 分组后能提取公因式 例例 3 把分解因式 2105axaybybx 分析 分析 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组 并使两组的项按的降幂排列 然后从两组x 分别提出公因式与 这时另一个因式正好都是 这样可以继续提取公因式 2ab 5xy 解 解 21052 5 5 5 2 axaybybxa xyb xyxyab 说明 说明 用分组分解法 一定要想想分组后能否继续完成因式分解 由此合理选择分组的方法 本 题也可以将一 四项为一组 二 三项为一组 同学不妨一试 例例 4 把分解因式 2222 ab cdabcd 分析 分析 按照原先分组方式 无公因式可提 需要把括号打开后重新分组 然后再分解因式 解 解 22222222 ab cdabcdabcabda cdb cd 2222 abca cdb cdabd ac bcadbd bcadbcad acbd 说明 说明 由例 3 例 4 可以看出 分组时运用了加法结合律 而为了合理分组 先运用了加法交换 律 分组后 为了提公因式 又运用了分配律 由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用 2 分组后能直接运用公式 分组后能直接运用公式 例例 5 把分解因式 22 xyaxay 分析 分析 把第一 二项为一组 这两项虽然没有公因式 但可以运用平方差公式分解因式 其中一 个因式是 把第三 四项作为另一组 在提出公因式后 另一个因式也是 xy axy 解 解 22 xyaxayxy xya xyxy xya 例例 6 把分解因式 222 2428xxyyz 分析 分析 先将系数 2 提出后 得到 其中前三项作为一组 它是一个完全平方 222 24xxyyz 式 再和第四项形成平方差形式 可继续分解因式 解 解 222222 24282 24 xxyyzxxyyz 22 2 2 2 2 2 xyzxyz xyz 说明 说明 从例 5 例 6 可以看出 如果一个多项式的项分组后 各组都能直接运用公式或提取公因 式进行分解 并且各组在分解后 它们之间又能运用公式或有公因式 那么这个多项式就可以分组分 解法来分解因式 三 十字相乘法三 十字相乘法 1 型的因式分解型的因式分解 2 xpq xpq 这类式子在许多问题中经常出现 其特点是 1 二次项系数是 1 2 常数项是两个数之积 3 一次项系数是常数项的两个因数之和 22 xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此 2 xpq xpqxp xq 运用这个公式 可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 例例 7 把下列各式因式分解 1 2 2 76xx 2 1336xx 解 解 1 6 1 6 1 6 7 2 76 1 6 1 6 xxxxxx 2 3649 4913 2 1336 4 9 xxxx 说明 说明 此例可以看出 常数项为正数时 应分解为两个同号因数 它们的符号与一次项系数的符 号相同 例例 8 把下列各式因式分解 1 2 2 524xx 2 215xx 解 解 1 24 3 8 3 85 2 524 3 8 3 8 xxxxxx 2 15 5 3 5 32 2 215 5 3 5 3 xxxxxx 说明 说明 此例可以看出 常数项为负数时 应分解为两个异号的因数 其中绝对值较大的因数与一 次项系数的符号相同 例例 9 把下列各式因式分解 1 2 22 6xxyy 222 8 12xxxx 分析 分析 1 把看成的二次三项式 这时常数项是 一次项系数是 把 22 6xxyy x 2 6y y 分解成与的积 而 正好是一次项系数 2 6y 3y2y 3 2 yyy 2 由换元思想 只要把整体看作一个字母 可不必写出 只当作分解二次三项式 2 xx a 2 812aa 解 解 1 2222 66 3 2 xxyyxyxxy xy 2 22222 8 12 6 2 xxxxxxxx 3 2 2 1 xxxx 2 一般二次三项式 一般二次三项式型的因式分解型的因式分解 2 axbxc 大家知道 2 1122121 22 11 2 a xca xca a xa ca c xc c 反过来 就得到 2 121 22 11 21122 a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现 二次项系数分解成 常数项分解成 把写成 这里按a 12 a ac 1 2 c c 1212 a a c c 11 22 ac ac 斜线交叉相乘 再相加 就得到 如果它正好等于的一次项系数 那么 1 22 1 a ca c 2 axbxc b 就可以分解成 其中位于上一行 位于下一行 2 axbxc 1122 a xca xc 11 a c 22 a c 这种借助画十字交叉线分解系数 从而将二次三项式分解因式的方法 叫做十字相乘法 必须注意 分解因数及十字相乘都有多种可能情况 所以往往要经过多次尝试 才能确定一个二 次三项式能否用十字相乘法分解 例例 10 把下列各式因式分解 1 2 2 1252xx 22 568xxyy 解 解 1 2 1252 32 41 xxxx 32 4 1 2 22 568 2 54 xxyyxyxy 1 2 54 y y 说明 说明 用十字相乘法分解二次三项式很重要 当二次项系数不是 1 时较困难 具体分解时 为提 高速度 可先对有关常数分解 交叉相乘后 若原常数为负数 用减法 凑 看是否符合一次项系数 否则用加法 凑 先 凑 绝对值 然后调整 添加正 负号 四 其它因式分解的方法四 其它因式分解的方法 1 配方法 配方法 例例 11 分解因式 2 616xx 解 解 222222 616233316 3 5xxxxx 35 35 8 2 xxxx 说明 说明 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法 配方后将二次三项式化为两个平方式 然 后用平方差公式分解 当然 本题还有其它方法 请大家试验 2 拆 添项法 拆 添项法 例例 12 分解因式 32 34xx 分析 分析 此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式 分组也不易进行 细查式中无一次项 如 果它能分解成几个因式的积 那么进行乘法运算时 必是把一次项系数合并为 0 了 可考虑通过添项 或拆项解决 解 解 3232 34 1 33 xxxx 22 1 1 3 1 1 1 1 3 1 xxxxxxxxx 22 1 44 1 2 xxxxx 说明 说明 本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和 将多项式分成两组 满足系数对应成比例 造成可以 用公式法及提取公因式的条件 本题还可以将拆成 将多项式分成两组和 2 3x 22 4xy 32 xx 2 44x 一般地 把一个多项式因式分解 可以按照下列步骤进行 1 如果多项式各项有公因式 那么先提取公因式 2 如果各项没有公因式 那么可以尝试运用公式来分解 3 如果用上述方法不能分解 那么可以尝试用分组或其它方法 如十字相乘法 来分解 4 分解因式 必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 A 组组 1 把下列各式分解因式 1 2 3 3 27a 3 8m 3 278x 4 5 6 33 11 864 pq 33 1 8 125 x y 333 11 21627 x yc 2 把下列各式分解因式 1 2 34 xyx 33nn xx y 3 4 2323 amna b 2232 2 yxxy 练练 习习 3 把下列各式分解因式 1 2 3 2 32xx 2 3736xx 2 1126xx 4 5 6 2 627xx 22 45mmnn 2 11 28abab 4 把下列各式分解因式 1 2 3 543 1016axaxax 212 6 nnn aaba b 22 2 9xx 4 5 6 42 718xx 2 673xx 22 82615xxyy 7 8 2 7 5 2abab 22 67 25xx 5 把下列各式分解因式 1 2 3 2 33axayxyy 32 8421xxx 2 51526xxxyy 4 5 6 22 4202536aabb 22 414xyxy 432224 a ba ba bab 7 8 663 21xyx 2 1 xxy xyx B 组组 1 把下列各式分解因式 1 2 2222 ab cdcd ab 22 484xmxmnn 3 4 5 4 64x 32 113121xxx 3223 428xxyx yy 2 已知 求代数式的值 2 2 3 abab 2222 2a ba bab 3 证明 当为大于 2 的整数时 能被 120 整除 n 53 54nnn 4 已知 求证 0abc 3223 0aa cb cabcb 第二讲第二讲 因式分解答案因式分解答案 A 组组 1 222 3 39 2 42 23 469 aaammmxxx 2 2222222 11211 2 42 2 4 2 24 645525216 pqppqqxyx yxyxyc x yxycc 2222 n x xyyxyxxxy xxyy 22222432 1 4321 amnbmnb mnbyxxxxx 3 2 1 36 1 13 2 9 3 xxxxxxxx 9 3 5 4 7 xxmn mnabab 4 322 2 8 3 2 3 1 23 3 3 2 n axxxaab abxxxxxxx 5 2 23 31 2 415 772 1 21 35 675 xxxyxyababxxxx 2 3 21 21 3 52 256 256 xyayxxxxyabab 23333 12 12 1 1 1 xyxy ab ababxyxyx xy xy B 组组 1 22 42 2 48 48 bcad acbdxmn xnxxxx 2 1 3 7 2 2 xxxxyxy 2 28 3 3 53 54 2 1 1 2 nnnnnn nn 4 322322 aa cb cabcbaabbabc 第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念 解法及应用 而一元二次方程的根的 判断式及根与系数的关系 在高中教材中的二次函数 不等式及解析几何等章节有着许多应用 本节 将对一元二次方程根的判别式 根与系数的关系进行阐述 一 一元二次方程的根的判断式一 一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 用配方法将其变形为 2 0 0 axbxca 2 2 2 4 24 bbac x aa 1 当时 右端是正数 因此 方程有两个不相等的实数根 2 40bac 2 4 2 bbac x a 2 当时 右端是零 因此 方程有两个相等的实数根 2 40bac 1 2 2 b x a 3 当时 右端是负数 因此 方程没有实数根 2 40bac 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况 因此 把叫做一元二 2 4bac 2 4bac 次方程的根的判别式 表示为 2 0 0 axbxca 2 4bac 例例 1 不解方程 判断下列方程的实数根的个数 1 2 3 2 2310 xx 2 4912yy 2 5 3 60 xx 解 解 1 原方程有两个不相等的实数根 2 3 42 110 2 原方程可化为 2 41290yy 原方程有两个相等的实数根 2 12 4490 3 原方程可化为 2 56150 xx 原方程没有实数根 2 6 45 152640 说明 说明 在求判断式时 务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 例例 2 已知关于的一元二次方程 根据下列条件 分别求出的范围 x 2 320 xxk k 1 方程有两个不相等的实数根 2 方程有两个相等的实数根 3 方程有实数根 4 方程无实数根 解 解 2 2 43412kk 1 2 1 4120 3 kk 1 4120 3 kk 3 4 1 4120 3 kk 1 4120 3 kk 例例 3 已知实数 满足 试求 的值 xy 22 210 xyxyxy xy 解 解 可以把所给方程看作为关于的方程 整理得 x 22 2 10 xyxyy 由于是实数 所以上述方程有实数根 因此 x 222 2 4 1 300yyyyy 代入原方程得 2 2101xxx 综上知 1 0 xy 二 一元二次方程的根与系数的关系二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为 2 0 0 axbxca 22 44 22 bbacbbac xx aa 所以 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa 22222 12 22 44 4 4 22 2 4 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 定理 如果一元二次方程的两个根为 那么 2 0 0 axbxca 12 x x 1212 bc xxx x aa 说明 说明 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现 所以通常把此定理称为 韦达定理 上述定理成立的前提是 0 例例 4 若是方程的两个根 试求下列各式的值 12 x x 2 220070 xx 1 2 3 4 22 12 xx 12 11 xx 12 5 5 xx 12 xx 分析 分析 本题若直接用求根公式求出方程的两根 再代入求值 将会出现复杂的计算 这里 可以 利用韦达定理来解答 解 解 由题意 根据根与系数的关系得 1212 2 2007xxx x 1 2222 121212 2 2 2 2007 4018xxxxx x 2 12 1212 1122 20072007 xx xxx x 3 121212 5 5 5 2520075 2 251972xxx xxx 4 222 12121212 4 2 4 2007 2 2008xxxxxxx x 说明 说明 利用根与系数的关系求值 要熟练掌握以下等式变形 222 121212 2xxxxx x 12 1212 11xx xxx x 22 121212 4xxxxx x 2 121212 4xxxxx x 22 12121212 x xx xx xxx 等等 韦达定理体现了整体思想 333 12121212 3 xxxxx xxx 例例 5 已知关于的方程 根据下列条件 分别求出的值 x 22 1 1 10 4 xkxk k 1 方程两实根的积为 5 2 方程的两实根满足 12 x x 12 xx 分析 分析 1 由韦达定理即可求之 2 有两种可能 一是 二是 所以要分 12 0 xx 12 xx 类讨论 解 解 1 方程两实根的积为 5 22 2 12 1 1 4 1 0 3 4 4 12 15 4 kk kk x xk 所以 当时 方程两实根的积为 5 4k 2 由得知 12 xx 当时 所以方程有两相等实数根 故 1 0 x 12 xx 3 0 2 k 当时 由于 1 0 x 1212 0101xxxxkk 故不合题意 舍去 3 0 2 k 1k 综上可得 时 方程的两实根满足 3 2 k 12 x x 12 xx 说明 说明 根据一元二次方程两实根满足的条件 求待定字母的值 务必要注意方程有两实根的条件 即所求的字母应满足 0 例例 6 已知是一元二次方程的两个实数根 12 x x 2 4410kxkxk 1 是否存在实数 使成立 若存在 求出的值 若不存在 k 1212 3 2 2 2 xxxx k 请您说明理由 2 求使的值为整数的实数的整数值 12 21 2 xx xx k 解 解 1 假设存在实数 使成立 k 1212 3 2 2 2 xxxx 一元二次方程的两个实数根 2 4410kxkxk 2 40 0 4 4 4 1 160 k k kk kk 又是一元二次方程的两个实数根 12 x x 2 4410kxkxk 12 12 1 1 4 xx k x x k 222 121212121212 2 2 2 52 9xxxxxxx xxxx x 但 939 425 k k k 0k 不存在实数 使成立 k 1212 3 2 2 2 xxxx 2 222 121212 211212 44 2244 11 xxxxxxk xxx xx xkk 要使其值是整数 只需能被 4 整除 故 注意到 1k 11 2 4k 0k 要使的值为整数的实数的整数值为 12 21 2 xx xx k2 3 5 说明 说明 1 存在性问题的题型 通常是先假设存在 然后推导其值 若能求出 则说明存在 否 则即不存在 2 本题综合性较强 要学会对为整数的分析方法 4 1k A 组组 1 一元二次方程有两个不相等的实数根 则的取值范围是 2 1 210k xx k A B C D 2k 2 1kk 且2k 2 1kk 且 2 若是方程的两个根 则的值为 12 x x 2 2630 xx 12 11 xx A B C D 22 1 2 9 2 3 已知菱形 ABCD 的边长为 5 两条对角线交于 O 点 且 OA OB 的长分别是关于的方程x 的根 则等于 22 21 30 xmxm m A B C D 3 553 且53 且 4 若 是一元二次方程的根 则判别式和完全平方式t 2 0 0 axbxca 2 4bac 的关系是 2 2 Matb A B C D 大小关系不能确定M M M 5 若实数 且满足 则代数式的值为 ab a b 22 850 850aabb 11 11 ba ab A B C D 20 2220 且220且 6 如果方程的两根相等 则之间的关系是 2 0bc xca xab a b c 7 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根 则这个直角三角形的 2 2870 xx 练练 习习 斜边长是 8 若方程的两根之差为 1 则的值是 2 2 1 30 xkxk k 9 设是方程的两实根 是关于的方程的两实根 12 x x 2 0 xpxq 12 1 1xx x 2 0 xqxp 则 pq 10 已知实数满足 则 a b c 2 6 9ab cab abc 11 对于二次三项式 小明得出如下结论 无论取什么实数 其值都不可能等于 2 1036xx x 10 您是否同意他的看法 请您说明理由 12 若 关于的方程有两个相等的的正实数根 求的值 0n x 2 1 2 0 4 xmn xmn m n 13 已知关于的一元二次方程 x 2 41 210 xmxm 1 求证 不论为任何实数 方程总有两个不相等的实数根 2 若方程的两根为 且满足 求的值 12 x x 12 111 2xx m 14 已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长 x 22 1 1 10 4 xkxk 1 取何值时 方程存在两个正实数根 k 2 当矩形的对角线长是时 求的值 5k B 组组 1 已知关于的方程有两个不相等的实数根 x 2 1 23 10kxkxk 12 x x 1 求的取值范围 k 2 是否存在实数 使方程的两实根互为相反数 如果存在 求出的值 如果不存在 请您kk 说明理由 2 已知关于的方程的两个实数根的平方和等于 11 求证 关于的方程x 2 30 xxm x 有实数根 22 3 640kxkmxmm 3 若是关于的方程的两个实数根 且都大于 1 12 x xx 22 21 10 xkxk 12 x x 1 求实数的取值范围 k 2 若 求的值 1 2 1 2 x x k 第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案一元二次方程根与系数的关系习题答案 A 组组 1 B2 A3 A4 A5 A 6 2 acbbc 且 7 38 9 或9 3 1 3pq 10 11 正确12 43 3 0abc 13 2 1 1 1650 2 2 mm 14 3 1 2 2 2 kk B 组组 1 2 不存在 13 1 1 12 kk 且 2 1 当时 方程为 有实根 2 当时 也有实根 1m 3k 310 x 3k 0 3 1 2 3 1 4 kk 且7k 第四讲第四讲 不不 等等 式式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 高中阶段将进一步学习一元二 次不等式和分式不等式等知识 本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识 一 一元二次不等式及其解法一 一元二次不等式及其解法 1 形如的不等式称为关于的一元二次不等式 2 0 0 0 axbxca 且且且x 例例 1 解不等式 2 60 xx 分析 分析 不等式左边可以因式分解 根据 符号法则 正正 负负 得正 正负得负 的原则 将 其转化为一元一次不等式组 解 解 原不等式可以化为 3 2 0 xx 于是 或 30 20 x x 30 20 x x 33 32 22 xx xx xx 且且 所以 原不等式的解是 32xx 且 说明 说明 当把一元二次不等式化为的形式后 只要左边可以分解为两个一 2 0 0 axbxc 且 次因式 即可运用本题的解法 例例 2 解下列不等式 1 2 2 3 6xx 1 2 2 21 xxxx 分析 分析 要先将不等式化为的形式 通常使二次项系数为正数 2 0 0 axbxc 且 解 解 1 原不等式可化为 即 2 120 xx 3 4 0 xx 于是 3030 34 4040 xx x xx 且 所以原不等式的解是 34x 2 原不等式可化为 即 2 40 xx 2 40 4 0 xxx x 于是 00 04 4040 xx xx xx 且且 所以原不等式的解是 04xx 且 2 一元二次不等式与二次函数及一元二次方 2 0 0 axbxc 且 2 0 yaxbxca 程的关系 简称 三个二次 2 0axbxc 以二次函数为例 2 6yxx 1 作出图象 2 根据图象容易看到 图象与轴的交点是x 3 0 2 0 即当时 就是说对应的一元二次方32x 且0y 程 的两实根是 2 60 xx 32x 且 3 当时 对应图像位于轴32xx 且0y x 的上方 就 是说的解是 2 60 xx 32xx 且 当时 对应图像位于轴的下方 就是说的解是32x 0y x 2 60 xx 32x 一般地 一元二次不等式可以结合相应的二次函数 一元二次方程求解 步骤如下 1 将二次项系数先化为正数 2 观测相应的二次函数图象 如果图象与轴有两个交点 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x 12 0 0 xx 也可由根的判别式来判断 12 x x0 那么 图 1 2 12 0 0 axbxcaxxxx 且 2 12 0 0 axbxcaxxx 如 果图象与 轴只有x 一个交点 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 也可由根的判别式 0 2 b a 2 2 x b xx a 来判断 0 那么 图 2 2 0 0 2 b axbxcax a 无解 2 0 0 axbxca 如果图象与轴没有交点 此时对应的一元二次方程没有实数根 也可由根的判别式来x0 判断 那么 图 3 取一切实数 2 0 0 axbxcax 无解 2 0 0 axbxca 如果单纯的解一个一元二次不等式的话 可以按照一下步骤处理 1 化二次项系数为正 2 若二次三项式能分解成两个一次因式的积 则求出两根 那么 型的解为 12 x x0 俗称两根之外 型的解为 俗称两根之间 12 xxxx 且0 12 xxx 3 否则 对二次三项式进行配方 变成 结合完全平方 2 22 4 24 bacb axbxca x aa 式为非负数的性质求解 例例 3 解下列不等式 1 2 3 2 280 xx 2 440 xx 2 20 xx 解 解 1 不等式可化为 不等式的解是 2 4 0 xx 24x 2 不等式可化为 不等式的解是 2 2 0 x 2x 3 不等式可化为 2 17 0 24 x 例例 4 已知对于任意实数 恒为正数 求实数的取值范围 x 2 2kxxk k 解 解 显然不合题意 于是 0k 222 000 1 11 2 4010 kkk k kkkk 且 例例 5 已知关于的不等式的解为 求的值 x 22 1 30kxkx 13k k 分析 分析 对应的一元二次方程的根是和 且对应的二次函数的图象开口向上 根据一元二次方1 3 程根与系数的关系可以求解 解 解 由题意得 2 0 1 131 3 1 3 k k k k k 说明 说明 本例也可以根据方程有两根和 用代入法得 1 3 22 1 1 1 30kk 且注意 从而 22 33 1 30kk 0k 1k 二 简单分式不等式的解法二 简单分式不等式的解法 例例 6 解下列不等式 1 2 23 0 1 x x 2 3 0 1 x xx 分析 分析 1 类似于一元二次不等式的解法 运用 符号法则 将之化为两个一元一次不等式组处 理 或者因为两个数 式 相除异号 那么这两个数 式 相乘也异号 可将分式不等式直接转化为整式不 等式求解 2 注意到经过配方法 分母实际上是一个正数 解 解 1 解法 一 原不等式可化为 33 230230 3 122 10102 11 xxxx x xx xx 且且 解法 二 原不等式可化为 3 23 1 01 2 xxx 2 22 13 1 0 24 xxx 原不等式可化为 303xx 例例 7 解不等式 1 3 2x 解 解 原不等式可化为 说明 说明 35 2 0 135355 30002 202223 xx xx xx xxxx 且 1 转化为整式不等式时 一定要先将右端变为 0 2 本例也可以直接去分母 但应注意讨论分母的符号 三 含三 含 22 2020 15 32 55 3 2 13 2 123 33 xx xx xx xxxxx 且且且 有字母系数的一元二次不等式有字母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式 0 axb a 1 当时 不等式的解为 0a b x a 2 当时 不等式的解为 0a b x a 3 当时 不等式化为 0a 0 xb 若 则不等式的解是全体实数 若 则不等式无解 0b 0b 例例 8 求关于的不等式的解 x 2 22m xmxm 解 解 原不等式可化为 2 2m mxm 1 当时 不等式的解为 202mm 且1mx 1 x m 2 当时 202mm 且1mx 时 不等式的解为 02m 1 x m 时 不等式的解为 0m 1 x m 时 不等式的解为全体实数 0m 3 当时 不等式无解 202mm 且 综上所述 当或时 不等式的解为 当时 不等式的解为 0m 2m 1 x m 02m 1 x m 当时 不等式的解为全体实数 当时 不等式无解 0m 2m 例例 9 已知关于的不等式的解为 求实数的值 x 2 2kkxx 1 2 x k 分析 分析 将不等式整理成的形式 可以考虑只有当时 才有形如的解 从而令axb 0a b x a 1 2 b a 解 解 原不等式可化为 2 1 2kxk 所以依题意 2 101 3 321 21 212 kk k k k k 且 A 组组 1 解下列不等式 1 2 2 20 xx 2 3180 xx 3 4 2 31xxx 9 3 3 x xx 2 解下列不等式 1 2 1 0 1 x x 31 2 21 x x 3 4 2 1 x 2 21 0 21 xx x 3 解下列不等式 1 2 22 222xxx 2 111 0 235 xx 4 已知不等式的解是 求的值 2 0 xaxb 23x a b 5 解关于的不等式 x 2 1mxm 6 已知关于的不等式的解是 求的值 x22kxkkx 1x k 7 已知不等式的解是 求不等式的解 2 20 xpxq 21x 2 20pxqx B 组组 1 已知关于的不等式的解是一切实数 求的取值范围 x 2 0mxxm m 2 若不等式的解是 求的值 2 23 1 xx kk 3x k 3 解关于的不等式 x 22 56xaxa 4 取何值时 代数式的值不小于 0 a 2 1 2 2 2aa 5 已知不等式的解是 其中 求不等式的 2 0axbxc x 0 2 0cxbxa 解 练练 习习 第四讲第四讲 不等式答案不等式答案 A 组组 1 1 1 0 2 36 3 1 4 3 2 xxxx 2 11 1 11 2 3 3 20 4 22 xxxxxxx 且且且 3 1 无解 2 全体实数 4 5 6ab 5 1 当时 2 当时 3 当时 取全体实数 2m 1 2 m x m 2m 1 2 m x m 2m x 6 1k 7 1x B 组组 1 1 2 m 2 5k 3 1 时 2 时 无解 3 时 0a 78 aa x 0a 0a 87 aa x 4 51aa 且 5 11 xx 且 第五讲第五讲 二次函数的最值问题二次函数的最值问题 二次函数是初中函数的主要内容 也是高中学习的重要基础 在初中阶 2 0 yaxbxc a 段大家已经知道 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况 当时 函数在处取得x0a 2 b x a 最小值 无最大值 当时 函数在处取得最大值 无最小值 2 4 4 acb a 0a 2 b x a 2 4 4 acb a 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时 函数的最值问题 同时还将x 学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用 例例 1 当时 求函数的最大值和最小值 22x 2 23yxx 分析 分析 作出函数在所给范围的及其对称轴的草图 观察图象的最高点和最低点 由此得到函数的 最大值 最小值及函数取到最值时相应自变量的值 x 解 解 作出函数的图象 当时 当时 1x min 4y 2x max 5y 例例 2 当时 求函数的最大值和最小值 12x 2 1yxx 解 解 作出函数的图象 当时 当时 1x min 1y 2x max 5y 由上述两例可以看到 二次函数在自变量的给定范围内 对应的图象是抛物线上的一段 那么x 最高点的纵坐标即为函数的最大值 最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置 函数在所给自变量的范围的图象形状各异 下面给出一些常见情x 况 例例 3 当时 求函数的取值范围 0 x 2 yxx 解 解 作出函数在内的图象 2 2 2yxxxx 0 x 可以看出 当时 无最大值 1x min 1y 所以 当时 函数的取值范围是 0 x 1y 例例 4 当时 求函数的最小值 其中 为常数 1txt 2 15 22 yxx t 分析 分析 由于所给的范围随着 的变化而变化 所以需要比较对称轴与其范围的相对位置