2014高考数学一轮总复习 14.3 数学归纳法教案 理 新人教A版

1 14 314 3 数学归纳法数学归纳法 典例精析 题型一 用数学归纳法证明恒等式 例 1 是否存在常数 a b c 使等式 12 22 32 n2 n 1 2 22 12 an bn2 c 对于一切 n N 都成立 若存在 求出 a b c 并证明 若不 存在 试说明理由 解析 假设存在 a b c 使 12 22 32 n2 n 1 2 22 12 an bn2 c 对于一切 n N 都成立 当 n 1 时 a b c 1 当 n 2 时 2a 4b c 6 当 n 3 时 3a 9b c 19 解方程组 19 9 3 3 4 1 cba cbb cba 解得 1 2 3 1 c b a 证明如下 当 n 1 时 显然成立 假设 n k k N k 1 时等式成立 即 12 22 32 k2 k 1 2 22 12 k 2k2 1 1 3 则当 n k 1 时 12 22 32 k2 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 k 2k2 1 k 1 2 k2 1 3 k 2k2 3k 1 k 1 2 k 2k 1 k 1 k 1 2 1 3 1 3 k 1 2k2 4k 3 k 1 2 k 1 2 1 1 3 1 3 因此存在 a b 2 c 1 使等式对一切 n N 都成立 1 3 点拨 用数学归纳法证明与正整数 n 有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律 由 n k 到 n k 1 时等式左右各如何增减 发生了怎样的变化 变式训练 1 用数学归纳法证明 当 n N 时 1 1 3 1 3 5 1 2n 1 2n 1 n 2n 1 证明 1 当 n 1 时 左边 右边 1 1 3 1 3 1 2 1 1 1 3 左边 右边 所以等式成立 2 假设当 n k k N 时等式成立 即有 1 1 3 1 3 5 1 2k 1 2k 1 k 2k 1 则当 n k 1 时 2 1 1 3 1 3 5 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 2k 3 k 2k 1 1 2k 1 2k 3 k 2k 3 1 2k 1 2k 3 2k2 3k 1 2k 1 2k 3 k 1 2k 3 k 1 2 k 1 1 所以当 n k 1 时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切 n N 等式都成立 题型二 用数学归纳法证明整除性问题 例 2 已知 f n 2n 7 3n 9 是否存在自然数 m 使得任意的 n N 都有 m 整除 f n 若存在 求出最大的 m 值 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 解析 由 f 1 36 f 2 108 f 3 360 猜想 f n 能被 36 整除 下面用数学归 纳法证明 1 当 n 1 时 结论显然成立 2 假设当 n k k 1 k N 时结论成立 即 f k 2k 7 3k 9 能被 36 整除 则当 n k 1 时 f k 1 2k 9 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由假设知 3 2k 7 3k 9 能被 36 整除 又 3k 1 1 是偶数 故 18 3k 1 1 也能被 36 整除 即 n k 1 时结论也成立 故由 1 2 可知 对任意正整数 n 都有 f n 能被 36 整除 由 f 1 36 知 36 是整除 f n 的最大值 点拨 与正整数 n 有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明 在证明 n k 1 结论 也成立时 要注意 凑形 即凑出归纳假设的形式 以便于充分利用归纳假设的条件 变式训练 2 求证 当 n 为正整数时 f n 32n 2 8n 9 能被 64 整除 证明 方法一 当 n 1 时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 假设当 n k k 1 k N 时结论成立 即 f k 32k 2 8k 9 能被 64 整除 由于 32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即 f k 1 9f k 64 k 1 所以 n k 1 时命题也成立 根据 可知 对任意的 n N 命题都成立 方法二 当 n 1 时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 假设当 n k k 1 k N 时 f k 32k 2 8k 9 能被 64 整除 由归纳假设 设 32k 2 8k 9 64m m 为大于 1 的自然数 将 32k 2 64m 8k 9 代入到 f k 1 中得 f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 所以 n k 1 时命题也成立 根据 可知 对任意的 n N 命题都成立 题型三 数学归纳法在函数 数列 不等式证明中的运用 例 3 2013 山东模拟 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知对任意的 n N 点 n Sn 均在函数 y bx r b 0 且 b 1 b r 均为常数 的图象上 1 求 r 的值 2 当 b 2 时 记 bn 2 log2an 1 n N 求证 对任意的 n N 不等式 b1 1 b1 成立 b2 1 b2 bn 1 bnn 1 解析 1 因为点 n Sn 均在函数 y bx r b 0 且 b 1 b r 均为常数 的图象上 所以 Sn bn r b 0 且 b 1 b r 均为常数 当 n 1 时 a1 S1 b r 当 n 2 时 an Sn Sn 1 bn r bn 1 r b 1 bn 1 又数列 an 为等比数列 故 r 1 且公比为 b 3 2 当 b 2 时 an 2n 1 所以 bn 2 log2an 1 2 lo g22n 1 1 2n n N 所以 bn 1 bn 2n 1 2n 于是要证明的不等式为 对任意的 n N 成立 3 2 5 4 2n 1 2nn 1 下面用数学归纳法证明 当 n 1 时 显然成立 3 22 假设当 n k 时不等式成立 即 3 2 5 4 2k 1 2kk 1 则当 n k 1 时 3 2 5 4 2k 1 2k 2k 3 2k 2k 1 2k 3 2k 2k 1 f 2k 3 2k 2 2 2k 3 2 4 k 1 2 k 1 1 2 4 k 1 4 k 1 2 4 k 1 1 4 k 1 k 1 1 1 4 k 1 k 1 1 即当 n k 1 时不等式成立 所以原不等式对任意 n N 成立 点拨 运用归纳推理得到的结论不一定正确 需进行证明 用数学归纳法证明不等式时 必须要利用归纳假设的条件 并且灵活运用放缩法 基本不等式等数学方法 变式训练 3 设函数 f x ex 1 a R a x 1 若函数 f x 在 x 1 处有极值 且函数 g x f x b 在 0 上有零点 求 b 的 最大值 2 若 f x 在 1 2 上为单调函数 求实数 a 的取值范围 3 在 1 的条件下 数列 an 中 a1 1 an 1 f an f an 求 an 1 an 的最小 值 解析 1 f x ex 1 又函数 f x 在 x 1 处有极值 a x2 所以 f 1 0 即 a 1 经检验符合题意 g x ex 1 当 x 0 1 时 g x 0 g x 为减函数 当 x 1 时 g x 1 x2 0 当 x 1 时 g x 0 g x 为增函数 所以 g x 在 x 1 时取得极小值 g 1 2 b 依题意 g 1 0 所以 b 2 所以 b 的最大值为 2 2 f x ex 1 a x2 当 f x 在 1 2 上单调递增时 ex 1 0 在 1 2 上恒成立 所以 a x2ex 1 a x2 令 h x x2 1 e x 则 h x ex 1 x2 2x 0 在 1 2 上恒成立 即 h x 在 1 2 上单 调递增 所以 h x 在 1 2 上的最小值为 h 1 1 所以 a 1 当 f x 在 1 2 上单调递减时 同理 a x2ex 1 4 h x x2ex 1 在 1 2 上的最大值为 h 2 4e 所以 a 4e 综上实数 a 的取值范围为 a 1 或 a 4e 3 由 1 得 a 1 所以 f x f x 因此 an 1 a1 1 所以 1 x 1 x2 1 an 1 a2 n a2 2 可得 0 a2n 1 1 a2n 2 2 用数学归纳法证明如下 当 n 1 时 a3 a4 结论成立 3 4 28 9 设 n k k N 时结论成立 即 0 a2k 1 1 a2k 2 2 则 n k 1 时 a2k 3 1 1 a2k 2 1 a22k 2 1 2 1 2 所以 0 a2k 3 1 a2k 4 1 1 2 1 a2k 3 1 a22k 3 所以 n k 1 时结论也成立 根据 可得 0 a2n 1 1 a2n 2 2 恒成立 所以 an 1 an a2 a1 2 1 1 即 an 1 an 的最小值为 1 总结提高 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法 它是在归纳的基础上进行的演绎推理 其大前提是皮亚诺公理 即归纳公理 设 M 是正整数集合的子集 且具有如下性质 1 M 若 k M 则 k 1 M 那么必有 M N 成立 数学归纳法证明的两个步