七年级数学等腰三角形华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 七年级数学七年级数学等腰三角形等腰三角形华东师大版华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 等腰三角形 二 知识内容 1 学习目标 1 了解等腰三角形的概念 探索并掌握等腰三角形的特征 2 掌握一个三角形是等腰三角形的条件 掌握等边三角形的特征及识别方法 3 能够利用上述结论进行分析与说理 进行初步的逻辑思维训练 形成一定的推理 能力 体验数学证明的必要性 4 培养计算能力及综合解题能力 并结合知识在现实生活中的应用 增强应用意识 2 基本知识 1 等腰三角形的概念 两条边相等的三角形叫做等腰三角形 两条相等的边叫做腰 另一边叫做底 两腰夹角叫做顶角 腰和底的夹角叫做底角 三条边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形 但是反之不 成立 2 等腰三角形的特征 a 等腰三角形是轴对称图形 有一条或三条对称轴 是底边上高 中线 顶角的平分 线所在的直线 b 等腰三角形的两个底角相等 简称为 等边对等角 c 底边上的高 中线 顶角的平分线互相重合 简称 三线合一 d 等腰三角形两腰上的中线 高分别相等 e 等腰三角形两底角平分线相等 f 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 g 等腰三角形底边与腰上的高的夹角等于顶角的一半 这两条高的夹角与顶角互补 如图 h 等边三角形的每一条边相等 每个内角都相等 并且每一个内角都是等于 60 3 等腰三角形的识别 a 根据等腰三角形的定义 可以识别等腰三角形 b 如果一个三角形中有两个角相等 那么它是等腰三角形 简称 等角对等边 c 三边都相等的三角形是等边三角形 d 三个角都是 60 的三角形是等边三角形 e 两个角是 60 的三角形也是等边三角形 f 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 典型例题典型例题 例 1 等腰三角形的两边长为 5cm 10cm 求这个等腰三角形的周长 分析 分析 当我们遇到题目条件中没有明确告诉我们哪个是 腰 哪个是 底边 时 往 往要进行分类讨论 解 解 当 5 为腰长时 则另一腰长也为 5cm 用心 爱心 专心 两边之和不大于第三边 腰长为 5cm 不成立 当 10 为腰长时 则另一腰长也为 10cm 此时三边长分别为 10 10 5 是可以构成三角形的 等腰三角形的周长为 例 2 已知等腰三角形的一个角为 40 求其余两个角的度数 分析 分析 本题中的条件也没有明确告诉我们 40 是顶角还是底角 因此要进行分类讨论 解 解 当 40 为顶角时 则底角为 当 40 为底角时 则另一个底角也为 40 顶角为 答 答 另外两个角度数分别为 70 70 或 40 100 例 3 已知 AD 是等腰三角形 ABC 一腰上的高 且 DAB 60 求 ABC 的三个内角 度数 分析 分析 1 此题没有说明是哪类型的三角形 2 也不知是 B 还是 C 为顶点 因此 此题要分类讨论解答 解 解 1 若 AC BC 如下图 AD BC DAB 60 则 ABC 30 CAB 30 ACB 120 2 若 AB BC 如下图 AD BC DAB 60 DBA 30 BAC C ABC 150 3 若 AB BC 如下图 AD BC DAB 60 B 30 BAC C 4 若 AC BC 如下图 AD BC DAB 60 ABD 30 BCA ABD BCA 30 用心 爱心 专心 DAB BCA 这是不可能的 舍去 三角形 ABC 的三个内角度数分别为 120 30 30 或 30 75 75 或 150 15 15 例 4 如图所示 在 ABC 中 AB AC BD BC AD DE EB 求 A 的度数 分析 分析 从已知条件可知 图中 ABC BCD DAE EBD 都是等腰三角形 欲 求 A 的度数 可利用等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和等于 180 的性质来求 解法解法 1 AB AC BD BC AD DE EB C ABC C BDC A AED EBD EDB 在 ABC 中 BDC 是 ABD 的外角 AED 是 BDE 的外角 4 A 180 即 A 45 解法解法 2 设 A x 依题意有 根据三角形内角和为 180 即 解得 A 45 说明 说明 利用方程思想的解法较简单 通过设未知数利用等腰三角形的性质 找出某个 三角形的各个内角与未知数间的关系 再利用 三角形内角和等于 180 列方程来解 例 5 如图所示 AD 是 ABC 的中线 ADC 60 把 ADC 沿直线 AD 折过来 点 C 落在 C 的位置 若 BC 4 求 BC 的长 分析 分析 由轴对称的定义知 ADC 与 ADC 关于直线 AD 成轴对称 C 和 C 是对称 点 因而 DC DC ADC ADC 60 又 BD DC BDC 是一个平角 则得 得 BDC 是正三角形 从而可求出 BC 解 解 依题意 有 AD 为中线 BC 4 BC D 为等边三角形 用心 爱心 专心 例 6 已知 如图所示 AB AC 点 D 是 BC 上一点 且 BD BE CD CF 求证 分析 分析 在等腰三角形 ABC 中 有 要证明 则只需证明 B EDF 即可 证明 证明 BD BE 已知 例 7 如图所示 已知 ABC 中 AB AC BD AC 于 D 求证 BAC 2 DBC 分析 分析 在 BCD 中 BDC 90 DBC 与 C 互余 DBC 90 C 在 ABC 中 A 180 C ABC C ABC A 180 2 C 刚好 180 2 C 是 90 C 的 2 倍 解法解法 1 AB AC ABC C 在 ABC 中 BD AC BDC 90 即 BAC 2 DBC 还可以添加辅助线来解 解法解法 2 过 A 作 A 的平分线 AE 交 BC 于 E AB AC AE 是高线 即 AE BC 2 C 90 BD AC DBC C 90 2 DBC 即 BAC 2 DBC 例 8 如图所示 ABC 中 BD 平分 B AE BD 于 E EF BC 交 AB 于 F 求证 AF BF 分析 分析 由平行线和角平分线可得 1 2 3 因此得 BF EF 要证 BF AF 则需要 AF EF 在 AEB 中 1 5 90 3 4 90 而 1 3 因此 4 5 即 AF EF 由此可证 用心 爱心 专心 证明 证明 BD 平分 ABC 1 2 EF BC 2 3 两直线平行 内错角相等 1 3 BF EF 等角对等边 AE BD 1 5 3 4 90 4 5 AF EF 等角对等边 AF BF 例 9 如图所示 在 ABC 中 ABC 的平分线与 ACB 的外角平分线交于 D 过 D 作 DE BC 交 AC 于 F 交 AB 于 E 求证 分析 分析 EF BE CF 这三条线段不在一条直线 要证是不容易 因此我们可以考虑 EF BE CF 是否可以转化到一条线段上来 由角平分线与平行线可得 1 2 3 由 此可得到 BE ED DCG DCF FDC 由此可得到 CF FD 都转化到 ED 这条线 段上来 就可以得出结论 证明 证明 DE BC 1 3 DCG EDC BD 平分 ABC CD 平分 ACG 1 2 ACD DCG 2 3 EDC ACD BE ED FD FC 等角对等边 说明 说明 两条平行线与角平分线相组合而成的图形 一般都会有等腰三角形存在 例 10 在 ABC 中 AB AC 若过点 B 的一条直线 将 ABC 分成两个等腰三角形 求此 ABC 各内角的度数 分析 分析 如图所示 BD 所在直线分成两个等腰三角形有两种情况 第一种情况 ADB 中 AD BD BCD 中 CD BC 第二种情况 ADB 中 AD BD BCD 中 BC BD 解 解 在 ABC 中 设 BAC x ABC ACB y 1 依题意有 解得 2 依题意有 用心 爱心 专心 解得 x 36 y 72 若本题中 不限制从 B 点作直线分割 那还有从顶点 A 进行分割还可以产生两种结论 是 108 36 36 90 45 45 同学们可以加以研究一下 模拟试题模拟试题 答题时间 90 分钟 一 填空题 1 如果等腰三角形的两边长分别是 4 和 6 那么该等腰三角形的周长为 2 等腰三角形的一个内角是 50 那么它的其他的两个内角为 3 已知 ABC 中 A 36 AB AC BD 平分 ABC 交 AC 于 D 则图中共有 个等腰三角形 4 底角等于顶角的一半的等腰三角形一定是 三角形 5 ABC 中 D 是 BC 边上一点 如果 AD DB AB AC CD 则 BAC 6 在等边三角形中 两条中线相交所成的钝角的度数是 7 在等腰直角 ABC 中 斜边 BC 10cm 则 BC 边上的高 AD 8 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于 G 已知 AB 10 GBC 的周长为 15 那么底边 BC 9 如图 ABC 中 B C FD BC DE AB AFD 158 则 EDF 10 已知 如图 BO 平分 CBA CO 平分 ACB MN BC 且过点 O 若 AB 12 AC 14 则 AMN 的周长 11 如图 A 15 AB BC CD DE EF 则 FEM 二 选择题 1 在 ABC 中 AB AC BD 为 ABC 的平分线 BDC 75 那么 A A 10 B 20 C 30 D 40 2 如图 在 ABC 中 AB AC BAD 30 且 AE AD 则 EDC A 7 5 B 10 C 12 5 D 15 3 若一个三角形一条边上的中点到其他两边的距离相等 那么这个三角形一定是 A 等边三角形B 等腰三角形 C 不等边三角形D 不等腰的钝角三角形 4 下列说法中不正确的是 A 等腰三角形的底角是锐角 B 等腰三角形的角平分线 中线和高是同一条线段 C 等腰三角形两腰上的高相等 D 等腰三角形两腰上的中线相等 5 等腰三角形的周长为 25cm 一边长为 11cm 则该三角形的腰长为 用心 爱心 专心 A 7cm 或 11cmB 7cmC 14cmD 11cm 6 等腰三角形的一个角是 50 它的一腰上的高与底边的夹角是 A 25 B 40 C 25 或 40 D 不能确定 7 如图 在 ABC 中 AB AC AD BC BAD 40 DE AC 则 ADE 等于 A 50 B 40 C 30 D 60 8 等腰三角形中 已知两底角和等于顶角的两倍 则这个三角形是 A 直角三角形B 等边三角形 C 钝角三角形D 不能确定 9 等腰三角形一腰的高与底边所成的角等于 A 顶角B 顶角的一半 C 顶角的 2 倍D 底角一半 10 如图在 ABC 中 AB AC BD CE 分别为 ABC 的角平分线 BD CE 相交于 O 则图中等腰三角形的个数有 A 5 个B 6 个C 7 个D 8 个 三 解答题 1 如图 ACB 90 D E 在 AB 上 AD AC BE BC 求 DCE 的度数 2 已知 如图 ABC 中 AB AC 点 E 在 CA 的延长线上 且 AEF AFE 试 问直线 EF 和 BC 有何种位置关系 为什么 3 如图 上午 8 时 某船从 A 处出发以 15 海里 小时的速度向正北航行 10 时到达 B 处 从 A B 望灯塔 C 测得 NAC 42 NBC 84 求从 B 处到灯塔 C 的距离 4 如图 已知 ABC 中 1 2 AB AC BC ED EB 求证 CE CD 试题答案试题答案 一 填空题 1 16 或 142 50 80 或 65 65 3 34 直角5 108 6 120 7 5cm8 5 9 68 10 2611 75 二 选择题 1 D2