利用导数求参数的取值范围

1 高考题中的利用导数求参数范围高考题中的利用导数求参数范围 一一 与二次函数的性质 单调性 不等式等相联系与二次函数的性质 单调性 不等式等相联系 求解策略 求解策略 利用利用 要使要使成立 只需使函数的最小值成立 只需使函数的最小值恒成立即可 要使恒成立即可 要使成立 成立 axf axf min axf 只需使函数的最大值只需使函数的最大值恒成立即可恒成立即可 axf max 这也是近两年高考考查和应用最多的一种 例例 1 已知向量 若在区间 1 1 上是增函数 求 的取值范围 a 2 x1 xax 1tbaxf t 解析 解析 由向量的数量积定义 xf 2 xx 11 xt 3 x 2 xtxt x f 2 3x x2t 若在区间 1 1 上是增函数 则有 0 在 1 1 上恒成立 xf x f t 2 3xx2 若令 3 xg 2 3xx2 3 1 x 2 3 1 在区间 1 1 上 5 故在区间 1 1 上使 恒成立 max xg 1 gt xg 只需 即可 即 5 即 的取值范围是 5 t 1 gtt 点评 点评 本题除了用导数反映单调性 还借助了二次函数的性质求出最值 且要注意边界值的取舍 例例 2 使不等式 对任意的实数都成立 求实数的取值范围 4 x 2 2xa 2xa 解析 解析 注意到不等式的次数较高 应想到构造函数 求导 令 则如果原不等式对任意的实数都成立等价于 xf 4 x 2 2xx min xfa 2 又 4 令 0 解得 0 或 1 x f 3 4xx4 2 x1 x x f xx 的符号及的单调性如下 x f xf x 0 0 0 1 1 1 x f 0 0 xf 无 极 值 极 小 值 因为在 R 上的极值只有一个 故此极小值即为最小值 即 1 xf min xf 1 f 1 即 3 min xfa 2a 点评 点评 本题是利用导数求得函数的最值 进而求出参数范围的 例例 3 若函数 0 1 在区间 0 内单调递增 则的取值范围是 xf 3 log xax a aa 2 1 a 2 A 1 B 1 C D 1 4 1 4 3 4 9 4 9 解析 解析 是复合函数 须按 0 1 两种情况考虑 令 在 0 上为增函数 xfaa xgaxx 3 xf 2 1 若 0 1 则在 0 上为减函数 即 3在 0 上恒成立 3 此时 1 a 2 x 2 1 a 2 2 1 4 3 4 3 a 若 1 则在 0 上为增函数 须使 0 在 0 上恒成立 a xg 2 1 x g ax 2 3 2 1 即 3在 0 上恒成立 即 0 不合题意 综上 1 a 2 x 2 1 aa 4 3 点评 点评 解决与复合函数有关问题 要注意复合函数的单调性 否则就会南辕北辙 例例 4 04 辽宁 已知函数 0 ln aaexf x 1 求函数的反函数的导数 xfy 1 xfxfy及 x f 2 假设对任意 不等式成立 求实数 m 的取值范围 4ln 3 ln aax 0 ln 1 xfxfm 解析 解析 1 解略 得 1 xf ln ae x x f a x x e e ln x f ln aex x 2 解此绝对值不等式得 1 xf ln x f m 1 xf ln x f 把 1 代入上式 得 ln ae x ln ae x xm ln ae x ln ae x x 若把此不等式左右两边设为两个新函数 即 令 x ln ae x ln ae x x xg ln ae x ln ae x x 则原不等式对于任意恒成立 意即 成立 4ln 3 ln aax x m xg 只需满足 即可 max x m min xg 注意到 0 即 x 1 ae e a x x x x e e x g 1 ae e a x x x x e e ae x x eae x 10 0 故 均为增函数 x x g x xg 3 在上 4ln 3 ln aa max x 4 ln a 5 12 ln a min xg 3 ln ag 3 8 ln a 故原不等式成立 当且仅当 即 0 恒成立 求实数 m 的取值范围 0 mx xf 7 分析 1 935 23 xxxxf 基础训练 3 0 0 0 3 0 0 0 3 0 3 0 3 3 1 9 0 0 3 1 0 3 3 1 0 3 13 3103 2 21 2 的取值范围为所以 内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当 所以单调递减时当 所以单调递增时当得由 m mxfm mxfm fxfxfxfx fxf xfxfxxxxf xxxxxf 24 4 34 的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a xaxx 六六 知函数图象的交点情况 求参数的取值范围 知函数图象的交点情况 求参数的取值范围 例 5 已知函数处取得极值1 13 23 xxxbxaxxf在 1 求函数的解析式 xf 2 若过点可作曲线 y 的三条切线 求实数 m 的取值范围 2 1 mmA xf 略解 1 求得xxxf3 3 2 设切点为33 3 2 0 3 00 xxfxxxM因为 0 2 00 2 0 3 00 0 2 0 3 0 0 2 00 3 0 2 0 66 332 0332 1 33 3 1 33 xxxgmxxxg xA mxx xxmxx Mxxmy 则设 有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点 即 所以 又切线过点所以切线方程为 2 3 23 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 100 0 0000 000 的取值范围是所求的实数 解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于 的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以 或得由 m m g g x xxxgxg xxxg 总结 从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与 x 轴交点个数 基础训练 轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当 的极值求 函数为实数设 xxfya xf axxxxfa 2 1 5 23 七七 开放型的问题 求参数的取值范围 开放型的问题 求参数的取值范围 例 已知且 2 cxxf 1 2 xfxff 1 设 求的解析式 xffxg xg 8 2 设 试问 是否存在 使在 上是单调递减函数 且在 xfxgx R x 1 上是单调递增函数 若存在 求出的值 若不存在 说明理由 0 1 分析 1 易求 c 1 22 24 xxxg 2 xfxgx 2 2 24 xx 2 2 2 2 xxx 由题意在 上是单调递减函数 且在 上是单调递增函数知 是极 x 1 0 1 0 1 小值 由得0 1 4 当 时 是单调递增函数 4