2014年北京高考(文科)数学试题及答案(完美版)

1 O543 0 8 0 7 0 5 t p 主 主 主主S k k 1 S S 2k k 3 k 0主S 0 主主 主主 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 文 北京卷 第一部分第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 若集合 则 0 1 2 4A 1 2 3B AB A B C D 0 1 2 3 4 0 4 1 2 3 2 下列函数中 定义域是且为增函数的是 R A B C D x ye yx lnyx yx 3 已知向量 则 2 4a 1 1b 2ab A B C D 5 7 5 9 3 7 3 9 4 执行如图所示的程序框图 输出的值为 S A B 13 C D 715 5 设 是实数 则 是 的 abab 22 ab A 充分而不必要条件 B 必要而不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分不必要条件 6 已知函数 在下列区间中 包含零点的区 2 6 logf xx x f x 间是 A B C D 0 1 1 2 2 4 4 7 已知圆和两点 22 341Cxy 0Am 00B mm 若圆上存在点 使得 则的最大值为 CP90APB m A B C 765 D 4 8 加工爆米花时 爆开且不糊的粒数的百分比称为 可食用率 在特定条 2 件下 可食用率与加工时间 单位 分钟 满足的函数关系 是pt 2 patbtc abc 常数 如图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据 可以得到最佳加工时间为 A 分钟 B 分钟 3 503 75 C 分钟 D 分钟4 004 25 第二部分第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 若 则 12xi ii xR x 10 设双曲线的两个焦点为 一个顶点式C 2 0 2 0 则的方程为 1 0C 11 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的最长棱的棱长为 12 在中 则 ABC 1a 2b 1 cos 4 C c sin A 13 若 满足 则的最小值为 xy 1 10 10 y xy xy 3zxy 14 顾客请一位工艺师把 两件玉石原料各制成一件工艺品 工艺师带一位徒弟完成这项任务 AB 每件颜料先由徒弟完成粗加工 再由工艺师进行精加工完成制作 两件工艺品都完成后交付顾 客 两件原料每道工序所需时间 单位 工作日 如下 工序 时间 原料 粗加工精加工 原料A915 原料B621 则最短交货期为 工作日 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 演算步骤 15 本小题 13 分 已知是等差数列 满足 数列满足 且为 n a 1 3a 4 12a n b 1 4b 4 20b nn ba 等比数列 求数列和的通项公式 n a n b 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 1 1 1 2 2 3 求数列的前项和 n bn 16 本小题 13 分 函数的部分图象如图所示 3sin 2 6 f xx 写出的最小正周期及图中 的值 f x 0 x 0 y 求在区间上的最大值和最小值 f x 212 O y x y0 x0 4 17 本小题 14 分 如图 在三棱柱中 侧棱垂直于底面 111 ABCABC ABBC 1 2AAAC 分别为 的中点 EF 11 ACBC 求证 平面平面 ABE 11 B BCC 求证 平面 1 C FABE 求三棱锥的体积 EABC C1 B1 A1 F E C B A 5 18 本小题 14 分 从某校随机抽取 100 名学生 获得了他们一周课外阅读时间 单位 小时 的数据 整理得到数 据分组及频数分布表和频率分布直方图 从该校随机选取一名学生 试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率 求频率分布直方图中的 a b 的值 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替 试估计样本中的 100 名学生该周课外阅 读时间的平均数在第几组 只需写出结论 组号分组频数 1 0 2 6 2 2 4 8 3 4 6 17 4 6 8 22 5 8 10 25 6 10 12 12 7 12 14 6 8 14 16 2 9 16 18 2 合计100 主 主 主 主 b a 主 主 主 主 18161412108642O 6 19 本小题 14 分 已知椭圆 C 22 24xy 求椭圆 C 的离心率 设 O 为原点 若点 A 在直线 点 B 在椭圆 C 上 且 求线段 AB 长度的最小2y OAOB 值 7 20 本小题 13 分 已知函数 3 23f xxx 求在区间上的最大值 f x 2 1 若过点存在 3 条直线与曲线相切 求 t 的取值范围 1 Pt yf x 问过点分别存在几条直线与曲线相切 只需写出结论 1 2 2 10 0 2 ABC yf x 8 主 主 主主S k k 1 S S 2k k 3 k 0主S 0 主主 主主 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 文 北京卷 答案及解析答案及解析 第一部分第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 若集合 则 0 1 2 4A 1 2 3B AB A B C D 0 1 2 3 4 0 4 1 2 3 答案 C 解析 因为 所以选 C 2 1 BA 考点 本小题主要考查集合的基本运算 属容易题 熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键 2 下列函数中 定义域是且为增函数的是 R A B C D x ye yx lnyx yx 答案 B 解析 对于选项 A 在 R 上是减函数 选项 C 的定义域为 选项 D 在上是减函数 0 0 故选 B 考点 本小题主要考查函数的单调性 属基础题 难度不大 3 已知向量 则 2 4a 1 1b 2ab A B C D 5 7 5 9 3 7 3 9 答案 A 解析 因为 所以 故选 A 8 4 2 a 7 5 1 1 8 4 2 ba 考点 本小题主要考查平面向量的基本运算 属容易题 4 执行如图所示的程序框图 输出的值为 S A B 13 C D 715 答案 C 解析 当 k 0 时 当 k 1 时 1 S321 S 9 O543 0 8 0 7 0 5 t p 当 k 2 时 当 k 3 时 输出 故选 C 743 S7 S 考点 本小题主要考查程序框图的基础知识 难度不大 程序框图是高考新增内容 是高考的重点 知识 熟练本部分的基础知识是解答的关键 5 设 是实数 则 是 的 abab 22 ab A 充分而不必要条件 B 必要而不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分不必要条件 答案 D 解析 若 则 故不充分 2 0 ba 22 ba 若 则 而 故不必要 故选 D 0 2 ba 22 ab ba 考点 本小题主要考查不等式的性质 熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键 6 已知函数 在下列区间中 包含零点的区间是 2 6 logf xx x f x A B C D 0 1 1 2 2 4 4 答案 C 解析 因为 所以由根的存在性定理可知 选 C 02 2 3 4 014 2 ff 考点 本小题主要考查函数的零点知识 正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的 关键 7 已知圆和两点 22 341Cxy 0Am 00B mm 若圆上存在点 使得 则的最大值为 CP90APB m A B C D 7654 答案 B 解析 由题意知 点 P 在以原点 0 0 为圆心 以 m 为半径的圆上 又因为点 P 在已知圆上 所以只 要两个圆有交点即可 所以 故选 B 51 m 考点 本小题主要考查两圆的位置关系 考查数形结合思想 考查分析问题与解决问题的能 力 8 加 工爆米花时 爆开且不糊的粒数的百分比称为 可食用率 咋特定 条件下 可食用率与加工时间 单位 分钟 满足的函数关系pt 是常数 如图记录了三次实验的数 2 patbtc abc 据 根据上述函数模型和实验数据 可以得到最佳加工时间为 A 分钟 B 分钟 3 503 75 10 C 分钟 D 分钟4 004 25 答案 B 解析 由图形可知 三点都在函数的图象上 5 0 5 8 0 4 7 0 3 cbtatp 2 所以 解得 5 0525 8 0416 7 039 cba cba cba 2 5 1 2 0 cba 所以 当 时 p 取最大值 故选 B 16 13 4 15 2 025 12 0 22 tttp 4 15 t75 3 考点 本小题以实际应用为背景 主要考查二次函数的解析式的求解 二次函数的最值等基础知识 考查同学们分析问题与解决问题的能力 第二部分第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 若 则 12xi ii xR x 答案 2 解析 由题意知 所以由复数相等的定义知ixi211 2 x 考点 本小题主要考查复数相等的定义 复数的运算 难度不大 复数是高考的重点 年年必考 熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键 10 设双曲线的两个焦点为 一个顶点式C 2 0 2 0 则的方程为 1 0C 答案 1 22 yx 解析 由题意知 所以 又因为1 2 ac1 222 acb 双曲线的焦点在 x 轴上 所以 C 的方程为 1 22 yx 考点 本小题驻澳考查双曲线方程的求解 的关系式 考cba 查分析问题与解决问题的能力 11 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的最长棱的棱长为 答案 22 解析 由三视图可知 该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥 底面为边长为 2 的等边三角形 棱 锥的高为 2 所以最长的棱长为 2222 22 考点 本小题主要考查立体几何的三视图 考查同学们的空间想象能力 考查分析问题与解决问题 的能力 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 主 1 1 1 2 2 11 12 在中 则 ABC 1a 2b 1 cos 4 C c sin A 答案 2 8 15 解析 由余弦定理得 故 因为4 4 1 225cos2 222 Cabbac2 c 所以 8 7 222 144 cos A 8 15 sin A 考点 本小题主要考查解三角形的知识 考查正弦定理 三角函数的基本关系式等基础止水 属中 低档题目 13 若 满足 则的最小值为 xy 1 10 10 y xy xy 3zxy 答案 1 解析 画出不等式组表示的平面区域 可知区域为三角形 平移直线可得 当直线经过yxz 3 两条直线与的交点 0 1 时 z 取得最小值 1 1 y01 yx 考点 本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题 正确画图与平移直线是解答这 类问题的关键 14 顾客请一位工艺师把 两件玉石原料各制成一件工艺品 工艺师带一位徒弟完成这项任务 AB 每件颜料先由徒弟完成粗加工 再由工艺师进行精加工完成制作 两件工艺品都完成后交付顾 客 两件原料每道工序所需时间 单位 工作日 如下 工序 时间 原料 粗加工精加工 原料A915 原料B621 则最短交货期为 工作日 答案 42 解析 因为第一件进行粗加工时 工艺师什么都不能做 所以最短交货期为天 4221156 考点 本小题以实际问题为背景 主要考查逻辑思维能力 考查分析问题与解决问题的能力 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 演算步骤 15 本小题 13 分 12 已知是等差数列 满足 数列满足 且为 n a 1 3a 4 12a n b 1 4b 4 20b nn ba 等比数列 求数列和的通项公式 n a n b 求数列的前项和 n bn 15 共 13 分 解 设等差数列的公差为 由题意得 n ad 41 123 3 33 aa d 所以 1 1312 n aandn n 设等比数列的公比为 nn ba q 由题意得 解得 344 11 2012 8 43 ba q ba 2q 所以 11 11 2 nn nn baba q 从而 1 3212 n n bnn 由 知 1 3212 n n bnn 数列的前项和为 数列的前项和为 3nn 3 1 2 n n 1 2n n 12 121 12 n n 所以 数列的前项和为 n bn 3 121 2 n n n 16 本小题 13 分 函数的部分图象如图所示 3sin 2 6 f xx 写出的最小正周期及图中 的值 f x 0 x 0 y 求在区间上的最大值和最小值 f x 212 16 共 13 分 解 的最小正周期为 f x 0 7 6 x 0 3y 因为 所以 212 x 5 20 66 x 于是当 即时 取得最大值 0 20 6 x 12 x f x O y x y0 x0 13 当 即时 取得最小值 2 62 x 3 x f x3 17 本小题 14 分 如图 在三棱柱中 侧棱垂直于底面 111 ABCABC ABBC 1 2AAAC 分别为 的中点 EF 11 ACBC 求证 平面平面 ABE 11 B BCC 求证 平面 1 C FABE 求三棱锥的体积 EABC 17 共 14 分 解 在三棱柱中 底面 111 ABCABC 1 BB ABC 所以 1 BBAB 又因为 ABBC 所以平面 AB 11 B BCC 所以平面平面 ABE 11 B BCC 取中点 连结 ABGEGFG 因为 分别是 的中点 EF 11 ACBC 所以 且 FGAC 1 2 FGAC 因为 且 11 ACAC 11 ACAC 所以 且 1 FGEC 1 FGEC 所以四边形为平行四边形 1 FGEC 所以 1 C FEG 又因为平面 平面 EG ABE 1 C F ABE 所以平面 1 C F ABE 因为 1 2AAAC 1BC ABBC 所以 22 3ABACBC 所以三棱锥的体积EABC 1 1113 3 1 2 3323 ABC VSAA 18 本小题 14 分 C1 B1 A1 F E C B A G C1 B1 A1 F E C B A 14 从某校随机抽取 100 名学生 获得了他们一周课外阅读时间 单位 小时 的数据 整理得到数 据分组及频数分布表和频率分布直方图 从该校随机选取一名学生 试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率 求频率分布直方图中的 a b 的值 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替 试估计样本中的 100 名学生该周课外阅 读时间的平均数在第几组 只需写出结论 18 共 13 分 解 根据频数分布表 100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有名 所62210 以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 10 10 9 100 从该校随机选取一名学生 估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0 9 课外阅读时间落在组的有 17 人 频率为 所以 46 0 17 0 17 0 085 2 a 频率 组距 课外阅读时间落在组的有 25 人 频率为 810 0 25 所以 0 25 0 125 2 b 频率 组距 样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组 19 本小题 14 分 已知椭圆 C 22 24xy 求椭圆 C 的离心率 设 O 为原点 若点 A 在直线 点 B 在椭圆 C 上 且 求线段 AB 长度的最小2y OAOB 组号分组频数 1 0 2 6 2 2 4 8 3 4 6 17 4 6 8 22 5 8 10 25 6 10 12 12 7 12 14 6 8 14 16 2 9 16 18 2 合计100 主 主 主 主 b a 主 主 主 主 18161412108642O 15 值 19 共 14 分 解 由题意 椭圆的标准方程为 C 22 1 42 xy 所以 从而 2 4a 2 2b 222 2cab 因此 故椭圆的离心率 2a 2c C 2 2 c e a 设点 的坐标分别为 其中 AB 2t 00 xy 0 0 x 因为 OAOB 所以 0OA OB 即 解得 00 20txy 0 0 2y t x 又 所以 22 00 24xy 222 00 2ABxty 2 2 0 00 0 2 2 y xy x 2 220 00 2 0 4 4 y xy x 2 2 0 20 0 2 0 2 4 4 4 2 x x x x 2 20 0 2 0 8 4 04 2 x x x 因为 且当时等号成立 所以 2 20 0 2 0 8 4 04 2 x x x 2 0 4x 2 8AB 故线段长度的最小值为 AB2 2 20 本小题 13 分 已知函数 3 23f xxx 求在区间上的最大值 f x 2 1 若过点存在 3 条直线与曲线相切 求 t 的取值范围 1 Pt yf x 问过点分别存在几