2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版[1]

1 20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 全国卷全国卷 IIII 新课标新课标 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 1 2013 课标全国 文 1 已知集合M x 3 x 1 N 3 2 1 0 1 则M N A 2 1 0 1 B 3 2 1 0 C 2 1 0 D 3 2 1 2 2013 课标全国 文 2 2 1 i A B 2 C D 1 2 22 3 2013 课标全国 文 3 设x y满足约束条件则z 2x 3y的最小值是 10 10 3 xy xy x A 7 B 6 C 5 D 3 4 2013 课标全国 文 4 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知 b 2 则 ABC的面积为 6 B 4 C A B C D 2 3 23 12 32 31 5 2013 课标全国 文 5 设椭圆C a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 P是C上的 22 22 1 xy ab 点 PF2 F1F2 PF1F2 30 则C的离心率为 A B C D 3 6 1 3 1 2 3 3 6 2013 课标全国 文 6 已知 sin 2 则 2 3 2 cos 4 A B C D 1 6 1 3 1 2 2 3 7 2013 课标全国 文 7 执行下面的程序框图 如果输入的N 4 那么输出的 S A B 111 1 234 111 1 23 24 3 2 C D 1111 1 2345 1111 1 23 24 3 25 4 3 2 8 2013 课标全国 文 8 设a log32 b log52 c log23 则 A a c b B b c a C c b a D c a b 9 2013 课标全国 文 9 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该四面体三视图中的正视图时 以zOx平面为投影面 则得到的正视图 可以为 10 2013 课标全国 文 10 设抛物线C y2 4x的焦点为F 直线l过F且与C交于A B两点 若 2 AF 3 BF 则l的方程为 A y x 1 或 y x 1 B y 或 y 3 1 3 x 3 1 3 x C y 或 y D y 或 y 3 1 3 x 3 1 3 x 2 1 2 x 2 1 2 x 11 2013 课标全国 文 11 已知函数f x x3 ax2 bx c 下列结论中错误的是 A x0 R f x0 0 B 函数 y f x 的图像是中心对称图形 C 若 x0 是 f x 的极小值点 则 f x 在区间 x0 单调递减 D 若 x0 是 f x 的极值点 则 f x0 0 12 2013 课标全国 文 12 若存在正数x使 2x x a 1 成立 则a的取值范围是 A B 2 C 0 D 1 第第 卷卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 2013 课标全国 文 13 从 1 2 3 4 5 中任意取出两个不同的数 其和为 5 的概率是 14 2013 课标全国 文 14 已知正方形ABCD的边长为 2 E为CD的中点 则 AE BD 15 2013 课标全国 文 15 已知正四棱锥O ABCD的体积为 底面边长为 则以O为 3 2 2 3 球心 OA为半径的球的表面积为 16 2013 课标全国 文 16 函数y cos 2x 的图像向右平移个单位后 2 与函数y 的图像重合 则 sin 2 3 x 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 2013 课标全国 文 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且 a1 a11 a13成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 18 2013 课标全国 文 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别是AB BB1 的中点 3 19 2013 课标全国 文 19 本小题满分 12 分 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出 1 t 该产品获利润 500 元 未售出的产品 每 1 t 亏损 300 元 根据历史资料 得到销售季度内市场需 求量的频率分布直方图 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品 以X 单位 t 100 X 150 表示下一个销售季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售季度内经销该农产品 的利润 1 将T表示为X的函数 2 根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率 20 2013 课标全国 文 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系xOy中 已知圆P在x轴上截得线 段长为在y轴上截得线段长为 2 22 3 1 求圆心P的轨迹方程 2 若P点到直线y x的距离为 求圆P的方程 2 2 21 2013 课标全国 文 21 本小题满分 12 分 已知函数f x x2e x 1 求f x 的极小值和极大值 2 当曲线y f x 的切线l的斜率为负数时 求l在x轴上截距的取值范围 4 22 2013 课标全国 文 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 CD为 ABC外接圆的切线 AB的延长线交直线CD于点D E F分别为弦AB与弦AC上的点 且 BC AE DC AF B E F C四点共圆 23 2013 课标全国 文 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知动点P Q都在曲线C t为参数 上 对应参数分别为t 与t 2 0 2 2cos 2sin xt yt M为PQ的中点 1 求M的轨迹的参数方程 2 将M到坐标原点的距离d表示为 的函数 并判断M的轨迹是否过坐标原点 24 2013 课标全国 文 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ca 1 3 2 1 222 abc bca 5 20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 全国卷全国卷 IIII 新课标新课标 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 1 答案 答案 C 解析 解析 由题意可得 M N 2 1 0 故选 C 2 答案 答案 C 解析 解析 1 i 1 i 2 1 i 2 1 i 2 3 答案 答案 B 解析 解析 如图所示 约束条件所表示的区域为图中的阴影部分 而目标函数可化为 先画出 2 33 z yx l0 y 当z最小时 直线在y轴上的截距最大 故最优点为图中的点C 由可得 2 3 x 3 10 x xy C 3 4 代入目标函数得 zmin 2 3 3 4 6 4 答案 答案 B 解析 解析 A B C 7 6412 由正弦定理得 sinsin ab AB 则 7 2sin sin 12 62 sin sin 6 bA a B S ABC 112 sin 2 62 31 222 abC 5 答案 答案 D 解析 解析 如图所示 在 Rt PF1F2中 F1F2 2c 设 PF2 x 则 PF1 2x 由 tan 30 得 2 12 3 23 PFx FFc 2 3 3 xc 而由椭圆定义得 PF1 PF2 2a 3x 3 3 2 axc 3 33 cc e ac 6 答案 答案 A 解析 解析 由半角公式可得 2 cos 4 6 2 1 cos 2 1 1 sin212 3 2226 7 答案 答案 B 解析 解析 由程序框图依次可得 输入N 4 T 1 S 1 k 2 k 3 1 2 T 1 1 2 S S k 4 1 3 2 T 11 1 23 2 k 5 1 4 3 2 T 111 1 23 24 3 2 S 输出 111 1 23 24 3 2 S 8 答案 答案 D 解析 解析 log25 log23 1 log23 1 0 即 2 1 log 3 2 1 log 5 log23 1 log32 log52 0 c a b 9 答案 答案 A 解析 解析 如图所示 该四面体在空间直角坐标系O xyz的图像为下图 则它在平面zOx的投影即正视图为 故选 A 10 答案 答案 C 解析 解析 由题意可得抛物线焦点F 1 0 准线方程为x 1 当直线l的斜率大于 0 时 如图所示 过A B两点分别向准线x 1 作垂线 垂足分别为M N 则由 抛物线定义可得 AM AF BN BF 设 AM AF 3t t 0 BN BF t BK x 而 GF 2 在 AMK中 由 得 NBBK AMAK 34 tx txt 解得x 2t 则 cos NBK 1 2 NBt BKx NBK 60 则 GFK 60 即直线AB的倾斜角为 60 斜率k tan 60 故直线方程为y 33 1 x 当直线l的斜率小于 0 时 如图所示 同理可得直线方程为y 故选 C 3 1 x 7 11 答案 答案 C 解析 解析 若x0是f x 的极小值点 则y f x 的图像大致如下图所示 则在 x0 上不单调 故 C 不 正确 12 答案 答案 D 解析 解析 由题意可得 x 0 1 2 x ax 令f x 该函数在 0 上为增函数 可知f x 的值域为 1 2 x x 1 故a 1 时 存在正数x使原不等式成立 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 答案 答案 0 2 解析 解析 该事件基本事件空间 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共有 10 个 记A 其和为 5 1 4 2 3 有 2 个 P A 0 2 2 10 14 答案 答案 2 解析 解析 以为基底 则 AB AD 0AB AD 而 1 2 AEABAD BDADAB 1 2 AE BDABADADAB 22 22 11 222 22 ABAD 15 答案 答案 24 解析 解析 如图所示 在正四棱锥O ABCD中 VO ABCD S正方形 1 3 ABCD OO1 OO1 1 3 2 3 3 2 2 OO1 AO1 3 2 2 6 2 8 在 Rt OO1A中 OA 即 22 11 OOAO 22 3 26 6 22 6R S球 4 R2 24 16 答案 答案 5 6 解析 解析 y cos 2x 向右平移个单位得 cos 2x 2 cos 2 2 yx 而它与函数的图像重合 令 sin 2 sin 2 22 xx sin 2 3 yx 2x 2x 2k k Z Z 2 3 得 k Z Z 5 2 6 k 又 5 6 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 设 an 的公差为d 由题意 a1a13 2 11 a 即 a1 10d 2 a1 a1 12d 于是d 2a1 25d 0 又a1 25 所以d 0 舍去 d 2 故an 2n 27 2 令Sn a1 a4 a7 a3n 2 由 1 知a3n 2 6n 31 故 a3n 2 是首项为 25 公差为 6 的等差数列 从而Sn a1 a3n 2 6n 56 3n2 28n 2 n 2 n 18 1 证明 BC1 平面A1CD 2 设AA1 AC CB 2 AB 求三棱锥C A1DE的体积 2 2 解 1 连结AC1交A1C于点F 则F为AC1中点 又D是AB中点 连结DF 则BC1 DF 因为DF 平面A1CD BC1平面A1CD 所以BC1 平面A1CD 2 因为ABC A1B1C1是直三棱柱 所以AA1 CD 由已知AC CB D为AB的中点 所以CD AB 又AA1 AB A 于是CD 平面ABB1A1 由AA1 AC CB 2 得 ACB 90 A1E 3 2 2AB 2CD 1 6AD 3DE 故A1D2 DE2 A1E2 即DE A1D 所以VC A1DE 1 11 632 32 19 解 1 当X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39 000 当X 130 150 时 T 500 130 65 000 所以 80039000 100130 65000 130150 XX T X 9 2 由 1 知利润T不少于 57 000 元当且仅当 120 X 150 由直方图知需求量X 120 150 的频率为 0 7 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 000 元的概率 的估计值为 0 7 20 解 1 设P x y 圆P的半径为r 由题设y2 2 r2 x2 3 r2 从而y2 2 x2 3 故P点的轨迹方程为y2 x2 1 2 设P x0 y0 由已知得 00 2 22 xy 又P点在双曲线y2 x2 1 上 从而得 00 22 10 1 1 xy yx 由得 00 22 00 1 1 xy yx 0 0 0 1 x y 此时 圆P的半径r 3 由得 00 22 00 1 1 xy yx 0 0 0 1 x y 此时 圆P的半径 3r 故圆P的方程为x2 y 1 2 3 或x2 y 1 2 3 21 解 1 f x 的定义域为 f x e xx x 2 当x 0 或x 2 时 f x 0 当x 0 2 时 f x 0 所以f x 在 0 2 单调递减 在 0 2 单调递增 故当x 0 时 f x 取得极小值 极小值为f 0 0 当x 2 时 f x 取得极大值 极大值为f 2 4e 2 2 设切点为 t f t 则l的方程为y f t x t f t 所以l在x轴上的截距为m t 2 23 22 f tt ttt fttt 由已知和 得t 0 2 令h x x 0 则当x 0 时 h x 的取值范围为 2 x x 2 2 当x 2 时 h x 的取值范围是 3 所以当t 0 2 时 m t 的取值范围是 0 2 23 综上 l在x轴上的截距的取值范围是 0 2 23 请从下面所给的 22 23 24 三题中选定一题作答 并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框 涂黑 按所涂题号进行评分 不涂 多涂