高数函数图象Mathematica绘制

用数学软件用数学软件 MathematicaMathematica 做微积分做微积分 作者 徐小湛作者 徐小湛 四川大学数学学院四川大学数学学院 xuxzmail 目目 录录 前言前言 极限极限 函数极限函数极限 单侧极限单侧极限 单向极限单向极限 无穷大的无穷大的极极限限 数列数列极极限限 递归递归定定义义的的数列的数列的极极限限 导导数数 显显函函数数的的导导数数 单侧单侧导导数数 高高阶阶导导数数 参数方程的参数方程的导导数数 隐函隐函数数的导数的导数 导数的应导数的应用用 微分中微分中值值定理定理 洛洛必必达达法则法则 切切线线和和法法线线 求求方方程程的根的根 单调区单调区间间和和极极值值 凹凸凹凸区区间间和和拐拐点点 积分积分 不定不定积积分分 定定积积分分 广广义义积积分分 积积分分变变限函数的限函数的导导数数 定积分的几定积分的几何何应用应用 面面积积 旋转旋转体体体体积积 弧弧长长 旋转旋转曲曲面面面积面积 空间解析空间解析几几何何 数数量量积积 向量积向量积 混混合合积积 向量向量的的模模和和单单位化位化 两点两点的的距距离离 多元微分学多元微分学 偏偏导导数数 高阶高阶偏偏导导数数 全全微微分分 隐函隐函数数的的偏偏导数导数 多元微分学多元微分学的的应应用用 空间空间曲曲线线的的切线与法平面切线与法平面 曲面曲面的的切切平面与法平面与法线线 梯度梯度与与方方向向导导数数 二元函二元函数数的的极极值值 重积分重积分 二二重重积积分分 极极坐坐标计标计算算二重积二重积分分 三重三重积积分分 柱面坐标柱面坐标计计算三重积分算三重积分 球面球面坐坐标计算三重积分标计算三重积分 重积分的应用重积分的应用 曲曲面面的的面面积积 体体积积 曲线积分曲线积分 第一类曲第一类曲线线积积分分 第第二二类类曲曲线线积积分分 曲面积分曲面积分 第一类曲第一类曲面面积积分分 第二类曲第二类曲面面积积分分 高斯公式高斯公式与与散散度度 斯斯托托克克斯公式与旋度斯公式与旋度 无穷级数无穷级数 常数常数项项级级数数 幂级幂级数数的的收敛半径与收敛域收敛半径与收敛域 幂幂级级数数的和函数的和函数 函数展开成幂函数展开成幂级级数数 泰泰勒勒级级数数 傅傅里里叶叶级数级数 微分方程微分方程 一阶微一阶微分分方方程程 可分可分离离变变量方程量方程 一一阶阶线线性性方方程程 高高阶阶微微分方程分方程 高阶线性微高阶线性微分分方方程程 欧拉欧拉方方程程 图形图形 平面平面图图形形 显函显函数数的的图图形形 二元二元方方程程的图形的图形 隐隐函函数数曲线曲线 参参数数曲曲线线 极坐极坐标标曲曲线线 导导数数的的图图形形 积分积分变变限限函函数数的图形的图形 平平面面区区域域的的图图形形 空空间间图图形形 显函显函数数曲曲面面 参参数数曲曲面面 三三元元方方程的图形程的图形 隐隐函函数数曲面曲面 空空间间曲曲线线 空间空间区区域域 数学家数学家 欧欧拉拉 牛牛顿顿 莱布尼莱布尼茨茨 拉拉格格朗朗日日 阿贝尔阿贝尔 泰泰勒勒 麦克麦克劳劳林林 柯柯西西 斯托斯托克克斯斯 高高斯斯 傅傅里里叶叶 笛笛卡卡儿儿 狄利狄利克克雷雷 参考参考文文献献 前前 言言 Mathematica 是著名的数学软件 具有强大的的数学运算能力 和绘图功能 本文档用 Mathematica 来计算微积分中的各种习题 并绘制了很 多图形 本文档中所有的例子都是用 Mathematica 7 编程和计算的 有 的命令在版本较低的 Mathematica 可能无法执行 另外 有的运算结果拷贝到 Word 时 格式有些变化 但是在 Mathematica 中的输出格式没有问题 如有对本文档中的内容任何问题 请发邮件到与作者讨论 邮箱 xuxzmail xuxz 2010 9 1 返回返回目目录录 极限极限 函数极限函数极限 自变量趋于有限值的极限 例 求极限 0 sin lim x x x 解 输入 f x Sin x x Limit f x x 0 输出 1 例 求极限 同济 6 版 139 页 lim 1 x x a x f x 1 a x x Limit f x x Infinity 输出 错误答案 原因是没有给 赋值 a a f x 1 a x x Limit f x x Infinity 输出 a 对了 单侧极限单侧极限 例 求左极限 1 0 lim x x e 解 输入 f x Exp 1 x Limit f x x 0 Direction 1 输出 例 求右极限 0 1 lim arctan x x 解 输入 f x ArcTan 1 x Limit f x x 0 Direction 1 输出 2 返回目返回目录录 自变量趋于无穷大的极限 例 求极限 2 2 1 limsin 3 x x x 解 输入 f x x 2Sin 3 x 2 Limit f x x Infinity 输出 3 单向极限单向极限 例 求极限lim arctan x x 解 输入 f x ArcTan x Limit f x x Infinity 输出 2 例 求极限lim arctan x x 解 输入 f x ArcTan x Limit f x x Infinity 输出 2 无穷大的极限无穷大的极限 例 求极限 1 0 lim x x e 解 输入 f x Exp 1 x Limit f x x 0 Direction 1 输出 返回目返回目录录 数列的极限数列的极限 数列极限 lim n n x 例 求极限 1 lim 1 n n n 解 输入 f n 1 1 n n Limit f n n Infinity 输出 递归定义的数列的极限递归定义的数列的极限 例 设 求 11 2 2 nn xxx lim n n x 解 输入 f 1 Sqrt 2 f n Sqrt 2 f n 1 f 10 不成功 f 1 N Sqrt 2 10 f n N Sqrt 2 f n 1 10 f 10 结果 1 999997647 作图观察数列的极限 f 1 Sqrt 2 f n Sqrt 2 f n 1 xn Table f n n 1 10 ListPlot xn PlotStyle Red PointSize Large Filling Axis 列表列表观察数列的极限观察数列的极限 f 1 N Sqrt 2 10 f n N Sqrt 2 f n 1 10 Do Print n f n n 10 结果 1 1 414213562 2 1 847759065 3 1 961570561 4 1 990369453 5 1 997590912 6 1 999397637 7 1 999849404 8 1 999962351 9 1 999990588 10 1 999997647 返返回回目目录录 导数导数 显函数的导数显函数的导数 求导函数 例 设 求导数 2 sin 22 f xx fx f x Sin 2x 2 2 f x 或 D f x x 结果 4 x Cos 2 2 x2 求某一点的导数 例 设 求导数 2 23 sinf xxx 3 f f x 2x 2 3 Sin x f 3 或 D f x x x 3 结果 21 Cos 3 12 Sin 3 21 Cos 3 12 Sin 3 用定义求导数用定义求导数 导数的定义 或 00 0 0 lim x f xxf x fx x 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 例 设 求左导数 0 sin 0 xx f x x x 0 f f x Which x 0 Sin x 定义分段函数 a 0 Direvative Limit f x a f a x a x a 结果 1 单侧导数单侧导数 例 设 求左导数和右导数 0 sin2 0 xx f x x x 0 f 0 f 用定义求导 f x Which x 0 Sin 2x 定义分段函数 a 0 Left Direvative Limit f x a f a x a x a Direction 1 Right Direvative Limit f x a f a x a x a Direction 1 结果 1 左导数 2 右导数 返回返回目目录录 高阶导数高阶导数 例 设 求二阶导数和三阶导数 2 sin 23 f xx fx fx 二阶导数 f x Sin 2x 2 3 f x 或 D f x x 2 结果 4 Cos 3 2 x2 16 x2 Sin 3 2 x2 4 Cos 3 2 x2 16 x2 Sin 3 2 x2 三阶导数 f x Sin 2x 2 3 f x D f x x 3 结果 64 x3 Cos 3 2 x2 48 x Sin 3 2 x2 64 x3 Cos 3 2 x2 48 x Sin 3 2 x2 例 设 求二阶导数 2 cos 2 x f xex 1 f f x Exp x Cos 2x 2 f 1 或 D f x x 2 x 1 结果 15 Cos 2 12 Sin 2 Cos 2 16 Cos 2 4 Sin 2 8 Sin 2 例 设 求 0 10 阶导数 1 1 f x x f x 1 x 1 Do Print n D f x x n n 0 10 结果 0 1 1 x 1 1 1 x 2 2 2 1 x 3 3 6 1 x 4 4 24 1 x 5 5 120 1 x 6 6 720 1 x 7 7 5040 1 x 8 8 40320 1 x 9 9 362880 1 x 10 10 3628800 1 x 11 或 f x 1 x 1 Table D f x x n n 0 10 结果 1 1 x 1 1 x 2 2 1 x 3 6 1 x 4 24 1 x 5 120 1 x 6 720 1 x 7 5040 1 x 8 40320 1 x 9 362880 1 x 10 3628800 1 x 11 例 求函数在在 x 0 x 0 处处的 0 10 阶导数 1 1 f x x f x 1 x 1 Do Print n D f x x n x 0 n 0 10 结果 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40320 9 362880 10 3628800 或 f x 1 x 1 Table D f x x n x 0 n 0 10 结果 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 返返回回目目录录 参数方程的导数参数方程的导数 参数方程的导数 二阶导数 xx t yy t dyy t dxx t 2 2 dy d d d y dt d dx dt x x 例 设 求导数 2 2 sinxtyt dy dx x t 2t 2 y t Sin t Dx x t Dy y t DyDx y t x t 结果 4 t Cos t Cos t 4 t 或 x t 2t 2 y t Sin t Dx D x t t Dy D y t t DyDx Dy Dx 4 t Cos t Cos t 4 t 例 设 求 sin t xet cos t yet 3 t dy dx x t Exp t Sin t y t Exp t Cos t f t y t x t f Pi 3 Simplify 3 2 1 2 3 3 3 2 1 2 3 3 2 3 例 设 求一阶和二阶导数 2 2 sinxtyt x t 2t 2 y t Sin t Dx D x t t Dy D y t t Yijie Dy Dx Y t Dy Dx Erjie D Y t t D x t t Simplify 结果 Cos t 4 t 一阶导数 Cos t t Sin t 16 t3 二阶导数 例 设 求一阶 二阶 三阶导数 2 2 sinxtyt x t 2t 2 y t Sin t Dx D x t t Dy D y t t Yijie Dy Dx Y t Dy Dx Erjie D Y t t D x t t Simplify Er t D Y t t D x t t Sanjie D Er t t D x t t Simplify 结果 Cos t 4 t 一阶导数 Cos t t Sin t 16 t3 二阶导数 3 t2 Cos t 3 t Sin t 64 t5 三阶导数 返返回回目录目录 隐函数的导数隐函数的导数 例 设 求1 y yxe dy dx 方法一 利用公式 同济 6 版下册 84 页 x y Fdy dx F F x y 1 x Exp y y Fx D F x y x Fy D F x y y Fx Fy Simplify 结果 y 1 y x y 1 y x y 1 y x 方法二 直接求导 D y x 1 x Exp y x x 方程两边对x求导 Solve y x 解出导数 结果 y x y x y x x y x y x y x 1 y x x 或 F x y 1 x Exp y y D F x y x 0 x Solve y x 结果 y x y x y x x y x 0 y x y x 1 y x x 方法二 微分法 F x y 1 x Exp y y Dt F x y 0 x 方程两边对x微分 Solve Dt y x 解出dy dx 结果 y Dt y x y x Dt y x 0 Dt y x y 1 y x 返返回回目目录录 导数的应用导数的应用 微分中值定理微分中值定理 例 在区间上对函数验证拉格朗日中值定理的正确性 同济 0 1 32 452f xxxx 6 版 134 页 解 即验证存在 使得 0 1 1 0 1 0 ff f f x 4x 3 5x 2 x 2 a 0 b 1 Solve f x f b f a b a x 结果 x 1 12 5 13 x 1 12 5 13 得到两个解 判断这两个解是否在 0 1 内 0 5 Sqrt 13 12 1 0 5 Sqrt 13 12 1 结果 True True 这两个解都在在 0 1 内 J L Lagrange 拉拉格格朗朗日日 1736 1813 法法国国数数学学家家 A Cauchy 柯柯西西 1789 1857 法法国国数数学学家家 例 在区间上对函数和验证柯西中值定理的正确性 0 2 sinf xx cosF xxx 同济 6 版 134 页 解 即验证存在 使得 0 1 0 2 0 2 ff f F FF f x Sin x F x x Cos x a 0 b Pi 2 Solve f x F b F a F x f b f a x 结果 Solve ifun Inverse functions are being used by NoBreak Solve NoBreak so some solutions may not be found use Reduce for complete solution information x 2 x ArcCos 8 4 8 4 2 判断第二个解是否在 0 Pi 2 内 ArcCos 4Pi 8 8 4Pi Pi 2 N 0 ArcCos 4Pi 8 8 4Pi Pi 2 True Frame False Ticks Range 2 2 1 Range 2 2 1 结果 y 1 2 1 x y 1 1 2 1 x 傅 2傅 112 傅 2 傅 1 1 2 或利用公式 曲线在点P x0 f x0 处的 0F x y 切线方程 法线方程 000000 0 xy F xyxxF xyyy 00 0000 xy xxyy F xyF xy F x y 3 2x 2 y 2 x0 1 y0 1 Fx D F x y x x x0 y y0 Fy D F x y y x x0 y y0 Fx x x0 Fy y y0 0 Fy x x0 Fx y y0 0 quxian ContourPlot F x y 0 x 2 2 y 2 2 qiexian ContourPlot Fx x x0 Fy y y0 0 x 2 2 y 2 2 faxian ContourPlot Fx y y0 Fy x x0 0 x 2 2 y 2 2 Show quxian qiexian faxian Axes True Frame False Ticks Range 2 2 1 Range 2 2 1 结果 4 2 4 1 x 2 1 y 0 2 1 x 4 1 y 0 傅 2傅 112 傅 2 傅 1 1 2 返回返回目目录录 求方程的根求方程的根 例 求方程的实根 同济 6 版 179 页 并作图 32 1 10 91 40 xxx f x x 3 1 1x 2 0 9x 1 4 SolveSolve f x 0 x Plot f x x 2 2 结果 x 0 885329 1 1418 x 0 885329 1 1418 x 0 670657 最 后一个为实根 以下方式求 1 附近的实根 f x x 3 1 1x 2 0 9x 1 4 FindRootFindRoot f x 0 x 1 结果 x 0 670657 返回返回目目录录 单调区间和极值单调区间和极值 例 求函数的单调区间 并作图 3 23f xxx f x x 3 2x 3 Plot f x x 2 3 作图 Solve f x 0 x 求驻点 傅 2傅 1123 2 4 6 8 10 12 14 结果 x 2 3 x 2 3 例 求函数的单调区间 极值 并作图 2 2 x f x x f x x x 2 2 Plot f x x 5 5 Solve f x 0 x 傅 4傅 224 傅 0 3 傅 0 2 傅 0 1 0 1 0 2 0 3 结果 x 2 x 2 f Sqrt 2 f Sqrt 2 f Sqrt 2 f Sqrt 2 1 4 2 1 4 2 1 2 2 极小值 1 2 2 极大值 例 求函数在内的极值 并作图 22 5 2sin 2 cos 22 x f xx 0 f x 2Sin 2x 2 5 2 Cos x 2 2 Plot f x x 0 Pi Ticks Range 0 Pi Pi 4 傅 4 傅 2 3傅 4 傅 傅 2 傅 1 1 求三个驻点 d1 FindRoot f x 0 x Pi 4 d2 FindRoot f x 0 x Pi 2 d3 FindRoot f x 0 x 3Pi 4 结果 x 0 844344 x 1 4916 x 2 40884 求极值 f x d1 f x d2 f x d3 结果 0 107946 1 29913 1 65708 返返回回目目录录 凹凸区间和拐点凹凸区间和拐点 例 求函数的凹凸区间 并作图 3 23f xxx f x x 3 2x 3 Plot f x x 3 3 Solve f x 0 x 求二阶导数的零点 傅 3傅 2傅 1123 傅 5 5 10 结果 x 0 例 求函数的凹凸区间和拐点 并作图 2 2 x f x x f x x x 2 2 Plot f x x 6 6 Solve f x 0 x 求二阶导数的零点 傅 6傅 4傅 2246 傅 0 3 傅 0 2 傅 0 1 0 1 0 2 0 3 结果 x 0 x 6 x 6 二阶导数的零点 0 f 0 0 f Sqrt 6 0 f Sqrt 6 0 0 拐点 0 3 2 4 拐点 0 3 2 4 拐点 返回返回目目录录 积分积分 不定积分不定积分 求不定积分 原函数 例 求函数的原函数 2 sin1f xxx f x x 2 Sin x 1 Integrate f x x 结果 x x3 3 Cos x 例 求不定积分 arctanxxdx f x x ArcTan x Integrate f x x 结果 x 2 ArcTan x 2 1 2 x2 ArcTan x 返回返回目目录录 定积分定积分 牛顿 莱布尼茨公式 b b a a f x dxF xF bF a Issac Newton 傅 傅 傅 傅 1642 1727 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 G Leibniz 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 1646 1716 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 傅 例 求函数的定积分 2 sin1f xxx 1 0 f x dx f x x 2 Sin x 1 Integrate f x x 0 1 结果 7 3 Cos 1 例 求定积分 1 2 20 1 1 dx x f x 1 Sqrt 1 x 2 Integrate f x x 0 1 2 结果 6 返回返回目目录录 广义积分广义积分 例 求广义积分 2 0 x xedx f x x Exp 2x Integrate f x x 0 Infinity 结果 1 4 例 求广义积分 2 2 1 1 dx x f x 1 x 2 1 Integrate f x x Infinity 2 结果 2 ArcTan 2 例 求广义积分 2 1 3 dx x f x 1 x 2 3 Integrate f x x Infinity Infinity 结果 3 返返回回目目录录 积分变限函数的导数积分变限函数的导数 例 求导数 0 x t d te dt dx f x x Exp x F x Integrate f t t 0 x D F x x D F x x Simplify 结果 x x 1 x x x 例 求导数 2 ln x t x d te dt dx f x x Exp x F x Integrate f t t Log x x 2 D F x x D F x x Simplify 结果 1 x2 2 傅 傅x2 x 2 傅 傅x2 x 1 x2 1 Log x x2 2 傅 傅x2 x3 Log x x2 返返回回目目录录 定积分的几何应用定积分的几何应用 面积面积 曲线和轴之间的曲边梯形的面积为 yf xaxb x b a Af x dx yf x ab 例 求曲线与 x 所围成的图形的面积 并作图 3 2yxx f x x 3 2x Plot f x x 2 2 PlotStyle Red Filling Axis Solve f x 0 x 交点坐标 x 0 x 2 x 2 x 0 x 2 x 2 A Integrate Abs f x x Sqrt 2 Sqrt 2 面积 2 设 则曲线和之间的图形的面积为 f xg xaxb yf x yg x b a Af xg x dx b a yf x A y g x b a yf x A y g x 例 求两曲线所围成的图形的面积 并作图 23 yxyx f x x 2 g x x 3 Plot f x g x x 1 1 2 PlotStyle Red Blue Filling 1 Solve f x g x x 交点坐标 x 0 x 0 x 1 A Integrate f x g x x 0 1 面积 1 12 曲线和之间的图形的面积为 yf x yg x b a Af xg x dx 1 A 2 A b a yf x y g x c b a yf x y g x c 例 求两曲线 所围成的图形的面积 并作图sin cos2yx yx 0 x f x Sin x g x Cos 2x Plot f x g x x 0 Pi PlotStyle Red Blue Filling 1 A Integrate Abs f x g x x 0 1 N A 面积 1 2 2 3 3 2 Cos 1 Sin 2 0 603125 返回返回目目录录 旋转体体积旋转体体积 曲线和轴之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为 yf xaxb xx 圆片法 2 b a Vf xdx 例 圆片法 求曲线 与x所围成的图形绕 x 轴的旋转体体积 并sinyx 02x 作图 f x Sin x Plot f x x 0 2 PlotStyle Red Thickness 0 005 Filling Axis V Pi Integrate f x 2 x 0 2 体积 体积 1 Sin 4 4 f x Sin x r1 Plot f x x 0 2 PlotStyle Red Filling Axis r2 Plot f x x 0 2 PlotStyle Red Filling Axis r3 ParametricPlot 2 0 1Cos t Sin 2 Sin t t 0 2Pi PlotStyle Red Show r1 r2 r3 PlotRange All AspectRatio 1 下左图 f x Sin x quxian ParametricPlot3D 0 y f y y 0 2 PlotStyle Red Thickness 0 01 quxian1 ParametricPlot3D 0 y f y y 0 3 PlotStyle Thickness 0 003 x u t f u Cos t z u t f u Sin t y u t u Qumian1 ParametricPlot3D x u t y u t z u t u 0 2 t 0 2 Pi x u t g u Cos t z u t g u Sin t y u t u Qumian2 ParametricPlot3D u Cos t 2 u Sin t u 0 Sin 2 t 0 2 Pi Mesh 0 PlotStyle LightBlue X ParametricPlot3D x 0 0 x 1 3 PlotStyle AbsoluteThickness 2 Y ParametricPlot3D 0 y 0 y 0 3 2 5 PlotStyle AbsoluteThickness 2 Z ParametricPlot3D 0 0 z z 1 1 PlotStyle AbsoluteThickness 3 XYZ Show Z Y Show Qumian1 Qumian2 quxian quxian1 XYZ PlotRange 1 1 0 3 2 5 1 1 Boxed False Axes False ViewPoint 1 2 2 上右图 设 则曲线和之间的图形绕轴旋转而成的 f xg xaxb yf x yg x x 旋转体的体积为 垫圈法 22 b a Vf xg xdx 例 垫圈法 求两曲线所围成的图形绕 x 轴的旋转体体积 并作图 23 yxyx f x x 2 g x x 3 Plot f x g x x 1 1 2 PlotStyle Red Blue Filling 1 Solve f x g x x 曲线交点 曲线交点 x 0 x 0 x 1 x 0 x 0 x 1 V Pi Integrate f x 2 g x 2 x 0 1 体积 体积 体积 2 2 35 35 f x x 2 g x x 3 r1 Plot f x g x x 0 1 PlotStyle Red Blue Filling 1 r2 Plot f x g x x 0 1 PlotStyle Red Blue Filling 1 r3 ParametricPlot 1 0 05Cos t Sin t t 0 2Pi PlotStyle Red Show r1 r2 r3 PlotRange All AspectRatio 1 下左图 f x x 2 g x x 3 Plot f x g x x 0 1 PlotStyle Red Blue Filling 1 x u t f u Cos t z u t f u Sin t y u t u Qumian1 ParametricPlot3D x u t y u t z u t u 0 1 t 0 2 Pi x u t g u Cos t z u t g u Sin t y u t u Qumian2 ParametricPlot3D x u t y u t z u t u 0 1 t 0 2 Pi X ParametricPlot3D x 0 0 x 1 1 PlotStyle AbsoluteThickness 2 Y ParametricPlot3D 0 y 0 y 0 3 1 PlotStyle AbsoluteThickness 2 Z ParametricPlot3D 0 0 z z 1 1 PlotStyle AbsoluteThickness 3 XYZ Show X Y Z Show Qumian1 Qumian2 XYZ PlotRange 1 1 1 1 1 1 Boxed False Axes False ViewPoint 6 1 1 上右图 例 垫圈法 圆环体体积 求圆盘 绕绕 x x 轴旋转轴旋转的旋转体体积 并作 22 3 1xy 图 f x 3 Sqrt 1 x 2 g x 3 Sqrt 1 x 2 Plot f x g x x 1 1 PlotStyle Red Blue Filling 1 AxesOrigin 0 0 AspectRatio Automatic V Pi Integrate f x 2 g x 2 x 1 1 体积 6 2 r t Cos t 3 Sin t 0 xuanzhuan s 1 0 0 0 Cos s Sin s 0 Sin s Cos s quxian ParametricPlot3D r t t 0 2Pi PlotStyle Red Thickness 0 01 qumian ParametricPlot3D xuanzhuan s r t t 0 2Pi s 0 2Pi Mesh 10 0 X ParametricPlot3D x 0 0 x 3 3 PlotStyle AbsoluteThickness 3 Y ParametricPlot3D 0 y 0 y 4 5 4 5 PlotStyle AbsoluteThickness 3 XYZ Show X Y Show quxian qumian XYZ Boxed False Axes False ViewPoint 2 2 5 PlotRange All 上右图 例 垫圈法 圆环体体积 求圆盘 绕绕 x x 轴旋转轴旋转的旋转体体积 222 xyba f x b Sqrt a 2 x 2 g x b Sqrt a 2 x 2 V Pi Integrate f x 2 g x 2 x a a 体积 2 a a 2 b 2 曲线和轴之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为 0 yf xaxb xy 柱壳法 2 b a Vxf x dx ab yf x ab yf x 例 柱壳法 求曲线 与 x 所围成的图形绕绕 y y 轴轴的旋转体体积 并sinyx 02x 作图 f x Sin x Plot f x x 0 2 PlotStyle Red Thickness 0 005 Filling Axis V 2Pi Integrate x f x x 0 2 体积 V N 2Pi Integrate x f x x 0 2 体积 2 2 Cos 2 Sin 2 或 10 9427 f x Sin x A Plot f x x 0 2 PlotStyle Red Thickness 0 005 Filling Axis B Plot f x x 2 0 PlotStyle Red Thickness 0 005 Filling Axis Y1 ParametricPlot 2Cos t 0 1Sin t t 0 2Pi Y2 ParametricPlot 2Cos t Sin 2 0 1Sin t t 0 2Pi Y3 ParametricPlot 1 6Cos t 1 0 1Sin t t 0 2Pi Show A B Y1 Y2 Y3 PlotRange All AspectRatio Automatic r t t 0 Sin t quxian ParametricPlot3D r t t 0 2 PlotStyle Red Thickness 0 01 quxian1 ParametricPlot3D r t t 0 3 PlotStyle Thickness 0 003 xuanzuan u Cos u Sin u 0 Sin u Cos u 0 0 0 1 Qumian1 ParametricPlot3D xuanzuan u r t t 0 2 u 0 2 Pi Mesh 5 0 x u t g u Cos t z u t g u Sin t y u t u Qumian2 ParametricPlot3D 2 Cos t 2 Sin t z z 0 Sin 2 t 0 2 Pi Mesh 0 PlotStyle LightBlue X ParametricPlot3D x 0 0 x 3 3 PlotStyle AbsoluteThickness 2 Y ParametricPlot3D 0 y 0 y 0 3 2 5 PlotStyle AbsoluteThickness 2 Z ParametricPlot3D 0 0 z z 1 2 PlotStyle AbsoluteThickness 3 XYZ Show Z X Show Qumian1 Qumian2 quxian quxian1 XYZ PlotRange 3 3 2 2 0 1 5 Boxed False Axes False ViewPoint 1 2 2 返回返回目目录录 弧长弧长 曲线 的弧长为 L yy x axb 同济6版 282页 2 1 b a sy xdx yy x a b yy x a b 例 曲线的弧长 并作图 2 1 3 yxx f x x 2 A Plot f x x 1 3 B Plot f x x 1 2 PlotStyle Red Thickness 0 01 Show A B s Integrate Sqrt 1 f x 2 x 1 2 解析解 s N Integrate Sqrt 1 f x 2 x 1 2 数值解 傅 1123 2 4 6 8 结果 1 4 2 5 4 17 ArcSinh 2 ArcSinh 4 解析解 3 16784 数值解 曲线 的弧长为 L xx tyy t t 同济6版 283页 22 sx ty tdt x x L x x L 例 求曲线 的弧长 并作图 3 sin xtyt 11t x t Sin t 3 y t t A ParametricPlot x t y t t 1 5 1 5 B ParametricPlot x t y t t 1 1 PlotStyle Red Thickness 0 01 Show A B s Integrate Sqrt x t 2 y t 2 t 0 1 解析解 s N Integrate Sqrt x t 2 y t 2 t 0 1 数值解 傅 1 0傅 0 50 51 0 傅 1 5 傅 1 0 傅 0 5 0 5 1 0 1 5 结果 傅 0 1 1傅9t 4Cos傅 t 3傅2 傅t 解析解 1 40626 数值解 返回返回目目录录 旋转曲面面积旋转曲面面积 曲线 绕轴旋转的旋转曲面的面积为 L yy x axb x 2 2 1 b a Ay xy xdx yy x yy x 例 曲线绕绕 x x 轴旋转轴旋转的旋转曲面的面积 并作图 2 1 3 yxx f x x 2 A Plot f x x 1 2 5 B Plot f x x 1 2 PlotStyle Red Thickness 0 01 Show A B AspectRatio Automatic s 2Pi Integrate f x Sqrt 1 f x 2 x 1 2 解析解 s N 2Pi Integrate f x Sqrt 1 f x 2 x 1 2 数值解 傅1 0傅0 50 51 01 52 02 5 1 2 3 4 5 6 结果 结果 1 32 1 32 18 18 5 132 132 17 ArcSinh 2 ArcSinh 4 ArcSinh 2 ArcSinh 4 解析解解析解 49 416249 4162 数值解数值解 曲线 绕轴旋转的旋转曲面的面积为 L yy x axb y 2 21 b a Axy xdx yy x 例 曲线绕绕 y y 轴旋转轴旋转的旋转曲面的面积 并作图 2 1 3 yxx f x x 2 A Plot f x x 1 2 5 B Plot f x x 1 2 PlotStyle Red Thickness 0 01 Show A B AspectRatio Automatic s 2Pi Integrate x Sqrt 1 f x 2 x 1 2 解析解 s N 2Pi Integrate x Sqrt 1 f x 2 x 1 2 数值解 傅 1 0傅 0 50 51 01 52 02 5 1 2 3 4 5 6 结果 结果 1 61 6 5 5 5 17 17 17 解析解解析解 30 846530 8465 数值解数值解 曲线 绕轴旋转的旋转曲面的面积为 L xx tyy t t x 22 2 Ay tx ty tdt 例 求曲线 绕绕 x x 轴旋转轴旋转的旋转曲面的面积 并作图 3 sin xtyt 11t x t Sin t 3 y t t A ParametricPlot x t y t t 1 5 1 5 B ParametricPlot x t y t t 1 1 PlotStyle Red Thickness 0 01 Show A B s 2Pi Integrate y t Sqrt x t 2 y t 2 t 0 1 解析解 s N 2Pi Integrate y t Sqrt x t 2 y t 2 t 0 1 数值解 傅 1 0傅 0 50 51 0 傅 1 5 傅 1 0 傅 0 5 0 5 1 0 1 5 结果 结果 2 2 傅 0 1 t1傅9t 4Cos傅 t 3傅2 傅t 解析解解析解 5 117315 11731 数值解数值解 图形的程序 x t Sin t 3 y t t A0 ParametricPlot x t y t t 1 2 1 2 A ParametricPlot x t y t t 1 1 PlotStyle Red Thickness 0 01 B0 ParametricPlot x t y t t 1 2 1 2 B ParametricPlot x t y t t 1 1 PlotStyle Blue Thickness 0 01 Y1 ParametricPlot 0 835 0 2Cos t Sin t t 0 2Pi PlotStyle Green Thickness 0 0 05 Y2 ParametricPlot 0 835 0 2Cos t Sin t t 0 2Pi PlotStyle Green Thickness 0 005 Show A0 A B0 B Y1 Y2 PlotRange All r t Sin t 3 t 0 xuanzhuan s 1 0 0 0 Cos s Sin s 0 Sin s Cos s quxian ParametricPlot3D r t t 1 3 1 3 PlotStyle Blue quxian1 ParametricPlot3D r t t 1 1 PlotStyle Red Thickness 0 01 qumian ParametricPlot3D xuanzhuan s r t t 1 1 s 0 2Pi Mesh 10 0 X ParametricPlot3D x 0 0 x 1 1 PlotStyle AbsoluteThickness 3 Y ParametricPlot3D 0 y 0 y 1 1 PlotStyle AbsoluteThickness 3 XYZ Show X Y Show quxian quxian1 qumian XYZ Boxed False Axes False ViewPoint 0 0 3 2 PlotRange All 曲线 绕轴旋转的旋转曲面的面积为 L xx tyy t t y 22 2 Ax tx ty tdt 例 求曲线 绕绕 y y 轴旋转轴旋转的旋转曲面的面积 并作图 3 sin xtyt 11t x t Sin t 3 y t t A ParametricPlot x t y t t 1 5 1 5 B ParametricPlot x t y t t 1 1 PlotStyle Red Thickness 0 01 Show A B s 2Pi Integrate x t Sqrt x t 2 y t 2 t 0 1 解析解 s N 2Pi Integrate x t Sqrt x t 2 y t 2 t 0 1 数值解 傅 1 0傅 0 50 51 0 傅 1 5 傅 1 0 傅 0 5 0 5 1 0 1 5 结果 2 傅 0 1 1傅9t 4Cos傅 t 3傅2 Sin傅t 3傅 傅t 解析解 2 69184 数值解 图形的程序 x t Sin t 3 y t t A0 ParametricPlot x t y t t 1 2 1 2 A ParametricPlot x t y t t 1 1 PlotStyle Red Thickness 0 01 B0 ParametricPlot x t y t t 1 2 1 2 B ParametricPlot x t y t t 1 1 PlotStyle Blue Thickness 0 01 Y1 ParametricPlot 0 835Cos t 1 0 1Sin t t 0 2Pi PlotStyle Green Thickness 0 005 Y2 ParametricPlot 0 835Cos t 1 0 1Sin t t 0 2Pi PlotStyle Green Thickness 0 005 Show A0 A B0 B Y1 Y2 r t Sin t 3 0 t xuanzhuan s Cos s Sin s 0 Sin s Cos s 0 0 0 1 quxian ParametricPlot3D r t t 1 3 1 3 PlotStyle Blue quxian1 ParametricPlot3D r t t 1 1 PlotStyle Red Thickness