【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题5 函数、导数、不等式的综合问题》训练5 新人教版

1 训练训练 5 5 函数 导数 不等式的综合问题函数 导数 不等式的综合问题 时间 45 分钟 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 烟台模拟 已知函数f x 的导函数f x ax2 bx c的图象如图所示 则 f x 的图象可能是 2 2011 湖南 设直线x t与函数f x x2 g x ln x的图象分别交于点M N 则 当 MN 达到最小时t的值为 A 1 B C D 1 2 5 2 2 2 3 已知函数f x x4 2x3 3m x R R 若f x 9 0 恒成立 则实数m的取值范围是 1 2 A B 3 2 3 2 C D 3 2 3 2 4 2011 泉州模拟 已知函数f x x2 4x 3ln x在 t t 1 上不单调 则t的取 1 2 值范围是 A 0 1 2 3 B 0 2 C 0 3 D 0 1 2 3 5 设a R R 若函数y eax 3x x R R 有大于零的极值点 则 A a 3 B a 3 2 C a D a 1 3 1 3 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 6 2012 衡阳模拟 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2 在x 1 处有极值 则ab的最大值等于 7 某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系 y x3 x2 40 x x 0 1 3 39 2 为使耗电量最小 则速度应定为 8 2012 温州模拟 关于x的方程x3 3x2 a 0 有三个不同的实数解 则实数a的取值 范围是 三 解答题 本题共 3 小题 共 35 分 9 11 分 已知函数f x x3 x2 bx a a b R R 的导函数f x 的图象过原 1 3 a 1 2 点 1 当a 1 时 求函数f x 的图象在x 3 处的切线方程 2 若存在x 0 使得f x 9 求a的最大值 10 12 分 2011 洛阳模拟 已知f x ax3 bx2 cx在区间 0 1 上是增函数 在区间 0 与 1 上是减函数 且f 1 2 3 2 1 求f x 的解析式 2 若在区间 0 m m 0 上恒有f x x成立 求m的取值范围 11 12 分 2011 福建 已知a b为常数 且a 0 函数f x ax b axln x f e 2 e 2 718 28 是自然对数的底数 1 求实数b的值 2 求函数f x 的单调区间 3 当a 1 时 是否同时存在实数m和M m M 使得对每一个t m M 直线 y t与曲线y f x 都有公共点 若存在 求出最小的实数m和最大的实 x 1 e e 数M 若不存在 说明理由 参考答案 1 D 由导数与函数的单调性可得 当x 0 时 由导函数f x ax2 bx c 0 知 相应的函数f x 在该区间上单调递减 当x 0 时 由导函数f x ax2 bx c的 图象可知 导数在部分区间内的值是大于 0 的 且在此区间内函数f x 单调递增 只 有 D 选项满足题意 2 D MN 的最小值 即函数h x x2 ln x的最小值 h x 2x 显然 1 x 2x2 1 x 3 x 是函数h x 在其定义域内唯一的极小值点 也是最小值点 故t 2 2 2 2 3 A 因为函数f x x4 2x3 3m 所以f x 2x3 6x2 令f x 0 得x 0 1 2 或x 3 经检验知x 3 是函数的一个最小值点 所以函数的最小值为f 3 3m 27 2 不等式f x 9 0 恒成立 即f x 9 恒成立 所以 3m 9 解得m 27 2 3 2 4 A f x x 4 由f x 0 得函数的 3 x x2 4x 3 x x 1 x 3 x 两个极值点 1 3 则只要这两个极值点在区间 t t 1 内 函数在区间 t t 1 上就 不单调 由t 1 t 1 或t 3 t 1 解得 0 t 1 或 2 t 3 5 B 令f x eax 3x 可求得f x 3 aeax 若函数在x R R 上有大于零的极值点 即f x 3 aeax 0 有正根 当f x 3 aeax 0 成立时 显然有a 0 此时 x ln 由x 0 解得a 3 a的取值范围为 3 1 a 3 a 6 解析 由题得f x 12x2 2ax 2b 0 f 1 12 2a 2b 0 a b 6 a b 2 6 2 ab 9 当且仅当 abab a b 3 时取到最大值 答案 9 7 解析 y x2 39x 40 令y 0 即x2 39x 40 0 解得x 40 或x 1 舍 当x 40 时 y 0 当 0 x 40 时 y 0 所以当x 40 时 y最小 答案 40 8 解析 由题意知使函数f x x3 3x2 a的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可 又 f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0 得 x1 0 x2 2 当x 0 时 f x 0 当 0 x 2 时 f x 0 当x 2 时 f x 0 所以当x 0 时 f x 取得 极大值 即f x 极大值 f 0 a 当x 2 时 f x 取得极小值 即f x 极小值 f 2 4 a 所以Error 解得 4 a 0 答案 4 0 9 解 由已知 得f x x2 a 1 x b 由f 0 0 得b 0 f x x x a 1 1 当a 1 时 f x x3 x2 1 f x x x 2 f 3 1 1 3 4 f 3 3 所以函数f x 的图象在x 3 处的切线方程为y 1 3 x 3 即 3x y 8 0 2 存在x 0 使得f x x x a 1 9 a 1 x x 2 6 a 7 当且仅当x 3 时 9 x 9 x x 9 x a 7 所以a的最大值为 7 10 解 1 由f x ax3 bx2 cx 得f x 3ax2 2bx c 又由f x 在区间 0 1 上是增函数 在区间 0 与 1 上是减函数 可知 x 0 和x 1 是f x 0 的解 Error 即Error 解得Error f x 3ax2 3ax 又由f 1 2 3 2 得f 1 2 3a 4 3a 2 3 2 a 2 即f x 2x3 3x2 2 由f x x 得 2x3 3x2 x 即x 2x 1 x 1 0 0 x 或x 1 1 2 又f x x在区间 0 m m 0 上恒成立 0 m 1 2 故m的取值范围是 0 1 2 11 解 1 由f e 2 得b 2 2 由 1 可得f x ax 2 axln x 从而f x aln x 因为a 0 故 当a 0 时 由f x 0 得x 1 由f x 0 得 0 x 1 当a 0 时 由f x 0 得 0 x 1 由f x 0 得 x 1 综上 当a 0 时 函数f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 当 a 0 时 函数f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 3 当a 1 时 f x x 2 xln x f x ln x 由 2 可得 当x在区间内变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 e e 5 x 1 e 1 e 1 1 1 e e f x 0 f x 2 2 e 单调递减极小值 1单调递增 2 又 2 2 2 e 所以函数f x 的值域为 1 2 x 1 e e 据此可得