平方根知识点总结讲义

平方根平方根 知识点总结知识点总结 学习目标学习目标 1 了解平方根 算术平方根的概念 会用根号表示数的平方根 2 了解开方与乘方互为逆运算 会用开方运算求某些非负数的平方根 会用计算器求平方 根 要点梳理要点梳理 要点一 平方根和算术平方根的概念要点一 平方根和算术平方根的概念 1 1 算术平方根的定义算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于 即 那么这个正数 x 叫做的算术平方根 规定xa 2 xa a 0 的算术平方根还是 0 的算术平方根记作 读作 的算术平方根 叫做被aaaa 开方数 要点诠释 要点诠释 当式子有意义时 一定表示一个非负数 即 0 0 aaaa 2 2 平方根的定义平方根的定义 如果 那么叫做的平方根 求一个数的平方根的运算 叫做开平方 平方 2 xa xaa 与开平方互为逆运算 0 的平方根的符号表达为 其中是的算a a 0 a a aa 术平方根 要点二 平方根和算术平方根的区别与联系要点二 平方根和算术平方根的区别与联系 1 1 区别 区别 1 定义不同 2 结果不同 和a a 2 2 联系 联系 1 平方根包含算术平方根 2 被开方数都是非负数 3 0 的平方根和算术平方根均为 0 要点诠释 要点诠释 1 正数的平方根有两个 它们互为相反数 其中正的那个叫它的算术平 方根 负数没有平方根 2 正数的两个平方根互为相反数 根据它的算术平方根可以立即写出它 的另一个平方根 因此 我们可以利用算术平方根来研究平方根 要点三 平方根的性质要点三 平方根的性质 2 0 0 0 0 aa aaa aa 2 0aaa 要点四 平方根小数点位数移动规律要点四 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位 它的算术平方根的小数点就相应地向右或 者向左移动 1 位 例如 62500250 62525 6 252 5 0 06250 25 典型例题典型例题 类型一 平方根和算术平方根的概念类型一 平方根和算术平方根的概念 1 若 2 4 与 3 1 是同一个正数的两个平方根 求的值 mmm 思路点拨思路点拨 由于同一个正数的两个平方根互为相反数 由此可以得到 2 4 3 1 解方程即可求解 mm 答案与解析答案与解析 解 依题意得 2 4 3 1 mm 解得 1 m 的值为 1 m 总结升华总结升华 此题主要考查了平方根的性质 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 举一反三 举一反三 变式 已知 2 1 与 2 是的平方根 求的值 aamm 答案答案 2 1 与 2 是的平方根 所以 2 1 与 2 相等或互为相反数 aamaa 解 当 2 1 2 时 1 所以 aaam 22 212 1 11a 当 2 1 2 0 时 1 aaa 所以 m 22 2 21 2 1 1 39a 2 为何值时 下列各式有意义 x 1 2 3 4 2 x4x 11xx 1 3 x x 答案与解析答案与解析 解 1 因为 所以当取任何值时 都有意义 2 0 x x 2 x 2 由题意可知 所以时 有意义 40 x 4x 4x 3 由题意可知 解得 所以时有意 10 10 x x 11x 11x 11xx 义 4 由题意可知 解得且 10 30 x x 1x 3x 所以当且时 有意义 1x 3x 1 3 x x 总结升华总结升华 1 当被开方数不是数字 而是一个含字母的代数式时 一定要讨论 只有当 被开方数是非负数时 式子才有意义 2 当分母中含有字母时 只有当分母不为 0 时 式 子才有意义 举一反三 举一反三 变式 已知 求的算术平方根 4 322 232baa 11 ab 答案答案 解 根据题意 得则 所以 2 320 230 a a 2 3 a b 1131 2 22ab 的算术平方根为 11 ab 11 2 ab 类型二 平方根的运算类型二 平方根的运算 3 求下列各式的值 1 2 2222 252434 A 111 200 36900 435 思路点拨思路点拨 1 首先要弄清楚每个符号表示的意义 2 注意运算顺序 答案与解析答案与解析 解 1 2222 252434 A49257 535 A 2 1118111 200 369000 630 435435 9 0 261 7 2 总结升华总结升华 1 混合运算的运算顺序是先算平方开方 再乘除 后加减 同一级运算按先 后顺序进行 2 初学可以根据平方根 算术平方根的意义和表示方法来解 熟练后直接根 据来解 2 0 aa a 类型三 利用平方根解方程类型三 利用平方根解方程 4 求下列各式中的 x 1 2 2 3610 x 2 1289x 3 2 9 32640 x 答案与解析答案与解析 解 1 2 3610 x 2 361x 36119x 2 2 1289x 1289x 1 17x 16 或 18 xx 3 2 9 32640 x 264 32 9 x 8 32 3 x 214 99 xx 或 总结升华总结升华 本题的实质是一元二次方程 开平方法是解一元二次方程的最基本方法 2 3 小题中运用了整体思想分散了难度 举一反三 举一反三 变式 求下列等式中的 x 1 若 则 2 则 2 1 21x x 2 169x x 3 若则 4 若 则 2 9 4 x x 2 2 2x x 答案答案 1 1 1 2 13 3 4 2 3 2 类型四 平方根的综合应用类型四 平方根的综合应用 5 已知 是实数 且 解关于的方程ab26 2 0ab x 2 2 1axba 答案与解析答案与解析 解 是实数 ab26 2 0ab 260a 2 0b 260a 20b 3 a 2b 把 3 代入 得 2 4 6 a 2b 2 2 1axba xx 总结升华总结升华 本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题 应先求出 的值 a b 再解方程 此类题主要是考查完全平方式 算术平方根 绝对值三者的非负性 只需令每 项分别等于零即可 举一反三 举一反三 变式 若 求的值 2 110 xy 20112012 xy 答案答案 解 由 得 即 2 110 xy 2 10 x 10y 1x 1y 当 1 1 时 xy 2011201220112012 1 1 2xy 当 1 1 时 xy 2011201220112012 1 1 0 xy 6 小丽想用一块面积为 400的正方形纸片 沿着边的方向裁出一块面积为 300 2 cm 的长方形纸片 使它长宽之比为 请你说明小丽能否用这块纸片裁出符 2 cm2 3 合要求的长方形纸片 答案与解析答案与解析 解 设长方形纸片的长为 3 0 则宽为 2 依题意得 xxcmx cm 32300 xx 2 6300 x 2 50 x 0 x 50 x 长方形纸片的长为 3 50cm 50 49 507 即长方形纸片的长大