圆锥曲线练习试题及详细答案

1 圆锥曲线归纳总结圆锥曲线归纳总结 for Yuri 第第部分 知识储备部分 知识储备 22 sincos 1 1 直线方程的形式直线方程的形式 1 直线方程的形式有五件 点斜式 两点式 斜截式 截距式 一般式 2 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan 0 k 点到直线的距离 00 22 AxByC d AB 夹角公式 21 2 1 tan 1 kk k k 3 弦长公式 直线上两点间的距离 ykxb 1122 A x yB xy 或 2 12 1ABkxx 22 1212 1 4 kxxx x 12 2 1 1AByy k 4 两条直线的位置关系 1 1212 llk k 212121 bbkkll 且 2 2 圆锥曲线方程及性质 圆锥曲线方程及性质 1 椭圆的方程的形式有几种 三种形式 标准方程 22 1 0 0 xy mnmn mn 且 距离式方程 2222 2xcyxcya 参数方程 cos sinxayb 2 双曲线的方程的形式有两种 2 标准方程 22 1 0 xy m n mn 距离式方程 2222 2xcyxcya 3 三种圆锥曲线的通径 椭圆 双曲线 抛物线 2 2b a 2 2b a 2p 4 圆锥曲线的定义 黄楚雅 分别回忆第一定义和第二定义 5 焦点三角形面积公式 在椭圆上时 P 12 2 tan 2 F PF b S 在双曲线上时 P 12 2 cot 2 F PF b S 其中 222 12 121212 12 4 cos cos PFPFc FPFPF PFPFPF PFPF A 6 记住焦半径公式 椭圆焦点在时为 焦点在轴上时为 0 aex y 0 aey 双曲线焦点在轴上时为x 0 e xa 抛物线焦点在轴上时为 焦点在轴上时x 0 2 p x y 0 2 p y 33333 华丽的分割线 第第部分 部分 三道核心例题三道核心例题 0 sin xdx 例例 1 1 椭圆长轴端点为 为椭圆中心 为椭圆的右焦点 且 A BOF1AF FB 1OF 1 求椭圆的标准方程 2 记椭圆的上顶点为 直线l交椭圆于两点 问 是否存在直线 M P Ql 使点恰为PQM 的垂心 若存在 求出直线 的方程 若不存在 请说明理由 Fl 3 分析 第一问比较容易 第二问关键是垂心 小黄同学 你还记得三角形的 四心 吗 的处理 由待定系数法建立方程求解 解 1 建立坐标系 设椭圆方程为 22 22 1 0 xy ab ab 由得1c 1OF 又 1 FBAF即 22 1acacac 2 2a 易得 故椭圆方程为 2 2 1 2 x y 1b 2 假设存在直线l交椭圆于QP 两点 且F恰为PQM 的垂心 设 1122 P x yQ xy 0 1 1 0 MF 故1 PQ k 于是设直线l为 yxm 由 22 22 yxm xy 得 22 34220 xmxm 1221 0 1 1 MP FQx xyy 又 1 2 ii yxm i 得 1221 1 1 0 x xxm xm 即 2 1212 2 1 0 x xxxmmm 由韦达定理得 2 2 224 2 1 0 33 mm mmm 解得 4 3 m 或1m 舍 经检验 4 3 m 符合条件 例例 2 2 已知椭圆的中心在原点 焦点在轴上 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点x 平行于的直线 在轴上的截距为 交椭圆于 两 2 1 MOMly 0 m m lAB 个不同点 1 求椭圆的方程 2 求的取值范围 m 3 求证直线 与轴始终围成一个等腰三角形 MAMBx 4 分析 小黄同学 直线 与轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解 MAMBx 怎么处理 关键是把它转化成 0 21 kk 解 1 设椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 则 椭圆方程为 2 8 1 14 2 2 2 22 b a ba ba 解得1 28 22 yx 2 直线 平行于 且在轴上的截距为lOMym 又 1 2 OM K mxyl 2 1 的方程为 由0422 1 28 2 1 22 22 mmxx yx mxy 直线 l 与椭圆交于 A B 两个不同点 0 22 0 42 4 2 22 mm mm 且解得 3 设直线 MA MB 的斜率分别为 k1 k2 只需证明 k1 k2 0 即可 设 42 2 2 21212211 mxxmxxyxByxA且 则 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 x y k x y k 由 可得0422 2 2 mmxx42 2 2 2121 mxxmxx 而 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1221 2 2 1 1 21 xx xyxy x y x y kk 2 2 1 4 2 2 42 2 2 1 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 21 2121 21 1221 xx mmmm xx mxxmxx xx xmxxmx 5 0 0 2 2 444242 21 21 22 kk xx mmmm 故直线 与轴始终围成一个等腰三角形 MAMBx 例例 3 3 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆上 且点 A 是椭圆短8054 22 yx 轴的一个端点 点 A 在 y 轴正半轴上 1 若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点 试求直线 BC 的方程 2 若角 A 为 AD 垂直 BC 于 D 试求点 D 的轨迹方程 0 90 分析 第一问抓住 重心 小黄同学 你还记得三角形的 四心 吗 利 用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率 从而写出直线 BC 的方程 第二问抓住角 A 为可得出 AB AC 从而得 0 90016 14 212121 yyyyxx 然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程 解 1 设 B C BC 中点为 焦点为 F 2 0 则有 1 x 1 y 2 x 2 y 00 y x 1 1620 1 1620 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 两式作差有 整理得0 16 20 21212121 yyyyxxxx 其中为点弦 BC 的斜率 1 0 45 00 kyx k 又 F 2 0 为三角形重心 所以由 得2 3 21 xx 3 0 x 由 得 代入 1 得 从而得到0 3 4 21 yy 2 0 y 5 6 k 直线 BC 的方程为02856 yx 2 由 AB AC 得 2 016 14 212121 yyyyxx 设直线 BC 方程为 得8054 22 yxbkxy代入 6 080510 54 222 bbkxxk 又由韦达定理有 2 21 54 10 k kb xx 2 2 21 54 805 k b xx 与直线方程结合 易得 2 22 21 2 21 54 804 54 8 k kb yy k k yy 代入 2 式得 解得或0 54 16329 2 2 k bb 4 舍 b 9 4 b 直线过定点 0 设 D x y 则 即 9 4 1 4 9 4 x y x y 0163299 22 yxy 所以所求点 D 的轨迹方程是 4 9 20 9 16 222 yyx 优雅的分割线 第第部分 七种常见题型部分 七种常见题型 0 lim1 xj x xe 1 1 中点弦问题 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题 常用设而不求法 点差法 设曲线上两点为 代入方程 然后两方程相减 再应用中点关系及斜率公式 11 x y 22 xy 当然在这里也要注意斜率不存在的情况 消去参数 例如 设 为椭圆的弦中点则有 11 y xA 22 y xB baM 1 34 22 yx AB 两式相减得1 34 2 1 2 1 yx 1 34 2 2 2 2 yx 0 34 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 34 21212121 yyyyxxxx AB k b a 4 3 归纳 1 椭圆与直线 相交于 A B 设弦 AB 中点为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x l 则有 00 M xy0 2 0 2 0 k b y a x 7 2 双曲线与直线 相交于 A B 设弦 AB 中点 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x l 为 则有 00 M xy0 2 0 2 0 k b y a x 3 抛物线与直线 相交于 A B 设弦 AB 中点为 2 2 0 ypx p l 则有 即 00 M xy 0 22y kp 0 y kp 典型例题典型例题 给定双曲线 过的直线与双曲线交于两点 及x y 2 2 2 1 2 1 AP1 求线段的中点的轨迹方程 P2P1P2P 2 2 焦点三角形问题 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P 与两个焦点 构成的三角形问题 常用正 F1F2 余弦定理搭桥 典型例题典型例题 设为椭圆上任一点 为焦点 P x y x a y b 2 2 2 2 1 Fc 1 0 F c 2 0 PF F 12 PF F 21 1 求证离心率 2 求的最值 sinsin sin e PFPF 1 3 2 3 3 3 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组 进而转化为一元二次方 程后利用判别式 根与系数的关系 求根公式等来处理 应特别注意数形结合 8 的思想 通过图形的直观性帮助分析解决问题 如果直线过椭圆的焦点 结合 三大曲线的定义去解 典型例题典型例题 抛物线方程 直线与轴的交点在抛物 2 1 0 yp xp xyt x 线的右边 1 求证 直线与抛物线总有两个不同交点 2 设直线与抛物线的交点为 A B 且 OA OB 求关于 的函数的pt f t 表达式 4 4 圆锥曲线的相关最值 范围 问题圆锥曲线的相关最值 范围 问题 圆锥曲线中的有关最值 范围 问题 常用代数法和几何法解决 1 若命题的条件和结论具有明显的几何意义 一般可用图形性质来解决 2 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式 则可建立目标函数 通常 利用二次函数 三角函数 均值不等式 求最值 处理思路处理思路 1 建立目标函数 用坐标表示距离 用方程消参转化为一元二次函数的最值问 题 关键是求方程求 x y 的范围 2 数形结合 用化曲为直的转化思想 3 利用判别式 对于二次函数求最值 往往由条件建立二次方程 用判别式求 最值 4 借助均值不等式求最值 典型例题典型例题 已知抛物线 过且斜率为 1 的直线与 2 2 0 ypx p 0 M aL 抛物线交于不同的两点 AB 2ABp 1 求的取值范围 a 2 若线段 AB 的垂直平分线交轴于点 N 求 NAB 面积的最大值 x 9 5 5 求曲线的方程问题 求曲线的方程问题 1 1 曲线的形状已知 曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决 典型例题典型例题 已知直线已知直线过原点 抛物线的顶点在原点 焦点在轴正半轴上 LCx 若点和点关于的对称点都在上 求直线和抛物线的方程 1 0 A 0 8 BLCLC 2 2 曲线的形状未知 曲线的形状未知 求轨迹方程求轨迹方程 典型例题典型例题 已知直角坐标平面上点 Q 2 0 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的切线长 MN 与 MQ 的比等于常数 0 求动点 M 的轨迹 方程 并说明它是什么曲线 6 6 存在两点关于直线对称问题 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题 可以按如下方式分三步解决 求两点 所在的直线 求这两直线的交点 使这交点在圆锥曲线形内 当然也可以利用 韦达定理并结合判别式来解决 M N QO 10 典型例