第四章-矩阵的特征值与特征向量问题讲解.ppt

1 第四章 矩阵的特征值与特征向量问题 2 第三章矩阵的特征值与特征向量 4 1幂法与反幂法4 2Jacobi方法 重点 4 3多项式方法求特征值问题 自学 4 4QR算法 重点 Givens矩阵 Householder矩阵 Gram Schmidt正交化方法 3 4 概述 5 注记 6 重数 7 特征值和特征向量的性质 定理 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值 证明 即A与AT有相同的特征多项式 所以它们的特征值相同 8 证明 定理 若是矩阵的特征值 是的属于的特征向量 则 9 特征值和特征向量的性质 10 证明 则 定理 11 把上列各式合写成矩阵形式 得 12 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的 一个特征值具有的特征向量不唯一 一个特征向量不能属于不同的特征值 注记 13 注记 4 若 是矩阵A的r重特征值 对应 有s个线性无关的特征向量 则1 s r 若A为实对称矩阵 则对应特征值 恰有r个线性无关的特征向量 5 实对称矩阵的特征值是实数 属于不同特征值的特征向量正交 14 注记 asdf 称tr A 为矩阵A的迹 15 相似矩阵 16 Jordan分解定理 17 Schur分解定理 18 特征值估计 粗略估计有 A A 可将复平面上的特征值一个个用圆盘围起 盖氏圆设A aij n n 称由不等式所确定的复区域为A的第i个盖氏圆 记为Gi i 1 2 n 19 Gerschgorin圆盘定理 定理若 为A的特征值 则证明 设Ax x x 0 若k使得因为 20 例估计方阵A特征值的范围 解 G1 z z 1 0 6 G2 z z 3 0 8 G3 z z 1 1 8 G4 z z 4 0 6 注 定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆上 但未说明每个圆盘内都有一个特征值 21 称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分 定理若由A的k个盖氏圆组成的连通部分 含且仅含A的k个特征值 盖氏圆的连通部分 22 定理若由A的k个盖氏圆组成的连通部分 含且仅含A的k个特征值 证明 令D diag a11 a22 ann M A D 记则显然有A 1 A A 0 D 易知A 的特征多项式的系数是 的多项式 从而A 的特征值 1 2 n 为 的连续函数 23 A 的盖氏圆为 因为A 0 D的n个特征值a11 a22 ann 恰为A的盖氏圆圆心 当 由0增大到1时 i 画出一条以 i 0 aii为始点 i 1 i为终点的连续曲线 且始终不会越过Gi 24 不失一般性 设A开头的k个圆盘是连通的 其并集为S 它与后n k个圆盘严格分离 显然 A 的前k个盖氏圆盘与后n k个圆盘严格分离 当 0时 A 0 D的前k个特征值刚好落在前k个圆盘G1 Gk中 而另n k个特征值则在区域S之外 从0变到1时 与始终分离 严格 连续曲线始终在S中 所以S中有且仅有A的k个特征值 25 注 1 每个孤立圆中恰有一个特征值 2 前例中G2 G4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分 故它们各有一个特征值 而G1 G3构成的连通部分应含有两个特征值 3 因为前例中A为实方阵 所以若 为A的特征值 则也是A的特征值 所以G2 G4中各有一个实特征值 26 幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量的一种迭代法 4 1 1幂法设An有n个线性无关的特征向量v1 v2 vn 对应的特征值 1 2 n 满足 1 2 n 4 1 1 幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量的一种迭代法 4 1 1幂法设An有n个线性无关的特征向量v1 v2 vn 对应的特征值 1 2 n 满足 1 2 n 4 1 1 4 1幂法与反幂法 27 因为 v1 v2 vn 为Cn的一组基 故 任给x 0 0 所以有 4 1 4 1 基本思想 28 若a1 0 则因知 当k充分大时A k x 0 1ka1v1 cv1 属 1的特征向量 另一方面 记max x xi 其中 xi x 则当k充分大时 1 基本思想 29 注 若a1 0 则因舍入误差的影响 会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0 迭代下去可求得 1及对应特征向量的近似值 2 规范化在实际计算中 若 1 1则 1ka1 若 1 1则 1ka1 0都可能造成溢出停机 须采用 规范化 的方法 k 0 1 2 4 1 9 30 规范化 k 0 1 2 4 1 9 定理任给初始向量x 0 0 有 4 1 10 31 证明 32 注 若A的特征值不满足条件 4 1 1 幂法收敛性的分析较复杂 若 1 2 r 且 1 r 1 n 则定理结论仍成立 此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于 1的不同特征向量 证明 33 例 求矩阵A的按模最大的特征值 解取x 0 1 0 T 计算x k Ax k 1 结果如下 可取 0 41263 x1 0 017451 0 014190 T 34 例试用幂法求矩阵的矩阵的特征值 35 36 37 由矩阵理论知 若 为A的特征值 则 p为A pI的特征值 且特征向量相同 若 1 p为A pI的最大模特征值 且 k p是A pI的次最大模特征值 则对A pI计算 1 p及对应的特征向量比对A计算收敛得快 此即为原点平移法 计算 1 p及特征向量的迭代公式特征向量 特征值 max x k 1 p p max x k 1 4 1 2原点平移法 38 当矩阵特征值全为实数时 且 1 2 n 1 n计算 1时可令 p 2 n 2计算 n时可令 p 1 n 1 2 n 1 n 1 2 0 2 n 2 3 39 最大特征值是互为相反的实根 40 41 42 43 44 45 用A 1代替A作幂法 即反幂法 可用于求最小模特征值及相应的特征向量 若A可逆 1 2 n 为其特征值 则为A 1的最大模特征值 迭代公式 x k 1 A 1x k k 0 1 2 但A 1不易求 通常可解方程组Ax k 1 x k 来求x k 1 即有 4 1 14 4 1 3反幂法 46 当k 时有注 为解上式中的方程组 对作LU分解A LU则有 47 反幂法结合原点平移法若已知为 j的近似值 则的特征值是而显然非常大 最大 比值很小迭代公式 求任一特征值及相应特征向量 48 迭代公式 当k 时有注 若有LU分解 则迭代公式 49 例求矩阵A最接近于1 9的特征值和相应的特征向量 取 作迭代 结果如表 50 51 P为n阶可逆阵 则A与P 1AP相似 相似阵有相同的特征值 若A对称 则存在正交阵Q QTQ I 使得构造一系列特殊形式的正交阵Q1 Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加 非对角元变小 当非对角元已经小得无足轻重时 可以近似认为对角元就是A的所有特征值 Jacobi方法就是这样一类方法 4 2Jacobi方法 对称阵 52 Givens旋转变换 为正交矩阵 53 记 则 变换的目的是为了减少非对角元的分量 则 54 记1 2 3 4 57 58 取p q使 则 定理 若A对称 则 Jacobi迭代法 59 解记A 0 A 取p 1 q 2 apq 0 a12 0 2 于是有 从而有 例 用Jacobi方法计算对称矩阵的全部特征值 60 所以 再取p 2 q 3 apq 1 a23 1 2 020190 类似地可得 61 62 从而A的特征值可取为 1 2 125825 2 8 388761 3 4 485401 63 为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间 对经典的Jacobi方法可作进一步改进 1 循环Jacobi方法 按 1 2 1 3 1 n 2 3 2 4 2 n n 1 n 的顺序 对每个 p q 的非零元素apq作Jacobi变换 使其零化 逐次重复扫描下去 直至 A 为止 2 过关Jacobi方法 取单调下降收敛于零的正数序列 k 先以 1为关卡值 依照1中顺序 将绝对值超过 1的非对角元素零化 待所有非对角元素绝对值均不超过 1时 再换下一个关卡值 2 直到关卡值小于给定的精度 64 4 4QR算法 QR算法是目前求一般矩阵全部特征值和特征向量行之有效的一种方法 它不仅适合于对称矩阵 也适合于非对称矩阵 QR算法最早在1961年由J G Francis提出的 后来经一系列数学家进行深入讨论并作出了做有成效的改进与发展 65 QR算法 66 设 A1 Q1R1 QR分解 令A2 R1Q1 分解A2 Q2R2 令A3 R2Q2 分解A3 R3Q3 即k 1 2 QR算法步骤 67 1 所有Ak都相似 它们具有相同的特征值 Ak A Ak 1 RkQk Qk 1Ak Qk Rk Qk 1Ak Q1 Qk 1A Q1 Qk 记Gk Q1 Qk正交 故有Ak A 且A1Gk GkAk 1A Gk 1AkGk 1 12 Ak GkHk Q1 Qk Rk R1 GkHk Q1 Qk Rk R1 Gk 1QkRkHk 1 Gk 1AkHk 1 Gk 1AkGk 1 1Gk 1Hk 1 A1Gk 1Hk 1 A1k Ak Ak的性质 68 定义 1 矩阵列 Ak 当k 时 若其对角元均收敛 且严格下三角部分元素收敛到0 则称 Ak 本质收敛于上三角阵 2 矩阵列 Ak 当k 时 若其对角子块收敛到1阶或2阶的方阵 其下部收敛到0 则称 Ak 本质收敛于块上三角阵 注释 从A1 A出发用正交相似变换得序列 Ak 使当k 时 Ak本质收敛到块上三角阵 QR算法的收敛性 69 定理设A的特征值满足条件 1 2 n 0vi为 i对应的特征向量 i 1 2 n 记X v1 v2 vn 即X 1AX D diag 1 2 n 若有三角分解X 1 LU则QR算法得到的序列 Ak 本质收敛于上三角阵 其主对角元素均为A的特征值 注意 若A不满足定理条件 Ak 不一定本质收敛于上三角矩阵 QR算法的收敛性 70 例 用QR算法计算特征值 71 72 73 74 Householder变换 75 几何意义 令x v kw v span w k R由wTv 0和wTw 1可得 Hx I 2wwT v kw v kw 2wwTv 2kwwTw v kw且x y 2kw x S kw kw v y v kw w 76 Househo