倒立摆实验报告(现代控制理论)

现代控制理论实验报告现代控制理论实验报告 倒立摆倒立摆 小组成员 小组成员 指导老师 指导老师 2013 5 实验一实验一 建立一级倒立摆的数学模型建立一级倒立摆的数学模型 一 一 实验目的实验目的 学习建立一级倒立摆系统的数学模型 并进行 Matlab 仿真 二 二 实验内容实验内容 写出系统传递函数和状态空间方程 用 Matlab 进行仿真 三 三 Matlab 源程序及程序运行的结果源程序及程序运行的结果 1 Matlab 源程序见附页 2 给出系统的传递函数和状态方程 a 传递函数 传递函数 gs 为摆杆的角度 为摆杆的角度 gs Transfer function 2 054 s s 3 0 07391 s 2 29 23 s 2 013 b b 传递函数 传递函数 gspogspo 为小车的位移传递函数 为小车的位移传递函数 gspo Transfer function 0 7391 s 2 20 13 s 4 0 07391 s 3 29 23 s 2 2 013 s c c 状态矩阵 状态矩阵 A B C DA B C D sys a x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 0 07391 0 7175 0 x3 0 0 0 1 x4 0 0 2054 29 23 0 b u1 x1 0 x2 0 7391 x3 0 x4 2 054 c x1 x2 x3 x4 y1 1 0 0 0 y2 0 0 1 0 d u1 y1 0 y2 0 Continuous time model 3 给出传递函数极点和系统状态矩阵 A 的特征值 a 传递函数 gs 的极点 P P 5 4042 5 4093 0 0689 b 传递函数 gspo 的极点 Po Po 0 5 4042 5 4093 0 0689 c 状态矩阵 A 的特征值 E E 0 0 0689 5 4042 5 4093 4 给出系统开环脉冲响应和阶跃响应的曲线 a 开环脉冲响应曲线 b 阶跃响应曲线 四 思考题四 思考题 1 由状态空间方程转化为传递函数 是否与直接计算传递函数相等 答 由状态空间方程转化为传递函数 gso tf sys Transfer function from input to output 0 7391 s 2 6 565e 016 s 20 13 1 s 4 0 07391 s 3 29 23 s 2 2 013 s 2 054 s 4 587e 016 2 s 3 0 07391 s 2 29 23 s 2 013 1 为 gspo 传递函数 2 为 gs 的传递函数 而直接得到的传递函数为 gspo Transfer function 0 7391 s 2 20 13 s 4 0 07391 s 3 29 23 s 2 2 013 s gs Transfer function 2 054 s s 3 0 07391 s 2 29 23 s 2 013 通过比较可以看到 gspo 由状态空间方程转化的传递函数比直接得到的传递 函数多了 s 的一次项 而 6 565e 016 非常小几乎可以忽略不计 因此可以认为 两种方法得到的传递函数式相同的 同理传递函数 gs 也可以认为是相同的 2 通过仿真表明开环系统是否稳定 请通过极点 特征值 理论来分析 答 开环系统不稳定 极点为 P P 5 4042 5 4093 0 0689 Po Po 0 5 4042 5 4093 0 0689 由系统稳定性结论可知 极点若都分布在 s 平面的左半平面则系统稳定 而 开环系统的极点有 5 4042 在右半平面 因此 开环系统不稳定 3 传递函数的极点和状态方程的特征值的个数 大小是否相等 如果不相等 请解释其原因 传递函数 gspo 的极点和状态方程的特征值的个数 大小相等 但是传递函数 gs 的极点和状态方程的特征值个数不相等 因为存在零极点对消 附录 matlab 程序 clear all f1 0 001 实际系统参数 M 1 32 m 0 132 b 0 1 l 0 27 I 0 0032 g 9 8 T 0 02 求传递函数 gs 输出为摆杆角度 和 gspo 输出为小车位置 q M m I m l 2 m l 2 num m l q 0 den 1 b I m l 2 q M m m g l q b m g l q gs tf num den numpo I m l 2 q 0 m g l q denpo 1 b I m l 2 q M m m g l q b m g l q 0 gspo tf numpo denpo 求状态空间 sys A B C D p I M m M m l 2 A 0 1 0 0 0 I m l 2 b p m 2 g l 2 p 0 0 0 0 1 0 m b l p m g l M m p 0 B 0 I m l 2 p 0 m l p C 1 0 0 0 0 0 1 0 D 0 0 sys ss A B C D 通过传递函数求系统 摆杆角度和小车位置 的开环脉冲响应 t 0 T 5 y1 impulse gs t y2 impulse gspo t figure 1 plot t y2 b t y1 r xlabel t s ylabel Position m or Angle rad axis 0 2 0 80 legend Car Position Pendulum Angle 将状态空间方程 sys 转化为传递函数 gs0 gs0 tf sys 通过状态方程求系统 摆杆角度和小车位置 的开环脉冲响应 t 0 T 5 y impulse sys t figure 2 plot t y 1 t y 2 r xlabel t s ylabel Position m or Angle rad axis 0 2 0 80 legend Car Position Pendulum Angle 通过传递函数求系统 摆杆角度和小车位置 的开环阶越响应 t 0 T 5 y1 step gs t y2 step gspo t figure 3 plot t y2 b t y1 r axis 0 2 5 0 80 xlabel t s ylabel Position m or Angle rad legend Car Position Pendulum Angle 通过状态方程求系统 摆杆角度和小车位置 的开环阶越响应 t 0 T 5 y step sys t figure 4 plot t y 1 t y 2 r xlabel t s ylabel Position m or Angle rad axis 0 2 5 0 80 legend Car Position Pendulum Angle 求传递函数极点 P pole gs Po pole gspo 求 A 的特征值 E eig A 实验二实验二 倒立摆系统控制算法的状态空间法设计倒立摆系统控制算法的状态空间法设计 一 一 实验目的实验目的 学习如何使用状态空间法设计系统的控制算法 二 二 实验内容实验内容 用状态空间法设计控制器 使得当在小车上施加 0 2m 的阶跃信号时 闭环系 统的响应指标为 1 杆角度 和小车位移 x 的稳定时间小于 5 秒 2 x 的上升时间小于 2 秒 2 3 的超调量小于 20 度 0 35 弧度 4 稳态误差小于 4 三 MatlabMatlab 源程序及程序执行结果源程序及程序执行结果 1 Matlab 源程序 见附录 2 程序执行结果 a k 的值 K K 14 1421 12 1570 63 5837 11 8416 b 反馈后的响应曲线 3 给出无扰动时两次不同 K 值下 小车的稳定位置 P1 和摆杆的稳定角度 Pend1 a K K 14 142 12 15763 584 11 842 小车的稳定位置 P1 0 02 绿色的曲线为摆杆的稳定角度 Pend1 0 001 度 b K K 14 1421 12 1570 63 5837 11 8416 小车的稳定位置 P1 0 007 绿色的曲线为摆杆的稳定角度 Pend1 0 0015 度 4 给出两次不同 K 值下 实际系统的响应曲线 并计算实验要求中的四项 响应指标 并注意要利用实验三中统计出的响应时间延迟修正响应曲线 K 14 1421 12 1467 63 5825 11 8413 0 11 0 0825 0 0925 29 7 0 0 tp 4100 3880 1000 8 8 1 936s tr 4030 3880 1000 8 8 1 32s ts 4800 3880 1000 8 8 8 096s K 14 1421 12 1570 63 5837 11 8416 0 11 0 085 0 092 27 17 0 0 tp 3025 2840 1000 8 8 1 628s tr 2955 2840 1000 8 8 1 012s ts 4800 3900 1000 8 8 7 92s 四 思考题四 思考题 1 计算 Ac 的特征值 K 14 1421 12 1467 63 5825 11 8413 K 14 1421 12 1570 63 5837 11 8416 2 通过仿真分析 Q11 和 Q33 的大小对控制效果的影响 Q11 为 Q 阵的第 1 1 个元素 固定 Q33 改变 Q11 Q33 100 Q11 100 红 500 蓝 1000 绿 从图中可以看出 Q11 增大 角度超调随着增大 位置的超调基本不变 但是响应时 间缩短了 固定 Q11 改变 Q33 Q11 100 Q33 100 红 1000 蓝 2000 绿 从图中可以看出 Q33 增大 角度超调减小 位置的超调基本不变 但是响应时间延 长了 附录 matlab 程序 clear all f1 0 001 实际系统参数 M 1 096 m 0 109 b 0 25 l 0 25 I 0 0034 g 9 8 T 0 001 求系统状态空间参数 M 1 32 m 0 132 b 0 22 l 0 27 I 0 0032 g 9 8 T 0 02 p I M m M m l 2 A 0 1 0 0 0 I m l 2 b p m 2 g l 2 p 0 0 0 0 1 0 m b l p m g l M m p 0 B 0 I m l 2 p 0 m l p C 1 0 0 0 0 0 1 0 D 0 求反馈向量 K R 1 Q1 200 Q2 0 Q3 100 Q Q1 0 0 0 0 Q2 0 0 0 0 Q3 0 0 0 0 0 K lqr A B Q R 求状态反馈后的系统 sysstate Ac A B K Bc B K 1 输入变换使输入与反馈的量纲匹配 sysstate ss Ac Bc C D 对 lqr 控制系统进行仿真 t 0 T 5 U 0 2 ones size t y lsim sysstate U t figure 1 hold on plot t y 1 t y 2 r box on xlabel t s ylabel Position m or Angle rad legend Car Position Pendulum Angle 实验三实验三 研究倒立摆系统对信号的跟踪研究倒立摆系统对信号的跟踪 一 实验目的一 实验目的 观察倒立摆对于不同输入信号的跟踪情况 加深对状态空间和状态反馈的 理解 二 实验内容二 实验内容 在平衡位置 分别设定下列三种信号 记录倒立摆的运动情况 1 方波信号 频率 0 2Hz 幅值 0 05m 2 正弦波信号 频率 0 2Hz 幅值 0 05m 3 锯齿波信号 频率 0 2Hz 幅值 0 05m 三 三 MatlabMatlab 源程序及程序执行结果源程序及程序执行结果 1 Matlab 源程序 见附录 2 Matlab 仿真图形 三种扰动下的响应曲线 A 阶跃信号下的响应曲线 B 方波信号下的响应曲线 C 正弦信号下的响应曲线 3 实际系统的响应曲线 当 Q1 500 Q2 700 A 锯齿波信号下的实际响应曲线 B 方波信号下的实际响应曲线 C 正弦信号下的实际响应曲线 当 Q1 300 Q2 500 A 锯齿波信号下的实际响应曲线 B 方波信号下的实际响应曲线 C 正弦信号下的实际响应曲线 4 在锯齿波跟踪曲线图上 利用 放大 功能测量出实际系统对于输入的 延迟时间 测量输入曲线和锯齿波响应曲线最高点之间的时间差 利用多个时 间差求平均获得平均延迟时间 根据图可得时间对应关系为 20s 对应图中 2325 即每一格对应 8 602 10 3s 则当 Q1 500 Q2 700 时 锯齿波中实际输入延迟时间为 25 8 602 1000 0 215s 则当 Q1 300 Q2 500 时 锯齿波中实际输入延迟时间为 15 8 602 1000 0 129s 5 根据统计出的时延 对实验二中阶跃响应的曲线进行修正 修正后的曲线 K 14 1421 12 1467 63 5825 11 8413 K 14 1421 12 1570 63 5837 11 8416 四 思考题四 思考题 1 仿真曲线和实际响应曲线是否大致相同 通过比较可以看出仿真的曲线和实际响应曲线大致相同 2 请说明原系统是否完全可控 因为 3 4 所以 原系统不完全可控 附录 Matlab 源程序 clear all f1 0 001 实际系统参数 M 1 096 m 0 109 b 0 25 l 0 25 I 0 0034 g 9 8 T 0 02 求系统状态空间参数 p I M m M m l 2 A 0 1 0 0 0 I m l 2 b p m 2 g l 2 p 0 0 0 0 1 0 m b l p m g l M m p 0 B 0 I m l 2 p 0 m l p C 1 0 0 0 0 0 1 0 D 0 求反馈向量 K R 1 Q1 200 Q2 0 Q3 100 Q Q1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q3 0 0 0 0 0 K lqr A B Q R 求状态反馈后的系统 sysstate Ac A B K Bc B K 1 输入变换 使输入与反馈的量纲匹配 sysstate ss Ac Bc C D 信号模拟发生器 T 0 02 Tmax 45 生成阶跃信号 t 0 T Tmax U 0 1 ones size t 生成方波 t 0 T Tmax U 0 1 gensig square 15 T