平行四边形综合提高练习题

1 F E D C B A 平行四边形综合提高平行四边形综合提高 一一 利用平行四边形的性质进行角度 线段的计算利用平行四边形的性质进行角度 线段的计算 1 如图 在 ABCD 中 AE BC 于 E AF CD 于 F 若 EAF 60o 则 B 若 BC 4cm AB 3cm 则 AF ABCD 的面积为 2已知ABCD 的周长为 32cm 对角线 AC BD 交于点 O AOB 的周长比 BOC 的周长多 4cm 求 这个四边形的各边长 二 利用平行四边形的性质证线段相等二 利用平行四边形的性质证线段相等 3 如图 在 ABCD 中 O 是对角线 AC BD 的交点 BE AC DF AC 垂足分别为 E F 那么 OE 与 OF 是否相等 为什么 三三 直接利用平行四边形的判定和性质直接利用平行四边形的判定和性质 4 如图在ABCD 中 E F 分别是 AD BC 的中点 AF 与 EB 交于点 G CE 与 DF 交于点 H 试说明 四边形 EGFH 的形状 5 如图 BD 是ABCD 的对角线 AE BD 于 E CF BD 于点 F 求证 四边形 AECF 为平行四边形 四四 构造平行四边形解题构造平行四边形解题 6 如图 2 33 所示 Rt ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D BG 平分 ABC EF BC 且交 AC 于 F H G A B D C E F A B D C E F 2 求证 AE CF 7 已知 如图 AD 为 ABC 的中线 E 为 AC 上一点 连结 BE 交 AD 于点 F 且 AE FE 求证 BF AC 能力提高能力提高 1 如图 2 39 所示 在平行四边形 ABCD 中 ABE 和 BCF 都是等边三角形 求证 DEF 是等边三角形 2 如图 2 32 所示 在ABCD 中 AE BC CF AD DN BM 求证 EF 与 MN 互相平分 3 3 如图 2 34 所示 ABCD 中 DE AB 于 E BM MC DC 求证 EMC 3 BEM 4 4 如图 2 35 所示 矩形 ABCD 中 CE BD 于 E AF 平分 BAD 交 EC 延长线于 F 求证 CA CF 创新思维创新思维 1 以 ABC 的三条边为边在 BC 的同侧作等边 ABP 等边 ACQ 等边 BCR 求证 四边形 PAQR 为平行四边形 F A B C E D 3 2 如图 2 40 所示 ABCD 中 AF 平分 BAD 交 BC 于 F DE AF 交 CB 于 E 求证 BE CF 3 已知 如图 4 12 ABCD 中 AE BD CF BD M N 分别是 AD BC 的中点 求证 四边形 MENF 是平行四边形 4 已知 如图 4 23 P 是等边 ABC 内一点 PD AB PE BC PF AC 求证 PD PE PF 为定 值 5 在等腰 ABC 中 AB AC 点 D 是直线 BC 上一点 DE AC 交直线 AB 于 E DF AB 交直线 AC 于 点 F 解答下列各问 1 如图 1 当点 D 在线段 BC 上时 有 DE DF AB 请你说明理由 6 分 2 如图 2 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 请你参考 1 画出正确的图形 并写出线段 DE DF AB 之间的关系并加以证明 图 1 图 2 6 如图 2 38 所示 DE AC BF AC DE BF ADB DBC 求证 四边形 ABCD 是平行四边形 A F BC D E P D A B C F E D CB A 4 7 已知 如图 在 ABCD 中 AE AD 交 BD 于 E 若 CD 求证 ADB BDCDE 2 1 2 1 8 已知 如图 4 21 在 ABCD 中 ABE 和 BCF 都是等边三角形 求证 DEF 是等边三角 形 1 如图 已知四边形 ABCD 为平行四边形 AE BD 于 E CF BD 于 F 1 求证 BE DF 2 若 M N 分别为边 AD BC 上的点 且 DM BN 试判断四边形 MENF 的形状 不必说明理由 2 如图所示 AECF 的对角线相交于点 O DB 经过点 O 分别与 AE CF 交于 B D 求证 四边形 ABCD 是平行四边形 3 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD BF DE AE BD CF BD 垂足分别为 E F 1 求证 ABE CDF 2 若 AC 与 BD 交于点 O 求证 AO CO D C A B E 5 4 已知 如图 在 ABC 中 BAC 90 DE DF 是 ABC 的中位线 连接 EF AD 求证 EF AD 5 如图 已知 D 是 ABC 的边 AB 上一点 CE AB DE 交 AC 于点 O 且 OA OC 猜想线段 CD 与线 段 AE 的大小关系和位置关系 并加以证明 6 如图 已知 ABCD 中 AE CF M N 分别是 DE BF 的中点 求证 四边形 MFNE 是平行四边形 7 如图 平行四边形 ABCD E F 两点在对角线 BD 上 且 BE DF 连接 AE EC CF FA 求证 四边形 AECF 是平行四边形 8 在 ABCD 中 分别以 AD BC 为边向内作等边 ADE 和等边 BCF 连接 BE DF 求证 四边形 BEDF 是平行四边形 6 9 如图所示 DB AC 且 DB AC E 是 AC 的中点 求证 BC DE 10 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AD 24cm BC 30cm 点 P 自点 A 向 D 以 1cm s 的速度 运动 到 D 点即停止 点 Q 自点 C 向 B 以 2cm s 的速度运动 到 B 点即停止 直线 PQ 截梯形为 两个四边形 问当 P Q 同时出发 几秒后其中一个四边形为平行四边形 11 如图 已知 D E F 分别是 ABC 各边的中点 求证 AE 与 DF 互相平分 12 已知 如图 在 ABCD 中 对角线 AC 交 BD 于点 O 四边形 AODE 是平行四边形 求证 四边形 ABOE 四边形 DCOE 都是平行四边形 13 如图 已知四边形 ABCD 中 点 E F G H 分别是 AB CD AC BD 的中点 并且点 E F G H 有在同一条直线上 求证 EF 和 GH 互相平分 7 14 如图 ABCD 中 MN AC 试说明 MQ NP 15 已知 如图所示 平行四边形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O EF 经过点 O 并且分别和 AB CD 相交于点 E F 点 G H 分别为 OA OC 的中点 求证 四边形 EHFG 是平行四边形 16 如图 已知在 ABCD 中 E F 是对角线 BD 上的两点 BE DF 点 G H 分别在 BA 和 DC 的延长 线上 且 AG CH 连接 GE EH HF FG 1 求证 四边形 GEHF 是平行四边形 2 若点 G H 分别在线段 BA 和 DC 上 其余条件不变 则 1 中的结论是否成立 不用说明 理由 17 如图 在 ABC 中 D 是 AC 的中点 E 是线段 BC 延长线一点 过点 A 作 BE 的平行线与线段 ED 的延长线交于点 F 连接 AE CF 1 求证 AF CE 2 如果 AC EF 且 ACB 135 试判断四边形 AFCE 是什么样的四边形 并证明你的结论 8 18 如图平行四边形 ABCD 中 ABC 60 点 E F 分别在 CD BC 的延长线上 AE BD EF BF 垂足为点 F DF 2 1 求证 D 是 EC 中点 2 求 FC 的长 19 如图 已知 ABC 是等边三角形 点 D F 分别在线段 BC AB 上 EFB 60 DC EF 1 求证 四边形 EFCD 是平行四边形 2 若 BF EF 求证 AE AD 20 如图 四边形 ABCD E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 1 请判断四边形 EFGH 的形状 并说明为什么 2 若使四边形 EFGH 为正方形 那么四边形 ABCD 的对角线应具有怎样的性质 21 2008 佛山 如图 ACD ABE BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形 1 当 AB AC 时 证明 四边形 ADFE 为平行四边形 2 当 AB AC 时 顺次连接 A D F E 四点所构成的图形有哪几类 直接写出构成图形的类型 和相应的条件 22 如图 以 ABC 的三边为边 在 BC 的同侧分别作三个等边三角形即 ABD BCE ACF 那 么 四边形 AFED 是否为平行四边形 如果是 请证明之 如果不是 请说明理由 9 23 2007 黑龙江 在 ABC 中 AB AC 点 P 为 ABC 所在平面内一点 过点 P 分别作 PE AC 交 AB 于点 E PF AB 交 BC 于点 D 交 AC 于点 F 若点 P 在 BC 边上 如图 1 此时 PD 0 可得结 论 PD PE PF AB 请直接应用上述信息解决下列问题 当点 P 分别在 ABC 内 如图 2 ABC 外 如图 3 时 上述结论是否成立 若成立 请给予证 明 若不成立 PD PE PF 与 AB 之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需要证明 24 2006 大连 如图 1 P 为 Rt ABC 所在平面内任意一点 不在直线 AC 上 ACB 90 M 为 AB 边中点 操作 以 PA PC 为邻边作平行四边形 PADC 连续 PM 并延长到点 E 使 ME PM 连接 DE 探究 1 请猜想与线段 DE 有关的三个结论 2 请你利用图 2 图 3 选择不同位置的点 P 按上述方法操作 3 经历 2 之后 如果你认为你写的结论是正确的 请加以证明 如果你认为你写的结论是错误的 请用图 2 或图 3 加以说明 注意 错误的结论 只要你用反例给予说明也得分 4 若将 Rt ABC 改为 任意 ABC 其他条件不变 利用图 4 操作 并写出与线段 DE 有关 的结论 直接写答案 10 25 2005 贵阳 在一次数学实践探究活动中 小强用两条直线把平行四边形 ABCD 分割成四个部 分 使含有一组对顶角的两个图形全等 1 根据小强的分割方法 你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组 2 请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线 3 由上述实验操作过程 你发现所画的两条直线有什么规律 26 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB CD BCD Rt AB AD 10cm BC 8cm 点 P 从点 A 出发 以每秒 3cm 的速度沿折线 ABCD 方向运动 点 Q 从点 D 出发 以每秒 2cm 的速度沿线段 DC 方向向 点 C 运动 已知动点 P Q 同时发 当点 Q 运动到点 C 时 P Q 运动停止 设运动时间为 t 1 求 CD 的长 2 当四边形 PBQD 为平行四边形时 求四边形 PBQD 的周长 3 在点 P 点 Q 的运动过程中 是否存在某一时刻 使得 BPQ 的面积为 20cm2 若存在 请求 出所有满足条件的 t 的值 若不存在 请说明理由 27 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 O 0 0 A 2 0 B 1 1 则第四个顶点 C 的坐标是多少 11 28 已知平行四边形 ABCD 的周长为 36cm 过 D 作 AB BC 边上的高 DE DF 且cm 求平行四边形 ABCD 的面积 29 如图 在平面直角坐标系中 已知 O 为原点 四边形 ABCD 为平行四边形 A B C 的坐标分 别是 A 3 B 2 3 C 2 3 点 D 在第一象限 1 求 D 点的坐标 2 将平行四边形 ABCD 先向右平移个单位长度 再向下平移个单位长度所得的四边形 A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少 3 求平行四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1重叠部分的面积 30 如图所示 ABCD 中 AF 平分 BAD 交 BC 于 F DE AF 交 CB 于 E 求证 BE CF 平行四边形及特殊平行四边形 1 下列说法不正确的是 A 一组邻边相等的矩形是正方形 B 对角线相等的菱形是正方形 C 对角线互相垂直的矩形是正方形D 有一个角是直角的平行四边形是正方形 2 2010 湖南湘潭 下列说法中 你认为正确的是 A 四边形具有稳定性 B 等边三角形是中心对称图形 C 任意多边形的外角和是 360o D 矩形的对角线一定互相垂直 3 2010 天津 下列命题中正确的是 A 对角线相等的四边形是菱形 B 对角线互相垂直的四边形是菱形 12 第 10 题图 C 对角线相等的平行四边形是菱形D 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 2010 湖北襄樊 菱形的周长为 8cm 高为 1cm 则菱形两邻角度数比为 A 3 1B 4 1 C 5 1D 6 1 5 2010 宁夏回族自治区 点 A B C 是平面内不在同一条直线上的三点 点 D 是平面内任意一点 若 A B C D 四点恰能构成一个平行四边形 则在平面内符合这样条件的点 D 有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 2010 江津 四边形ABCD的对角线互相平分 要使它成为矩形 那么需要添加的条件是 A ABCD B ADBC C ABBC D ACBD 7 2010 四川成都 已知四边形ABCD 有以下四个条件 ABCD ABCD BCAD BCAD 从这四个条件中任选两个 能使四边形ABCD成为平行四边形的选 法种数共有 A 6 种 B 5 种 C 4 种 D 3 种 8 2010 湖南衡阳 如图 6 在 ABCD 中 AB 6 AD 9 BAD 的平分线交 BC 于点 E 交 DC 的延 长线于点 F BG AE 垂足为 G BG 24 则 CEF 的周长为 A 8 B 9 C 10 D 11 9 2010 江苏苏州 如图 在菱形 ABCD 中 DE AB 3 cos 5 A BE 2 则 tan DBE 的值是 A 1 2 B 2 C 5 2 D 5 5 10 2010 山东荷泽 如图 菱形 ABCD 中 B 60 AB 2 E F 分别是 BC CD 的中点 连结 AE EF AF 则 AEF 的周长为 A 32 B 33 C 34 D 3 11 2010 青海西宁 矩形 ABCD 中 E F M 为 AB BC CD 边上的点 且 AB 6 BC 7 AE 3 DM 2 EF FM 则 EM 的长为 A 5 B 25 C 6 D 26 12 2010 山东聊城 如图 点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 的一个动点 矩形的两条边 AB BC 的长分别为 3 和 4 那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 A 12 5 B 6 5 C 24 5 D 不确定 13 14 题图 A P E D CB G F E D C B A 13 若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8 则这个菱形的周长为 A 20 B 16 C 12D 10 14 2010 重庆 已知 如图 在正方形ABCD外取一点E 连接AE BE DE 过点A作 AE的垂线交ED于点P 若1AEAP 5PB 下列结论 APD AEB 点B到直线AE的距离为2 EBED 16 APDAPB SS 46 ABCD S 正方形 其中正确结论的序号是 A B C D 15 2010 福建晋江 如图 将一张正方形纸片剪成四个小正方形 得到 4 个小正方形 称为第一 次操作 然后 将其中的一个正方形再剪成四个小正方形 共得到 7 个小正方形 称为第二次操 作 再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形 共得到 10 个小正方形 称为第三次操作 根据以上操作 若要得到 2011 个小正方形 则需要操作的次数是 A 669 B 670 C 671 D 672 16 2010 广西南宁 正方形ABCD 正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示 点G在线 段DK上 正方形BEFG的边长为 4 则DEK 的面积为 A 10 B 12 C 14 D 16 17 2010 重庆綦江县 如图 在ABCDA中 分别以 AB AD 为边向外作等边 ABE ADF 延 长 CB 交 AE 于点 G 点 G 在点 A E 之间 连结 CG CF 则以下四个结论一定正确的是 CDF EBC CDF EAF ECF 是等边三角形 CG AE A 只有 B 只有 C 只有 D 18 2010 福建宁德 如图所示 如果将矩形纸沿虚线 对折后 沿虚线 剪开 剪出一个直角三 角形 展开后得到一个等腰三角形 则展开后三角形的周长是 A 2 10 B 2 210 C 12 D 18 19 2010 江西 如图 已知矩形纸片 ABCD 点 E 是 AB 的中点 点 G 是 BC 上的一点 3 410 第 15 题 14 A B A C A D C A M A N A A B 20 题 第 27 题 A BD C O E BEG 60 现沿直线 EG 将纸片折叠 使点 B 落在纸片上的点 H 处 连接 AH 则与 BEG 相 等的角的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 B A GC D H E 第 19 题图 20 2010 广西柳州 如图 上页 四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片 将其沿 MN 折叠 使点 B 落在 CD 边上的 B 处 点 A 对应点为 A 且C B 3 则 AM 的长是 A 1 5 B 2 C 2 25 D 2 5 21 2010 广西河池 如图 上页 是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图 案 已知大正方形面积为 49 小正方形面积为 4 若用x y表示直角三角形的两直角边 xy 下列四个说法 22 49xy 2xy 2449xy 9xy 其中说法正确的是 A B C D 22 2010 湖南常德 如图 四边形 ABCD 中 AB CD 要使四边形 ABCD 为平行四边形 则可添加 的条件为 填一个即可 D B C A 第 22 题 23 2010 荆州 如图 在平行四边形 ABCD 中 A 130 在 AD 上取 DE DC 则 ECB 的度数是 24 2010 广东珠海 如图 P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上一点 PE AB 于点 E PE 4cm 则点 P 到 BC 的距离是 cm 25 2010 福建宁德 如图 在 ABCD 中 AE EB AF 2 则 FC 等于 第 25 题图 F A E B CD 26 2010 青海西宁 如图 在 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 如果 AC 14 BD 8 AB x 那么x的取值范围是 y x 第 21 题 图 15 图 33 1 A C B C B A 图 33 2 CD E F BA 第 31 题 题图第32 第 30 题 AB C D F E H G 27 2010 浙江嘉兴 如图 已知菱形 ABCD 的一个内角 80BAD 对角线 AC BD 相交于点 O 点 E 在 AB 上 且BOBE 则EOA 度 28 2010 辽宁本溪 过 ABCD 对角线交点 O 作直线 m 分别交直线 AB 于点 E 交 直线 CD 于点 F 若 AB 4 AE 6 则 DF 的长是 29 2010 天津 如图 已知正方形ABCD的边长为 3 E为CD边上一点 1DE 以点A为中心 把 ADE顺时针旋转90 得 ABE 连接 EE 则 EE 的长等于 30 2010 广西梧州 如图 边长为 6 的正方形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转 30 后得到正方形 EBGF EF 交 CD 于点 H 则 FH 的长为 结果保留根号 31 2010 广西河池 如图 矩形 ABCD 中 AB 8cm BC 4cm E 是 DC 的中点 BF 4 1 BC 则四 边形 DBFE 的面积为 2 cm 32 2010 内蒙呼和浩特 如图 上页 矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠 使点 C 落在 C 处 C B 交 AD 于点 E AD 8 AB 4 则 DE 的长为 30 2010 江苏盐城 小明尝试着将矩形纸片 ABCD 如图 AD CD 沿过 A 点的直线折叠 使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处 折痕为 AE 如图 再沿过 D 点的直线折叠 使得 C 点落在 DA 边上 的点 N 处 E 点落在 AE 边上的点 M 处 折痕为 DG 如图 如果第二次折叠后 M 点正好在 NDG 的平分线上 那么矩形 ABCD 长与宽的比值为 33 2010 河北 把三张大 小相同的正方形卡片 A B C 叠放在一个底面为正方形的盒底上 底面未被卡片覆盖 的部分用阴影表示 若按图 33 1 摆放时 阴影部分的面积为 S1 若按图 33 2 摆放时 阴影部分的面积为 S2 则 S1 S2 填 或 34 2010 湖北随州 如图矩形纸片 ABCD AB 5cm CD 上有一点 E ED 2cm AD 上 有一点 P PD 3cm 过 P 作 PF AD 交 BC 于 F 将纸片折叠 使 P 点与 E 点重合 折 痕与 PF 交于 Q 点 则 PQ 的长是 cm 35 2010 广西百色 已知矩形ABCD中 对角线AC BD相交于点O E F是对角线BD上的 两点 且DEBF 1 按边分类 AOB 是 三角形 A BC DA B C D E F A BC D E G M N 第 29 题 E A D E BC 16 2 猜想线段AE CF的大小关系 并证明你的猜想 E D CB A O F E D CB A 36 2010 湖南株洲 如图 已知平行四边形ABCD DE是ADC 的角平分线 交BC于 点E 1 求证 CDCE 2 若BECE 80B 求DAE 的度数 37 2010 广东东莞 如图 分别以 Rt ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 ACD 等边 ABE 已知 BAC 30 EF AB 垂足为 F 边结 DF 试说明 AC EF 求证 四边形 ADFE 是平行四边形 A BC D E F 38 10 湖南益阳 如图 7 在菱形 ABCD 中 A 60 AB 4 O 为对角线 BD 的中点 过 O 点作 OE AB 垂足为 E 1 求 ABD 的度数 2 求线段BE的长 39 2010 山东青岛 已知 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC 和 CD 上 AE AF 1 求证 BE DF 2 连接 AC 交 EF 于点 O 延长 OC 至点 M 使 OM OA 连接 EM FM 判断四边形 AEMF 是什么特 D A B C O E 60 17 殊四边形 并证明你的结论 40 2010 福建南平 如图 1 在 ABC 中 AB BC P 为 AB 边上一点 连接 CP 以 PA PC 为邻边 作 APCD AC 与 PD 相交于点 E 已知 ABC AEP 0 90 1 求证 EAP EPA 2 APCD 是否为矩形 请说明理由 3 如图 2 F 为 BC 中点 连接 FP 将 AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度 得到 MEN 点 M N 分别是 MEN 的两边与 BA FP 延长线的交点 猜想线段 EM 与 EN 之间的数量关系 并证明你 的结论 图 1 A B D C E P 图 2 A B D C E P M N F 41 2010 山东济宁 数学课上 李老师出示了这样一道题目 如图1 正方形ABCD的边长为12 P为边BC延长线上的一点 E为DP的中点 DP的垂直平分线交边DC于M 交边AB的延长 线于N 当6CP 时 EM与EN的比值是多少 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 过E作直线平行于BC交DC AB分别于F G 如图2 则可得 DFDE FCEP 因为DEEP 所以DFFC 可求出EF和EG的值 进而可求 得EM与EN的比值 18 1 请按照小明的思路写出求解过程 2 小东又对此题作了进一步探究 得出了DPMN 的结论 你认为小东的这个结论正确吗 如果 正确 请给予证明 如果不正确 请说明理由 42 如图 已知正方形 ABCD G 为对角线