同济大学(高等数学)-第一章-函数极限

1 第一篇第一篇 函数 极限与连续函数 极限与连续 第一章第一章 函数 极限与连续函数 极限与连续 高等数学的主要内容是微积分 微积分是以变量为研究对象 以极限方法为基本研究 手段的数学学科 本章首先复习函数相关内容 继而介绍极限的概念 性质 运算等知识 最后通过函数的极限引入函数的连续性概念 这些内容是学习高等数学课程极其重要的基 础知识 第第 1 1 节节 集合与函数集合与函数 1 11 1 集合集合 1 1 11 1 1 集合集合 讨论函数离不开集合的概念 一般地 我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称 为集合集合 组成集合的事物或对象称为该集合的元素元素 通常用大写字母 表示集合 用小写字母 表示集合的ABC abc 元素 如果是集合的元素 则表示为 读作 属于 如果不是集合的aAAa aAaA 元素 则表示为 读作 不属于 Aa aA 一个集合 如果它含有有限个元素 则称为有限集 如果它含有无限个元素 则称为 无限集无限集 如果它不含任何元素 则称为空集空集 记作 集合的表示方法通常有两种 一种是列举法 即把集合的元素一一列举出来 并用 括起来表示集合 例如 有 1 2 3 4 5 组成的集合 可表示成A 1 2 3 4 5 A 第二种是描述法 即设集合所有元素的共同特征为 则集合可表示为MxPM PxxM具有性质 例如 集合是不等式的解集 就可以表示为A02 2 xx 02 2 xxxA 由实数组成的集合 称为数集数集 初等数学中常见的数集有 1 全体非负整数组成的集合称为非负整数集 或自然数集 记作 即N 3 2 1 0nN 2 所有正整数组成的集合称为正整数集 记作 即 N 3 2 1nN 3 全体整数组成的集合称为整数集 记作 即Z 3 2 1 0 1 2 3 nnZ 2 4 全体有理数组成的集合称为有理数集 记作 即Q 互质与且qpNqZp q p Q 5 全体实数组成的集合称为实数集 记作 R 1 1 21 1 2 区间与邻域区间与邻域 在初等数学中 常见的在数集是区间 设 且 则Rba ba 1 开区间 bxaxba 2 半开半闭区间 bxaxba bxaxba 3 闭区间 bxaxba 4 无穷区间 axxa axxa bxxb bxxb Rxx 以上四类统称为区间 其中 1 4 称为有限区间 5 8 称为无限区间 在 数轴上可以表示为 图 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 图 1 1 在微积分的概念中 有时需要考虑由某点附近的所有点组成的集合 为此引入邻域 0 x 3 的概念 定义定义 1 1 设为某个正数 称开区间为点的邻域 简称为点 00 xx 0 x 的邻域 记作 即 0 x 0 xU 0000 xxxxxU 0 xxx 在此 点称为邻域的中心 称为邻域的半径 图形表示为 图 1 2 0 x 图 1 2 另外 点的邻域去掉中心后 称为点的去心邻域 记作 即 0 x 0 x 0 x 0 xU o 0 00 xxxxU o 图形表示为 图 1 3 图 1 3 其中称为点的左邻域 称为点的右邻域 00 xx 0 x 00 xx 0 x 1 21 2 函数的概念函数的概念 1 2 11 2 1 函数的定义函数的定义 定义定义 2 2 设 是两个变量 是给定的数集 如果对于每个 通过对应法xyDDx 则 有唯一确定的与之对应 则称为是的函数函数 记作 其中为自变量 fyyx xfy x 为因变量 为定义域 函数值的全体成为函数的值域 记作 即yD xff f R DxxfyyRf 函数的记号是可以任意选取的 除了用 外 还可用 等表fgF 示 但在同一问题中 不同的函数应选用不同的记号 函数的两要素 函数的两要素 函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素 例例 1 1 求函数的定义域 2 1 1 x x y 解解 的定义区间满足 的定义区间满足 解得 x 1 0 x 2 1x 01 2 x 11 x 4 这两个函数定义区间的公共部分是 1001 xx或 所以 所求函数定义域为 1 0 0 1 例例 2 2 判断下列各组函数是否相同 1 xxflg2 2 lg xxg 2 334 xxxf 3 1 xxxg 3 xxf 2 xxg 解解 1 的定义域为 的定义域为 两个函数定xxflg2 0 x 2 lg xxg 0 x 义域不同 所以和不相同 xf xg 2 和的定义域为一切实数 所以 xf xg 334 xxxf 1 3 xgxx 和是相同函数 xf xg 3 故两者对应关系不一致 所以和不相xxf xxxg 2 xf xg 同 函数的表示法有表格法 图形法 解析法 公式法 三种 常用的是图形法和公式法两种 在 此不再多做说明 函数举例 例例 3 3 函数 函数为符号函数符号函数 定义域为 值域 如 0 1 0 0 0 1 sgn x x x xyR 1 0 1 图 1 4 图 1 4 例例 4 4 函数 此函数为取整函数取整函数 定义域为 设为任意实数 不超过 xy Rxy 的最大整数 值域 如图 1 5 xZ 5 图 1 5 特别指出的是 在高等数学中还出现另一类函数关系 一个自变量通过对于法则x 有确定的值与之对应 但这个值不总是唯一 这个对应法则并不符合函数的定义 fyy 习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数多值函数 1 2 21 2 2 函数的性质函数的性质 设函数 定义域为 xfy DDI 1 1 函数的有界性 函数的有界性 定义定义 3 3 若存在常数 使得对每一个 有 则称函数在0 MIx Mxf xf 上有界有界 I 若对任意 总存在 使 则称函数在上无界 如图0 MIx 0 Mxf 0 xfI 1 6 图 1 6 例如 函数 在上是有界的 函数 在xxfsin 1sin x x xf 1 内无上界 在内有界 1 0 2 1 2 2 函数的单调性 函数的单调性 设函数在区间上有定义 及为区间上任意两点 且 如果恒 xfy I 1 x 2 xI 21 xx 有 则称在上是单调增加单调增加的 如果恒有 则称 21 xfxf xfI 21 xfxf 在上是单调递减单调递减的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数 图 1 7 xfI 6 图 1 7 3 3 函数的奇偶性 函数的奇偶性 设函数的定义域关于原点对称 如果在上有 则称 xfy DD xfxf 为偶函数偶函数 如果在上有 则称为奇函数奇函数 xfD xfxf xf 例如 函数 由于 所以是偶函数 2 xxf 22 xfxxxf 2 xxf 又如函数 由于 所以是奇函数 如图 3 xxf 33 xfxxxf 3 xxf 1 8 图 1 8 从函数图形上看 偶函数的图形关于轴对称 奇函数的图形关于原点对称 y 4 4 函数的周期性函数的周期性 设函数的定义域为 如果存在一个不为零的数 使得对于任一有 xfy DlDx 且 则称为周期函数周期函数 称为的周期 如果在函数 Dlx xflxf xfl xf 的所有正周期中存在一个最小的正数 则我们称这个正数为的最小正周期最小正周期 我 xf xf 们通常说的周期是指最小正周期 例如 函数和是周期为的周期函数 函数和xysin xycos 2xytan 是周期为的周期函数 xycot 在此 需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 对任意实数 都有 故任意实数都是其Cxf l xflxf 周期 但它没有最小正周期 又如 狄里克雷函数 7 c Qx Qx xD 0 1 当时 对任意有理数 必有 故任意有理数都是其 c Qx l c Qlx xDlxD 周期 但它没有最小正周期 1 31 3 反函数反函数 在初等数学中的函数定义中 若函数为单射 若存在 DfDf 1 fDDf 称此对应法则为的反函数反函数 1 ff 习惯上 的反函数记作Dxxfy 1 Dfxxfy 例如 指数函数的反函数为 图像为 图 1 xey x 0 ln xxy 9 图 1 9 反函数的性质 反函数的性质 1 函数 单调递增 减 其反函数存在 且也单调递增 减 xfy 1 xfy 2 函数与其反函数的图形关于直线对称 xfy 1 xfy xy 下面介绍几个常见的三角函数的反函数 正弦函数的反函数 正切函数的反函数 xysin xyarcsin xytan xyarctan 反正弦函数的定义域是 值域是 反正切函数xyarcsin 1 1 2 2 的定义域是 值域是 如图 1 10 xyarctan 2 2 8 9 图 1 10 1 41 4 复合函数复合函数 定义定义 4 4 设函数 函数 则 f Duufy fgg DRDxxgu 值域 g Dxxgfyxgfy 或 称为由复合而成的复合函数 其中为中间变量 xguufy u 注 注 函数与函数构成复合函数的条件是 否则不能构成复合函数 gfgf fg DR 例如 函数 在形式上可以构成复合函数 1 1 arcsin uuy Rxxu 2 2 2arcsin 2 xy 但是的值域为 故没有意义 2 2 xu 1 1 2 2arcsin 2 xy 在后面的微积分的学习中 也要掌握复合函数的分解 复合函数的分解原则 从外向里 层层分解 直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算 例例 5 5 对函数分解 x ay sin 解解 由 复合而成 x ay sin u ay xusin 例例 6 6 对函数分解 12 sin2 xy 解解 由 复合而成 12 sin2 xy 2 uy vusin 12 xv 1 51 5 初等函数初等函数 在初等数学中我们已经接触过下面各类函数 常数函数 常数函数 为常数 Cy C 幂函数 幂函数 0 xy 9 指数函数 指数函数 10 aaay x 且 对数函数 对数函数 10 log aaxy a 且 三角函数 三角函数 xyxyxyxyxyxycsc sec cot tan cos sin 反三角函数 反三角函数 xarcyxyxyxycot arctan arccos arcsin 这六种函数统称为基本初等函数基本初等函数 定义定义 5 5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个 式子表示的函数 称为初等函数初等函数 例如 等都是初等函数 x ey sin 12sin xy 2 cot x y 需要指出的是 在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数 但是分段函数不是初等 函数 因为分段函数一般都有几个解析式来表示 但是有的分段函数通过形式的转化 可以 用一个式子表示 就是初等函数 例如 函数 0 0 xx xx y 可表示为 2 xy 习题习题 1 11 1 1 求下列函数的定义域 1 2 2 1xy 2 4 1 1 x x y 3 4 2 ln 2 xx y 4 3 arcsin x y 5 6 4 5 2 x y 2 3ln x x y 2 下列各题中 函数和是否相同 为什么 xf xg 1 2 2 lg xxf xxglg2 xxf 2 xxg 3 4 xxf x exg ln xxf sin arcsin xxg 3 已知的定义域为 求下列函数的定义域 xf 1 0 1 2 3 2 xf tan xf 0 aaxfaxf 10 4 设 求 531 2 xxxf xf 1 xf 5 判断下列函数的奇偶性 1 2 xxytansin 1lg 2 xxy 3 4 2 xx ee y 1 3 xxy 5 0 1 0 1 xx xx y 6 设下列考虑的函数都是定义在区间上的 证明 0 lll 1 两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数 2 两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数和奇函数的乘 积是奇函数 7 下列函数中哪些是周期函数 如果是 确定其周期 1 2 1sin xyxy2cos 3 4 xy sin1 xy 2 cos 8 求下列函数的反函数 1 2 3 1 xy 2lg 1 xy 3 4 x x e e y 1 2 sin2 x x y 5 4 2 41 1 2 x xx xx y x 9 下列函数是有哪些函数复合而成的 1 2 13sin xy 21 cos3xy 3 4 1ln arcsin xy 2 sinx ey 10 设 求 2 xxf xxln xf xff xf 11 第第 2 节节 极限极限 极限在高等数学中占有重要地位 微积分思想的构架就是用极限定义的 本节主要研 究数列极限 函数极限的概念以及极限的有关性质等内容 2 1 数列的极限数列的极限 2 1 1 数列的概念数列的概念 定义定义 1 1 若按照一定的法则 有第一个数 第二个数 a2 依次排列下去 使得 1 a 任何一个正整数 n 对应着一个确定的数 那么 我们称这列有次序的数 n a a1 a2 an 为数列 数列中的每一个数叫做数列的项 第 n 项叫做数列的一般项一般项 n a 或通项或通项 例如 2 1 8 1 4 1 2 1 n 1 4 1 3 1 2 1 1 1 n n 1 4 3 3 2 2 1 n n 1 1 1 1 1 n 都是数列 它们的一般项依次为 n 2 1 n n 1 1 1 n n 1 1 n 12 我们可以看到 数列值随着 n 变化而变化 因此可以把数列看作自变量为正整 n a n a 数的函数 即n Nnnfan 另外 从几何的角度看 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依 n a 次取 a1 a2 在数轴上表示为 图 1 11 n a 图 1 11 2 1 2 数列极限的定义数列极限的定义 数列极限的思想早在古代就已萌生 我国 庄子 一书中著名的 一尺之锤 日取其 半 万世不竭 魏晋时期数学家刘徽在 九章算术注 中首创 割圆术 用圆内接多 边形的 面积去逼近圆的面积 都是极限思想的萌芽 设有一圆 首先作圆内接正六边形 把它的面积记为 再作圆的内接正十二边形 1 A 其面积记为 再作圆的内接正二十四边形 其面积记为 依次进行下去 一般把内 2 A 3 A 接正边形的面积记为 可得一系列内接正多边形的面积 1 26 n n A 1 A 2 A 3 A n A 它们就构成一列有序数列 可以发现 当内接正多边形的边数无限增加时 也无限接近 n A 某一确定的数值 圆的面积 这个确定的数值在数学上被称为数列当时的极 n A n 限 在上面的例子中 数列如图 1 12 n 2 1 图 1 12 13 当时 无限接近于常数 0 则 0 就是数列当时的极限 n n 2 1 n 2 1 n 再如数列 当时 无限接近于常数 1 则 1 就是数列当 1n n n 1 n n 1n n 时的极限 而数列 当时 在 1 和 1 之间来回震荡 无法 n 1 1 n n 1 1 n 趋近一个确定的常数 故数列当时无极限 由此推得数列的直观定义 1 1 n n 定义定义 2 2 设是一数列 是一常数 当 n 无限增大时 即 无限接近 n aa n n a 于 则称为数列当时的极限极限 记作aa n a n 或 an a n aan n lim 在上例中 0 2 1 lim n n 1 1 lim n n n 0 1 lim 1 n n n 对于数列 其极限为 即当 n 无限增大时 无限接近于 如何度量与 n aa n aa n a 无限接近呢 a 一般情况下 两个数之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值来度量 并ab 且 越小 表示与越接近 ab ab 例如数列 通过观察我们发现当 n 无限增大时 无限接近无限接近 n n 1 1 n a n n 1 1 n a 0 即 0 是数列当时的极限 下面通过距离来描述数列的极限为 0 n a n n a 由于 1 1 0 1 nn a n n 当 n 越来越大时 越来越小 从而越来越接近于 0 当 n 无限增大时 无限接 n 1 n a n a 近于 0 例如 给定 要使 只要即可 也就是说从 101 项开始都能使 100 1 100 11 n 100 n 100 1 0 n a 14 成立 给定 要使 只要即可 也就是说从 10001 项开始都能使 10000 1 10000 11 n 10000 n 10000 1 0 n a 成立 一般地 不论给定的正数多么的小 总存在一个正整数 使得当时 不等 NNn 式 aan 都成立 这就是数列当时极限的实质 n a n n 1 1 n 根据这一特点得到数列极限的精确定义 定义定义 3 设是一数列 是一常数 如果对任意给定的正数 总存在正整数 n aa N 使得当时 不等式Nn aan 都成立 则称是数列的极限极限 或称数列收敛于 记作 a n a n aaaan n lim 反之 如果数列的极限不存在 则称数列发散发散 n a n a 在上面的定义中 可以任意给定 不等式表达了与无限接近程度 aan n aa 此外与有关 随着的给定而选定 表示了从项开始满足不等式N Nn 1 N aan 对数列的极限为也可以略写为 n aa 0 0lim axNnNaa nn n 有时当 数列的极限为的几何解释几何解释 n aa 将常数与数列在数轴上用对应的点表示出来 从项开始 数a 21n aaa1 N 列的点都落在开区间内 而只有有限个 至多只有 N 个 在此区间以外 n a aa 图 1 13 图 1 13 15 例例 1 证明数列极限 0 1 lim 1 n n n 证明证明 由于 1 0 1 1 nn aa n n 对 要使0 0 1 1 n n 即取当时 有由极限的定义知 1 n 1 n 1 NNn 0 1 1 n n 0 1 lim 1 n n n 例例 2 证明数列极限 2 3 12 13 lim n n n 证明证明 由于 4 1 24 1 24 1 2 3 12 13 nnnn n aan 对 要使0 2 3 12 13 n n 即取当时 有由极限的定义知 4 1 n 4 1 n 4 1 NNn 2 3 12 13 n n 2 3 12 13 lim n n n 注 注 在利用数列极限的定义来证明数列的极限时 重要的是要指出对于任意给定的正 数 正整数确实存在 没有必要非去寻找最小的 NN 例例 3 证明数列极限 0 2 1 lim n n 证明证明 由于 2 1 0 2 1 nn n aa 对 要使 1 0 他 16 0 2 1 n 即取对数得 取 当时 有由极限的定 2 1 n 2ln ln n 2ln ln NNn 0 2 1 n 义知 0 2 1 lim n n 2 22 2 数列极限的性质数列极限的性质 定理定理 1 极限的唯一性极限的唯一性 收敛数列的极限必唯一 证明证明 反证法 反证法 假设同时有及 且 不妨设 a0 由于 存在充分大的正整数 使当 2 ab aan n lim 1 N 时 有 1 Nn 2 ab aan 有 2 ab an 由于 存在充分大的正整数 使当时 有ban n lim 2 N 2 Nn 2 ab ban 有 n a ba 2 取 则当时 同时有和成立 这是不可能 21 N NmaxN Nn 2 ab an n a ba 2 的 故假设不成立 收敛数列的极限必唯一 定理定理 2 收敛数列的有界性收敛数列的有界性 如果数列收敛 那它一定有界 即对于收敛数列 n a n a 必存在正数 对一切 有M Nn Man 证明证明 设 根据数列极限的定义 取 1 存在正整数 N 当时 不等aan n limNn 式 1 aan 都成立 于是当时 Nn 17 aaaaaaaa nnn 1 取 那么数列中的一切都满足不等式 这 aaaaM N 1 max 21 n a n a Man 就证明了数列是有界的 n a 定理 2 说明了收敛数列一定有界 反之不成立 例如 数列有界 但是不收敛 n 1 定理定理 3 收敛数列的保号性收敛数列的保号性 如果 且 或 那么存在正整数 N 当时 有 或aan n lim0 a0 aNn 0 n a 0 n a 证明证明 就的情形 由数列极限的定义 对 当时 有0 a0 2 a NNNn 2 a aan 从而 n a a 2 0 推论推论 如果数列从某项起有 或 且 那么 或 n a0 n a0 n aaan n lim0 a0 a 定理定理 4 夹逼准则夹逼准则 如果数列 及满足下列条件 n a n b n c 1 2 1 ncab nnn 2 abn n limacn n lim 那么数列的极限存在 且 n aaan n lim 证明证明 因为 以根据数列极限的定义 0 当abn n limacn n lim0 1 N 时 有 1 Nn aba n 又 当时 有0 2 N 2 Nn aca n 现取 则当 时 有 21 maxNNN Nn 18 aba n aca n 同时成立 又因 所以当 时 有 2 1 ncab nnn Nn acaba nnn 即 aan 这就证明了 aan n lim 例例 4 求证 0 1 1 11 lim 222 nnnn n 证明证明 由于 22222 1 1 11 n n nnnnnn n 而 由夹逼准则知 0 lim 2 nn n n 0lim 2 n n n 0 1 1 11 lim 222 nnnn n 如果数列满足条件 n a 121nn aaaa 就称数列是单调增加单调增加的 n a 如果数列满足条件 n a 121nn aaaa 就称数列是单调减少单调减少的 n a 单调增加和单调减少数列统称为单调数列单调数列 定理定理 5 单调有界准则单调有界准则 单调有界数列必有极限 例例 5 求数列的极限 111111 解解 证明数列的有界性 令则 其中 设 则 111 n a nn aa 1 1 1 1 a22 2 a2 k a 231 1 kk aa 19 由归纳法知 对所有的 有故有界 Nn 20 n a n a 证明数列的单调性 已知 则 设 则1 1 a2 2 a 12 aa 1 kk aa 0 11 11 1 1 11 kk kk kkkk aa aa aaaa 由归纳法知 对所有的 有故单调递增 Nn nn aa 1 n a 由单调有界准则知 数列存在极限 设为 在两边取极限 得 n aa nn aa 1 1 aa 1 解得或 由于收敛数列保号性知舍去 故所求数列的极限 2 51 a 2 51 a 2 51 a 是 2 51 2 32 3 函数的极限函数的极限 由于数列可以看做是自变量为的函数 所以数列的极 n an Nnnfan n a 限为 可以认为是当自变量取正整数且无限增大时 对应的函数值无限接近于常an nf 数 对一般的函数而言 在自变量的某个变化过程中 函数值无限接近于a xfy xf 某个确定的常数 那么这个常数就叫做在自变量在这一变化过程的极限 这说明函 xfx 数的极限与自变量的变化趋势有关 自变量的变化趋势不同 函数的极限也会不同 下面主要介绍自变量的两种变化趋势下函数的极限 2 3 12 3 1 自变量自变量时函数的极限时函数的极限 x 引例引例 观察函数当时的变化趋势 图 1 14 x x y sin x 20 图 1 14 从图 1 14 可以看出 当无限增大时 函数无限接近于 0 确定的常数 x x xsin 由此推得函数在时极限的直观定义 xf x 定义定义 4 设当 x 大于某一正数时有定义 当 x 无限增大时 函数值无限接近 xf xf 于一个确定的常数 称为当 x 时的极限 记作AA xf 或 Axf x lim xAxf 引例中 0 sin lim x x x 类比于数列极限的定义推得当时函数的极限的直观定义 x xf 定义定义 5 设当 x 大于某一正数时有定义 如果存在常数 对任意给定的正数 xfA 总存在正数 使得当时 不等式 XXx Axf 都成立 则称是函数在时的极限 记作A xf x Axf x lim 对定义 5 的简单叙述 0 0 lim AxfXxXAxf x 他他他 类比当时函数的极限定义 当时函数的极限定义 x xf x xf 定义定义 6 设当 大于某一正数时有定义 如果存在常数 对任意给定的正 xfx A 数 总存在正数 使得当时 不等式 XXx Axf 都成立 则称是函数在时的极限 记作A xf x Axf x lim 对定义 6 的简单叙述 0 0 lim AxfXxXAxf x 他他他 在引例中 0 sin lim x x x 结合定义 5 和定义 6 推得函数在时的极限定义 xf x 21 定义定义 7 设当 大于某一正数时有定义 如果存在常数 对任意给定的正数 xf xA 总存在正数 使得当时 不等式 XXx Axf 都成立 则称是函数在时的极限 记作A xf x Axf x lim 对定义 7 的简单叙述 0 0 lim AxfXxXAxf x 有时当 结合定义 7 函数在时的极限存在的充要条件是 xf x lim lim limAxfxfAxf xxx 例例 6 证明 0 sin lim x x x 证明证明 由于 1sin 0 sin xx x x x Axf 对 要使0 Axf 即取当时 有由极限的定义知 1 x 1 x 1 XXx Axf 0 sin lim x x x 从几何上看 表示当时 曲线位于直线和Axf x limXx xfy Ay 之间 图 1 15 Ay 图 1 15 这时称直线为曲线的水平渐近线水平渐近线 Ay xfy 22 例如 则是曲线的水平渐近线 0 sin lim x x x 0 y x x y sin 2 3 2 自变量自变量时函数的极限时函数的极限 0 xx 引例引例 1 观察函数和在时函数值的变化趋势 图 1 1 xxf 1 1 2 x x xg1 x 16 图 1 16 从图 1 16 中得出 函数和在时函数值都无限接近于1 xxf 1 1 2 x x xg1 x 2 则称 2 是函数和在时的极限 1 xxf 1 1 2 x x xg1 x 从上例中看出 虽然和在处都有极限 但在处不定义 这 xf xg1 x xg1 x 说明函数在一点处是否存在极限与它在该点处是否有定义无关 因此 在后面的定义中假 定函数在的某个去心邻域内有定义 函数在时函数极限的直观定义 xf 0 x xf 0 xx 定义定义 7 函数在的某个去心邻域内有定义 当时 函数的函数值无 xf 0 x 0 xx xf 限接近于确定的常数 称为函数在时的极限 AA xf 0 xx 在定义 7 中 函数的函数值无限接近于某个确定的常数 表示能任 xfAAxf 意小 在此同样可以通过对于任意给定的正数 表示 而可以表示 Axf 0 xx 为 0 体现了接近的程度 由此得到函数在时 0 0 xx x 0 x xf 0 xx 函数极限的精确定义 定义定义 8 函数在的某个去心邻域内有定义 对于任意给定的正数 总存在正 xf 0 x 数 当满足不等式时 函数满足不等式 x 0 0 xx xf Axf 23 称为函数在时的极限 记作A xf 0 xx 或 Axf xx lim 0 0 xxAxf 定义 8 简单表述为 0 0 0 lim 0 0 AxfxxAxf xx 有时当 函数在时极限为的几何解释 xf 0 xx A 对 当时 曲线位于直线和之间 0 0 xUx o xfy Ay Ay 如图 1 17 图 1 17 例例 7 证明为常数 CCC xx lim 0 证明证明 由于 0 CCAxf 对 对 当时 都有故0 0 0 0 xx Axf lim 0 CC xx 例例 8 证明 2 1 1 lim 2 1 x x x 证明证明 由于 12 1 1 2 x x x Axf 对 要使 即取 当时 都有0 Axf 1 x 0 0 xx 故 Axf 2 1 1 lim 2 1 x x x 在函数的极限中 既包含从左侧向靠近 又包含从右侧向靠近 因此 0 xx x 0 x 0 x 24 在求分段函数在分界点处的极限时 由于在处两侧函数式子不同 只能分别讨论 0 x 0 x 左侧向靠近的情形 记作 从右侧向靠近的情形 记作 x 0 x 0 xxx 0 x 0 xx 在定义 8 中 若把空心邻域改为 则称为函数 0 0 xx 00 xxx A 在时的左极限左极限 记作 xf 0 xx 或 Axf xx lim 0 Axf 0 类似地 若把空心邻域改为 则称为函数在 0 0 xx 00 xxxA xf 时的右极限右极限 记作 0 xx 或 Axf xx lim 0 Axf 0 我们把左极限和右极限统称为单侧极限单侧极限 根据在时极限的定义推出在时的极限存在的充要条件是左 xf 0 xx xf 0 xx 右极限都存在并且相等 即 AxfxfAxf xxxx xx lim lim lim 00 0 例例 9 讨论函数 0 1 0 xx xx xf 当时极限不存在 0 x xf 解解 函数图形 图 1 18 如下 图 1 18 载处的左极限为 xf0 x 0 lim lim 00 xxf xx 25 右极限为 1 1 lim lim 00 xxf xx 由于 故不存在 lim lim 00 xfxf xx lim 0 xf x 2 3 3 函数的极限的性质函数的极限的性质 类比数列极限的性质 可以推得函数极限的性质 由于函数极限自变量的变化趋势有不 同的形式 下面仅以为代表讨论 lim 0 xf xx 性质性质 1 唯一性 唯一性 若 则极限值是唯一的 Axf xx lim 0 性质性质 2 局部有界性 局部有界性 若 若存在常数及 当Axf xx lim 0 0 M0 时 有 0 0 xxMxf 性质性质 3 保号性 保号性 若 且 或 若存在 当Axf xx lim 0 0 A0 A0 时 有 或 0 0 xx0 xf0 xf 性质性质 4 夹逼准则 夹逼准则 设 是三个函数 若存在 当 xf xg xh0 时 有 0 0 xx xhxfxg Axhxg xxxx lim lim 00 则 Axf xx lim 0 2 42 4 无穷大与无穷小无穷大与无穷小 在研究函数的变化趋势时 经常会遇到两种特殊情形 一是函数的极限为零 二是函 数的绝对值无限增大 即是本节讨论的无穷小和无穷大 以为代表讨论 lim 0 xf xx 2 4 12 4 1 无穷小无穷小 若 则称函数为时的无穷小无穷小 0 lim 0 xf xx xf 0 xx 例如 则是时的无穷小 则是时的0 1 lim 2 1 x x 1 2 x1 x0 1 lim x x x 1 x 无穷小 在此需要指出的是 1 无穷小不是很小的数 它表示当时 的绝对值 0 xx xf 26 可以任意小的函数 2 在说一个函数是无穷小时 一定要指明自变量的变化趋势 同一 函数 在自变量的不同变化趋势下 极限不一定为零 在常数里面 3 0 是唯一的无穷 小 2 4 22 4 2 无穷大无穷大 函数在的某个去心邻域内有定义 对于任意给定的正数 总存在正数 xf 0 xM 当满足不等式时 函数值满足不等式x 0 0 xx xf Mxf 则称函数为时的无穷大无穷大 xf 0 xx 按照函数极限的定义 当时无穷大的函数极限是不存在的 为了便于叙述 0 xx xf 函数的这一性态 习惯上称作函数的极限是无穷大 记作 lim 0 xf xx 若把定义中改为 称函数极限为正无穷大正无穷大 或Mxf MxfMxf 或 负无穷大 记作 lim lim 00 xfxf xxxx 或 在此 同样注意无穷大不是很大的数 不能和很大的数混为一谈 例如 由于 为时的无穷大 如图 1 19 x x 1 lim 0 x 1 0 x 图 1 19 从图形上看 当时 曲线无限接近于直线 0 x x y 1 0 x 一般地 若 则直线为曲线的铅直渐近线铅直渐近线 lim 0 xf xx 0 xx xfy 在上例中 是曲线的铅直渐近线 0 x x y 1 2 4 32 4 3 无穷小的性质无穷小的性质 27 性质性质 1 充要条件是 其中为时的无穷小 Axf xx lim 0 Axf 0 xx 证明证明 当时 都有Axf xx lim 0 0 0 0 0 xx Axf 令 则 即 说明为时的无穷小 Axf 0lim 0 xx 0 xx 此时 Axf 性质性质 2 在自变量的同一变化过程中 若为无穷大 则为无穷小 若 xf 1 xf 为无穷小 且 则为无穷大 xf0 xf 1 xf 例如 由于 则 0 1 lim 1 x x 1 1 lim 1xx 性质性质 3 有限个无穷小的和是无穷小 性质性质 4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例例 10 求极限 x x x 1 sinlim 0 解解 由于 是有界函数 而 由性质 4 得1 1 sin x 0lim 0 x x 0 1 sinlim 0 x x x 推论推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小 习题习题 1 21 2 1 根据数列的变化趋势 求下列数列的极限 1 2 2 1 1 n a n n n nn n a 2 1 2 3 4 2 sin n nan 1 1 n n an 2 根据数列极限的定义 证明 1 2 0 1 lim 2 n n 3 1 13 1 lim n n n 3 4 1 1 lim 2 n n n 0 sin lim n n n 3 设 求证 aan n limaan n lim 4 设数列有界 求证 n a0lim n n b0lim nn n ba 28 5 根据函数极限的定义 证明 1 2 4 2 4 lim 2 2 x x x 312lim 2 x x 3 4 2 1 2 1 lim 2 2 x x x 0 sin lim x x x 6 求下列函数在指定点处的左 右极限 并判断在改点处极限是否存在 1 在处 2 在处 x x xf 0 x 0 1 0 cos xx xx xf0 x 3 在处 0 1 0 1 sin 2 xx x x x xf0 x 7 指出下列函数在什么情况下是无穷小 什么情况下是无穷大 1 2 1 1 x x xfxxfln 3 4 xxfcot x exf 1 8 求下列函数的极限 1 2 2 1 lim 2 2 xx x x x x 12 lim 3 4 x x x 1 coslim 2 0 x x x arctan lim 9 求函数的图形的渐近线 2 1 1 x xf 10 利用极限存在准则证明 1 2 1 1 1lim n n 1 21 lim 222 nn n n n n n n 3 数列的极限存在 2 1 2 1 n n a a 4 数列 的极限存在 2 1 a n nn a aa 1 2 1 1 29 第第 3 3 节节 极限的运算极限的运算 本节讨论极限的求法 主要内容是极限的四则运算 复合函数的极限运算法则 以及 利用这些法则 求某些特定函数的极限 由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式 下 面仅以为代表讨论 lim 0 xf xx 3 13 1 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 定理定理 1 1 如果 则BxgAxf xxxx lim lim 00 1 BAxgxf xx lim 0 2 BAxgxf xx lim 0 3 若 则0 B lim 0B A xg xf xx 证明证明 只证 BAxgxf xx lim 0 30 由于 则BxgAxf xxxx lim lim 00 Axf Bxg 其中是时的无穷小 于是 和 0 xx BABAxgxf 由于仍然是时的无穷小 则 0 xx BAxgxf xx lim 0 其它情况类似可证 注 注 本定理可推广到有限个函数的情形 例例 1 1 求 53lim 2 2 xx x 解解 5limlimlim35limlim3lim53lim 22 2 222 2 2 2 2 xxxxxxx xxxxxx 155243 例例 2 2 求 2 32 lim 2 1 x xx x 解解 6 2lim 3lim2lim 2lim 32lim 2 32 lim 1 1 2 1 1 2 1 2 1 x xx x xx x xx x xx x x x 注 注 在运用极限的四则运算的商运算时 分母的极限 但有时分母的极限 0 B0 B 这时就不能直接应用商运算了 例例 3 3 求 1 1 lim 1 x x x 解解 由于 分母中极限为 0 故不能用四则运算计算 0 1 lim 1 x x 由于 根据无穷小的性质 知0 2 0 1 lim 1 lim 1 1 lim 1 1 1 x x x x x x x 1 1 lim 1 x x x 例例 4 4 求 1 12 lim 2 2 1 x xx x 解解 由于时 分子 分母的极限都为 0 记作型 分子分母有公因子 可约1 x 0 0 1 x 去公因子 所以1 x 0 2 0 1 1 lim 1 1 1 lim 1 12 lim 1 2 1 2 2 1 x x xx x x xx xxx 31 总结 总结 在求有理函数除法的极限时 lim 0 xQ xP xx 1 当时 应用极限四则运算法则 0 0 xQ lim 0 0 0 xQ xP xQ xP xx 2 当 且时 由无穷小的性质 0 0 xQ0 0 xP lim 0 xQ xP xx 3 当 且时 约去使分子 分母同为零的公因子 再使用0 0 xQ0 0 xP 0 xx 四则运算求极限 例例 5 5 求 752 323 lim 2 2 xx xx x 解解 由于时 分子 分母的极限都为 记作型 用去除分子及分母 即 x 2 x 2 3 75 2 32 3 lim 752 323 lim 2 2 2 2 xx xx xx xx xx 例例 6 6 求 1 2 725 1 lim 2 3 xx x x 13 35 lim 2 xx x x 解解 1 用去除分子及分母 得 3 x 32 3 2 3 725 1 1 lim 725 1 lim xxx x xx x xx 2 用去除分子及分母 求极限得 2 x 0 11 3 35 lim 13 35 lim 2 2 2 xx xx xx x xx 总结 总结 型的函数极限的一般规律是 当 为正整数 则 0 0 a0 0 bnm和 mn mn mn b a bxbxb axaxa m mm n nn x 0 lim 0 0 1 10 1 10 32 例例 7 7 求 1 3 1 1 lim 3 1 xx x 解解 这是型 可以先通分 再计算 1 1 1 2 lim 1 1 2 lim 1 3 1 1 lim 2 1 2 2 1 3 1 xxx xx xxx xx xx xxx 1 1 2 lim 2 1 xx x x 例例 8 8 求 1limxx x 解 这是型无理式 可以先进行有理化 再计算 0 1 1 lim1lim xx xx xx 3 23 2 两个重要极限两个重要极限 3 2 13 2 1 1 sin lim 0 x x x 作单位圆 图 1 20 图 1 20 取圆心角 设 由图 1 20 可知 xAOB 2 0 x 的面积 AOB 的面积的面积扇形AODAOB 即 xxxtan 2 1 2 1 sin 2 1 整理 得 xxxtansin 不等式两边同时除以 取倒数 得xsin 1 sin cos x x x 当取值范围换成区间 不等式符号不改变 x 0 2 当时 有夹逼准则知0 x1coslim 0 x x 33 1 sin lim 0 x x x 注意 注意 在利用求函数的极限时 要注意使用条件 1 sin lim 0 x x x 1 极限是型 2 式中带有三角函数 3 中的变量一致 0 0 1 sin lim 0 都趋向于 0 例例 9 9 求 tan lim 0 x x x 解解 1 11 cos 1 lim sin lim cos 1sin lim tan lim 0000 xx x xx x x x xxxx 例例 1010 求 2sin 3sin lim 0 x x x 解解 2 3 11 2 3 2 2sin 1 lim 3 3sin lim 2 3 2 3 2sin 2 3 3sin lim 2sin 3sin lim 0000 x x x x x x x x x x xxxx 例例 1111 求 cos1 lim 2 0 x x x 解解 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 sin2 lim cos1 lim 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 x x x x x x x x xxxx 3 2 23 2 2 e x x x 1 1lim 考虑 正整数 的情形 记 下面证明是单调有界数列 nx n n n a 1 1 n a 由于 32 1 3 2 1 1 2 1 1 1 1 1 n nnn n nn n n n a n n n nn nnn 1 1 2 1 n n nnnnnn 1 1 2 1 1 1 12 1 1 1 3 11 1 2 1 11 类似地 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 1 11 1 1 1 1 1 nnnn a n n 34 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n nnn 比较和的展开式 除前两项外 的每一项都小于的对应项 且比 n a 1 n a n a 1 n a 1 n a 多了最后的正数项 所以 即是单调递增数列 n a 1 nn aa n a 由于 n n nnnnnn an 1 1 2 1 1 1 12 1 1 1 3 11 1 2 1 11 1 3 1 2 1 11 n 1222 1 1222 1 122 1 12 1 11 3 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11 132 n n 即是有界数列 n a 由极限存在准则知 当时 的极限存在 通常用字母来表示 n n n n a 1 1e 即 e n n n 1 1lim 可以证明 当取实数而趋向 或 时 函数的极限也存在 且等x x x 1 1 于 故当时 e x e x x x 1 1lim 令 当时 上式可变为t x 1 x0 t ett t 1 0 1lim 故极限的另一种形式是e x x x 1 1lim 1lim 1 0 exx x 35 注意 注意 在利用求函数极限时 要注意使用条件 e x x x 1 1lim 1 极限是型 2 和中的变量一致 且括 1e 1 1lim e 1 0 1lim 号内与括号右上角处互为倒数 1 例例 1212 求 2 1lim x x x 解解 2 1lim 2 1lim 2 1lim 2 2 2 2 2 e xxx x x x x x x 例例 1313 求 3 4 lim x x x x 解解 3 1 1lim 3 1 1lim 3 4 lim 3 1 3 x x x x x x xxx x 1 3 1 1 3 1 1lim 11 3 1 3 ee xx x x 例例 1414 求 21lim 1 0 x x x 解解