信号与系统奥本海默第二版第章ppt课件.ppt

信号与系统 SignalsandSystems 第10章Z 变换 TheZ Transform 本章主要内容 1 双边Z变换及其收敛域ROC 2 ROC的特征 各类信号的ROC 零极点图 3 Z反变换 利用部分分式展开进行反变换 5 常用信号的Z变换 Z变换的性质 6 用Z变换表征LTI系统 系统函数 LTI系统的Z变换分析法 系统的级联与并联型结构 4 由零极点图分析系统的特性 7 单边Z变换 增量线性系统的分析 10 0引言 Introduction 由离散时间Fourier变换到z变换 x k 2ku k 的离散时间Fourier变换 DTFT 不存在 将x k 乘以衰减因子r k 若 z 2 推广到一般情况 定义 z反变换 C为X z 的收敛域 ROC 中的一闭合曲线 双边z变换 物理意义 离散信号可分解为不同频率复指数zk的线性组合 正变换 X z Z x k 反变换 x k Z 1 X z 或 符号表示 10 1双边Z变换 当时 即为离散时间傅立叶变换 这表明 DTFT就是在单位圆上进行的Z变换 其中是一个复数 一 双边Z变换的定义 Thez Transform 可见 对做Z变换就等于对做DTFT 因此 Z变换是对DTFT的推广 二 Z变换的收敛域 ROC Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题 1 并非任何信号的Z变换都存在 2 并非Z平面上的任何复数都能使收敛 Z平面上那些能使收敛的点的集合 就构成了的收敛域 ROC X z 存在或级数收敛的充分条件是 例1 时收敛 当时 ROC包括了单位圆 此时 的DTFT存在 显然有 例2 例3 ROC 例6 1和例6 3的结论是应该熟记的 在以后的学习将经常用到 例4 一般情况下 的ROC是Z平面上一个以原点为中心的圆环 结论 1 Z变换存在着收敛问题 不是任何信号都存在Z变换 也不是任何复数Z都能使收敛 2 仅仅由的表达式不能唯一地确定一个信号 只有连同相应的ROC一道 才能与信号建立一一对应的关系 3 Z变换的ROC 一般是Z平面上以原点为中心的环形区域 且ROC内不包含任何极点 4 如果 则其ROC是各个的ROC的公共部分 若没有公共区域则表明的Z变换不存在 5 当是有理函数时 其ROC的边界总是由的极点所在的圆周界定的 6 若的ROC包括单位圆 则有 三 的几何表示 零极点图 如果是有理函数 将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到 由其全部的零 极点即可确定出 最多相差一个常数因子 如果在零极点图上同时标出ROC 则由该零极点图可以唯一地确定一个信号 因此 若在Z平面上表示出的全部零 极点 即构成的几何表示 零极点图 零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特性 具有重要的用途 1 的ROC是Z平面上以原点为中心的环形区域 10 2Z变换的ROC TheRegionofConvergenceforthez Transform ROC的特征 3 有限长序列的ROC是整个有限Z平面 可能不包括 或 2 在ROC内 无极点 4 右边序列的ROC是某个圆的外部 但可能不包括 那么的全部有限值都在这个ROC内 5 左边序列的ROC是某个圆的内部 但可能不包括 那么满足的全部值都一定在这个ROC内 6 双边序列的Z变换如果存在 则ROC必是一个环形区域 7 如果x n 的变换X z 是有理的 而且若是x n 右边序列 那么ROC就位于平面内最外层极点的外边 也就是半径等于极点中最大模值的圆的外边 而且若x n 是因果序列 即为x n 等于0的右边序列 那么也包括z 8 如果x n 的变换X z 是有理的 而且若是x n 左边序列 那么ROC就位于平面内最里层的非零点的里边 也就是半径等于X z 中除去z 0的极点中最小模值的圆的里边 并且向圆内延伸到可能包括z 0 特别是若是反因果序列 即x n 为等于0的左边序列 ROC那么也包括z 0 零点 在处 零极点抵消 使有限Z平面内无极点 例2 在时 两部分的收敛域无公共部分 表明此时不存在 时 ROC为 例3 在有限Z平面上极点总数与零点总数相同 若其ROC为 ROC是否包括 是是否反因果的标志 ROC是否包括 是是否因果的标志 10 3Z 反变换 令 则 一 Z 反变换 TheInverseZ Transform 当从时 Z沿着ROC内半径为r的圆变化一周 1 部分分式展开法 二 反变换的求取 当是有理函数时 可将其展开为部分分式 例 将展开为部分分式有 2 幂级数展开法 长除法 由的定义 将其展开为幂级数 有 展开式中项的系数即为 当是有理函数时 可以通过长除的方法将其展开为幂级数 由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项 所以要按降幂长除 由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项 所以要按升幂长除 对双边序列 先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分 再分别按上述原则长除 例如 可得 例 幂级数展开法的缺点是当较复杂 含多个极点时 难以得出的闭式 所以前一项按降幂长除 后一项按升幂长除 幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式的反变换 3 留数法 是C内的极点 对有理函数的由留数定理有 当ROC包括时 Z变换在单位圆上的情况就是 因此也可以利用零极点图对其进行几何求值 10 4 由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值 GeometricEvaluationoftheFourierTransformfromthePole ZeroPlot 其方法与拉氏变换时完全类似 考查动点在单位圆上移动一周时 各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况 即可反映系统的频率特性 例1 一阶系统 当时 ROC包括单位圆 显然 取决于的变化 当时 当时 有最小值 随呈单调变化 在处 有最大值 相频特性 一阶系统的频率特性 幅频特性 当时 幅频特性 越小 极点靠原点越近 系统的频率响应越平缓 系统的带宽越宽 此时衰减越快 上升越快 越大 极点靠单位圆越近 系统频响越尖锐 频响的极大值越大 系统带宽越窄 相位的非线性程度越厉害 可以看出 例2 二阶系统 系统欠阻尼 考查动点在单位圆上移动一周时 各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况 即可得到二阶系统的频率特性 当从时 在靠近处频率响应会出现极大值 若r越接近于1 的峰值越尖锐 由于极点远离原点 和的变化速率越慢 随着r减小 极点逐步靠近原点 频率响应趋于平坦 而和的变化速率会加快 幅频特性 相频特性 二阶系统的频率特性 当极点很靠近单位圆时 也可以从零极点图粗略确定系统的带宽 更一般的情况 二阶系统也可能有两个实数极点 此时系统处于过阻尼状态 其特性相当于两个一阶系统级联的结果 二阶系统具有重阶实数极点的情况 Z变换的许多性质与DTFT的性质相似 其推论方法也相同 这里主要讨论其ROC的变化 则 包括 10 5Z变换的性质 1 线性 PropertiesoftheZ transform 如果在线性组合过程中出现零极点相抵消 则ROC可能会扩大 2 时移 右移 但在和可能会有增删 由于信号时移可能会改变其因果性 故会使ROC在 有可能改变 若 则 3 Z域尺度变换 若 则 时收敛 故时 收敛 当时 即为移频特性 若是一般复数 则的零极点不仅要将的零极点逆时针旋转一个角度 而且在径向有倍的尺度变化 4 时域反转 若 信号在时域反转 会引起的零 极点分布按倒量对称发生改变 即 与的零极点呈共轭倒量对称 则的ROC为 5 时域内插 若 则 证明 6 共轭对称性 当是实信号时 于是有 表明如果有复数零极点 必共轭成对出现 若 则 包括 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能会扩大 该性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础 则 若 7 卷积性质 8 Z域微分 利用该性质可以方便地求出某些非有理函数的反变换 或具有高阶极点的的反变换 若 则 例1 例2 9 初值定理 则 若是因果信号 且 证明 将按定义式展开有 10 终值定理 若是因果信号 且 除了在可以有一阶极点外 其它极点均在单位圆内 则 证明 在单位圆上无极点 除了在可以有单阶极点外 其它极点均在单位圆内 这其实表明 如果有终值存在 则其终值等于在处的留数 信号的极点的位置与信号终值之间关系示意图 10 6常用信号的Z变换对 SomeCommonZ TransformPairs 10 7利用Z变换分析与表征LTI系统 一 系统特性与的关系 AnalysisandCharacterizationofLTISystemsUsingZ Transforms LTI系统的特性可以由或描述 因而也可以由连同ROC来表征 称为系统函数 系统的特性应该在系统函数中有所表现 根据卷积性质只要单位圆是在的ROC内 将在单位圆上求值 即 就变成系统的频率响应 H z 与h k 的关系 k yzs k k h k 求零状态响应 x k yzs k x k h k X z Yzs z X z H z 求H z 的方法 由系统的单位脉冲响应求解 H z Z h k 由系统的差分方程写出H z 由定义式 1 因果性 如果LTI系统是因果的 则时有所以 的ROC是最外部极点的外部 并且包括 因此 因果稳定的LTI系统其的全部极点必须位于单位圆内 反之亦然 当是关于Z的有理函数时 因果性要求的分子阶数不能高于分母阶数 解 例 求单位延时器y k x k 1 的系统函数H z 利用z变换的位移特性 有 根据系统函数的定义 可得 即单位延时器的系统函数H z 为z 1 解 例 一LTI离散系统 其初始状态为y 1 8 y 2 2 当输入x k 0 5 ku k 时 输出响应为y k 4 0 5 ku k 0 5k 0 5 k 1u k 1 0 5 ku k 求系统函数H z 对于初始状态为y 1 8 y 2 2的一般二阶系统 H z 例已知一因果LTI系统的差分方程为 试确定系统的系统函数 若 用z变换确定上述系统的输出 极点为 收敛域为 二 LTI系统的Z变换分析法 1 由求得及其 2 由系统的描述求得及其 分析步骤 3 由得出并确定它的ROC包括 4 对做反变换得到 三 由LCCDE描述的LTI系统的 对方程两边做Z变换可得 由差分方程描述的LTI系统 其方程为 是一个有理函数 的ROC需要通过其它条件确定 如 1 系统的因果性或稳定性 2 系统是否具有零初始条件等 例 若系统的输入是 那么输出是 其中a是实数 若 那么输出是 求该系统的差分方程 解得 例 由下列差分方程做出网络结构 并求其系统函数H z 和单位脉冲响应h n 解 由方程可得 FIR 解 由方程可得 利用Z变换的性质可得 IIR 系统函数的零极点分布 系统函数可以表达为零极点增益形式 即 D z 0的根是H z 的极点 在z平面用 表示 N z 0的根是H z 的零点 在z平面用 表示 例如 零极点与时域特性 系统的时域特性主要取绝于系统的极点 由系统函数H z 的零极点分布 可将H z 展开成部分分式 对每个部分分式取z反变换可得h k 如H z 为单极点时 有 零极点与时域特性 离散系统H z 与h k 关系 离散系统的稳定性 定理 离散LTI系统稳定的充要条件是 H z 的收敛域包含单位圆则系统稳定 因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定 由H z 判断系统的稳定性 解 例 试判断下面因果LTI离散系统的稳定性 该因果系统的收敛域为 z 1 5 收敛域不包含单位圆 故系统不稳定 从收敛域看 系统的极点为z1 0 5 z2 1 5 极点z2 1 5在单位圆外 故系统不稳定 从极点看 解 例一因果离散系统如图所示 求a H z b 系统稳定时k的范围 系统稳定 零极点与频域特性 由于系统稳定时 系统函数的收敛域包含单位圆 因此系统的频率响应H ejW 可由H z 求出 用z平面pi和zj点指向单位圆上ejW点的向量表示 解 例 已知某因果离散LTI系统的系统函数 试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应 当W 0时 当W p时 当0 W p时 D随着 的增大而增大 N随着 的增大而减小 因此 解 例 已知某因果离散LTI系统的系统函数 试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应 一 系统互联的系统函数 10 8系统函数的代数属性与方框图表示 SystemFunctionAlgebraandBlockDiagramRepresentations 1 级联 一 系统的基本联接 2 系统的并联 ROC 包括 3 反馈联接 由系统框图可列出如下方程 1 直接型结构 设差分方程中的m n 即 H1 z H2 z 1 直接型结构 系统可以看成两个子系统的级联 描述这两个系统的差分方程为 1 直接型结构 时域框图 1 直接型结构 z域框图 2 级联型结构 H z H1 z H2 z Hn z 将系统函数的N z 和D z 分解为一阶或二阶实系数因子形式 将它们组成一阶和二阶子系统 即 画出每个子系统直接型模拟流图 然后将各子系统级联 二 离散系统的模拟框图 3 并联型结构 H z H1 z H2 z Hn z 将系统函数展开成部分分式 形成一阶和二阶子系统并联形式 即 画出每个子系统直接型模拟流图 然后将各子系统并联 解 例 已知试画出其直接型 级联型和并联型的模拟框图 1 直接型 解 例 已知试画出其直接型 级联型和并联型的模拟框图 2 级联型 解 例 已知试画出其直接型 级联型和并联型的模拟框图 3 并联型 例 已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为 在z域求解 1 系统的零输入响应yzi k 零状态响应yzs k 和完全响应y k 2 系统的系统函数H z 单位脉冲响应h k 并判断系统是否稳定 3 若x k 2u k 1 重新计算 1 2 解 对差分方程两边进行z变换得 整理后可得 解 1 例 已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为 在z域求解 1 系统的零输入响应yzi k 零状态响应yzs k 和完全响应y k 解 2 例 已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为 在z域求解 2 系统函数H z 单位脉冲响应h k 并判断系统是否稳定 根据系统函数的定义 可得 进行z反变换即得 对因果系统 由于其极点为z1 1 2 z2 1 4 均在单位圆内 故系统稳定 解 3 例 已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为 在z域求解 3 若x k 2u k 1 重新计算 1 2 系统的完全响应也相应地改变为 若x k 2u k 1 说明系统的输入信号变了 但系统没变 系统的初始状态也没变 因此 系统的系统函数 单位脉冲响应和稳定性都不变 系统的零输入响应也不变 只有系统的零状态响应和完全响应会随输入信号发生变化 由线性非时变特性可得 10 9单边Z变换 一 单边Z变换 单边Z变换是双边Z变换的特例 也就是因果信号的双边Z变换 因此单边Z变换的ROC一定是最外部极点的外部 并且包括 TheUnilateralZ Transform 所以在讨论单边Z变换时 不再强调其ROC 它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致 如果信号不是因果序列 则其双边Z变换与单边Z变换不同 例1 对其做双边Z变换有 显然 对其做单边Z变换有 例2 对其做双边Z变换有 对其做单边Z变换有 这是因为在的部分对双边Z变换起作用 而对单边Z变换不起作用所致 显然 例3 求以下序列的Z变换及收敛域 解 有限长序列z变换的收敛域为 z 0 常用单边序列的z变换 只要所涉及的信号是因果信号 单边Z变换除了时移特性与双边Z变换略显不同外 其它性质与双边Z变换的情况是一致的 二 单边Z变换的性质 四 单边z变换的主要性质 1 线性特性 例 求sin W0k u k 和cos W0k u k 的z变换及收敛域 解 利用 利用线性特性 可得 z 0 z 0 z 0 将上式改写 可得 四 单边z变换的主要性质 2 位移特性 因果序列的位移 非因果序列的位移 x k n u k n z nX z z Rx z Rx z Rx 四 单边z变换的主要性质 2 位移特性 证明 依此类推可证上式成立 例 求RN k u k u k N 的z变换及收敛域 解 利用因果序列的位移特性和线性特性 可得 由于RN k 为有限长序列 故其收敛域为 z 0 ROC扩大 线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大 四 单边z变换的主要性质 3 指数加权特性 例 求aksin W0k u k 的z变换及收敛域 解 利用z变换的指数加权特性 可得 四 单边z变换的主要性质 4 z域微分特性 例 求x k k 1 aku k 的z变换及收敛域 解 利用z域微分特性 可得 利用z变换的线性特性 可得 四 单边z变换的主要性质 5 序列卷积 ROC包含Rx1 Rx2 例 求 解 利用z变换的卷积特性 以及 可得 设 四 单边z变换的主要性质 6 初值与终值定理 若 z 1 X z 的收敛域包含单位圆 则 例 已知X z 1 1 az 1 z a 求x 0 x 1 和x 解 根据位移特性有 对上式应用初值定理 即得 当 a 1时 z 1 X z 的收敛域包含单位圆 由终值定理 有 例 求以下单边周期序列的单边z变换 1 2 若计算出x1 k 的z变换X1 z 利用因果序列的位移特性和线性特性 则可求得其单边周期序列的z变换为 分析 周期为N的单边周期序列xN k u k 可以表示为第一个周期序列x1 k 及其位移x1 k lN 的线性组合 即 解 例 求以下周期序列的单边z变换 1 2 1 x k 可表示为 利用 k 的Z变换及因果序列的位移特性 可得 2 将y k 改写为 由 1 题的结果及卷