三角函数基本性质及基本运用

三角函数三角函数 一 三角函数的基本概念 1 角的概念的推广角的概念的推广 1 角的分类 正角 逆转 负角 顺转 零角 不转 2 终边相同角 3600Zkk 3 直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角 2 角的度量角的度量 1 角度制与弧度制的概念 2 换算关系 8157 180 1 180 弧度弧度 3 弧长公式 扇形面积公式 rl 2 2 1 2 1 rlrS 3 任意角的三角函数任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y cottan seccos cscsin 注 三角函数值的符号规律 一正全 二正弦 三双切 四余弦 二 同角三角函数的关系式及诱导公式同角三角函数的关系式及诱导公式 一 一 诱导公式诱导公式 函数 2 2 2 2 3 2 3 sin sin cos tan 与的三角函数关系是 奇变偶不变 符号看象限 如 2 k Zk 等 2 5 sin 5tan 2 7 cos 二 二 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 平方关系 1cossin 22 商式关系 倒数关系 2 2 2 2 tan1 1 cos cos 1 tan1 tan cos sin cot sin cos 1cottan 1seccos 1cscsin 三 三 关于公式的深化1cossin 22 y x 0 P x y r 0 22 yxr 0 y x 全 sin 和csc tan 和cot cos 和sec 2 cossinsin1 cossinsin1 2 cos 2 sinsin1 如 如 4cos4sin4cos4sin8sin1 4cos4sin8sin1 注注 1 诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 角的三角函数 0 90 2 主要用途 a 已知一个角的三角函数值 求此角的其他三角函数值 要注意题设中角的范围 用三角函数的定义求 解会更方便 b 化简同角三角函数式 证明同角的三角恒等式 三 两角和与差的三角函数 一 两角和与差公式 sincoscossinsin sinsincoscoscos tantan1 tantan tan 二 倍角公式 1 公式 cos2 sin2 cossin22sin 2 2cos1 2 2cos1 2222 sin211cos2sincos2cos 2 tan1 tan2 2tan sin cos1 cos1 sin 2 tan sin cossin 22 baba sin cos 2222 ba a ba b 注 1 对公式会 正用 逆用 变形使用 2 掌握 角的演变 规律 3 将公式和其它知识衔接起 来使用 4 倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律 可实现函数式的降幂的变化 2 两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 1 求值 给角求值给角求值 给出非特殊角求式子的值 给出非特殊角求式子的值 仔细观察非特殊角的特点 找出和特殊角之间的关系 利用公式转 化或消除非特殊角 给值求值给值求值 给出一些角得三角函数式的值 求另外一些角得三角函数式的值 给出一些角得三角函数式的值 求另外一些角得三角函数式的值 找出已知角与所求角之间的 某种关系求解 给值求角给值求角 转化为给值求值 由所得函数值结合角的范围求出角 给式求值给式求值 给出一些较复杂的三角式的值 求其他式子的值 给出一些较复杂的三角式的值 求其他式子的值 将已知式或所求式进行化简 再求之 三角函数式常用化简方法 切割化弦 高次化低次 注意点 灵活角的变形和公式的变形 注意点 灵活角的变形和公式的变形 重视角的范围对三角函数值的影响 对角的范围要讨论重视角的范围对三角函数值的影响 对角的范围要讨论 2 化简 化简目标 项数习量少 次数尽量低 尽量不含分母和根号 化简三种基本类型 根式形式的三角函数式化简 多项式形式的三角函数式化简 分式形式的三角函数式化简 化简基本方法 用公式 异角化同角 异名化同名 化切割为弦 特殊值与特殊角的三角函数值互化 3 证明 化繁为简法 左右归一法 变更命题法 条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的 区别与联系 无论是化简还是证明都要注意 1 角度的特点 2 函数名的特点 3 化切为弦是常用手段 4 升降幂 公式的灵活应用 四 三角函数的性质三角函数的性质 y sinxy cosxy tanxy cotx 图象 定义域 x Rx Rx k k Z 2 x k k Z 值域 y 1 1 y 1 1 y Ry R 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在区间 2k 2k 上都 2 2 是增函数 在区间 2k 2 2k 上都是减函数 2 3 在区间 2k 2k 上都 是增函数 在区间 2k 2k 上都是减函数 在每一个开区间 k k 2 2 内都是增函数 在每一个开区间 k k 内 都是减函数 周 期 T 2 T 2 T T 对称轴 2 kx kx 无无 对称 中心 0 k 0 2 k 0 2 k 0 2 k 五 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 1 反三角概念 反三角概念 1 若 sinx a 则 x arcsina 说明 a 0 arcsina 为锐角 a 0 arcsina 0 a0 arccosa 为锐角 a 0 arccosa 900 a0 arctana 为锐角 a 0 arctana 0 a 而 arctan 3 arctan3 2 1 arccos 3 2 2 1 0 60 而 sin arcsin不存在 3 2 反三角关系 反三角关系 1 arcsin x arcsinax arctan x arctanx arcos x arccosx 由此可知 是匠函数 而非奇非偶 xyxyarctan arcsin xyarccos 2 arcsinx arccosx 2 3 时求角时求角 2 0 xx 2 0 x 10 a01 a sinx a 1 a ax ax arcsin arcsin 2 1 ax ax arcsin2 arcsin 2 1 1 cos a ax axaxarccos2 arccos 21 0 a0 a Ra ax tan ax ax arctan arctan 2 1 ax ax arctan2 arctan 2 1 六 三角函数的最值 1 配方法求最值 主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性 转化为二次函数在闭区间上的最值问题 如求函数 的最值 可转化为求函数上的最值问题 2 sins