解直角三角形测试题与答案

解直角三角形解直角三角形 测试题测试题 与与 答案答案 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 小题 1 2014 义乌市 如图 点 A t 3 在第一象限 OA 与 x 轴所夹的锐角为 tan 则 t 的值是 A 1B 1 5C 2D 3 2 2014 巴中 在 Rt ABC 中 C 90 sinA 则 tanB 的值为 A B C D 3 2014 凉山州 在 ABC 中 若 cosA 1 tanB 2 0 则 C 的度数是 A 45 B 60 C 75 D 105 4 2014 随州 如图 要测量 B 点到河岸 AD 的距离 在 A 点测得 BAD 30 在 C 点测得 BCD 60 又测得 AC 100 米 则 B 点到河岸 AD 的距离为 A 100 米B 50米C 米 D 50 米 5 2014 凉山州 拦水坝横断面如图所示 迎水坡 AB 的坡比是 1 坝高 BC 10m 则坡面 AB 的长度是 A 15mB 20mC 10mD 20m 6 2014 百色 从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼 探测器显示 看到教学楼底部点 C 处的俯角为 45 看到楼顶部点 D 处的仰角为 60 已知两栋楼之间的水平距离为 6 米 则教学楼的高 CD 是 A 6 6 米B 6 3 米C 6 2 米D 12 米 7 2014 苏州 如图 港口 A 在观测站 O 的正东方向 OA 4km 某船从港口 A 出发 沿北偏东 15 方向航行一 段距离后到达 B 处 此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60 的方向 则该船航行的距离 即 AB 的长 为 A 4kmB 2kmC 2kmD 1 km 8 2014 路北区二模 如图 ABC 的项点都在正方形网格的格点上 则 cosC 的值为 A B C D 9 2014 长宁区一模 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D 下边各组边的比不能表示 sinB 的 A B C D 10 2014 工业园区一模 若tan 10 1 则锐角 的度数是 A 20 B 30 C 40 D 50 11 2014 鄂州四月调考 在 ABC 中 A 120 AB 4 AC 2 则 sinB 的值是 A B C D 12 2014 邢台一模 在 Rt ABC 中 C 90 若 AB 4 sinA 则斜边上的高等于 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 13 2014 济宁 如图 在 ABC 中 A 30 B 45 AC 则 AB 的长为 14 2014 徐汇区一模 如图 已知梯形 ABCD 中 AB CD AB BC 且 AD BD 若 CD 1 BC 3 那么 A 的 正切值为 15 2014 虹口区一模 计算 cos45 sin260 16 2014 武威模拟 某人沿坡度为 i 3 4 斜坡前进 100 米 则它上升的高度是 米 17 2014 海门市模拟 某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动 他们要测量一幢建筑物 AB 的高 度 如图 他们先在点 C 处测得建筑物 AB 的顶点 A 的仰角为 30 然后向建筑物 AB 前进 20m 到达点 D 处 又测 得点 A 的仰角为 60 则建筑物 AB 的高度是 m 18 2013 扬州 在 ABC 中 AB AC 5 sin ABC 0 8 则 BC 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 小题 19 2014 盘锦 如图 用一根 6 米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆 ABC AB 垂直于地面 线段 AB 与线 段 BC 所成的角 ABC 120 若路灯杆顶端 C 到地面的距离 CD 5 5 米 求 AB 长 20 2014 遵义 如图 一楼房 AB 后有一假山 其坡度为 i 1 山坡坡面上 E 点处有一休息亭 测得假山坡 脚 C 与楼房水平距离 BC 25 米 与亭子距离 CE 20 米 小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45 求楼房 AB 的 高 注 坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 21 2014 哈尔滨 如图 AB CD 为两个建筑物 建筑物 AB 的高度为 60 米 从建筑物 AB 的顶点 A 点测得建筑 物 CD 的顶点 C 点的俯角 EAC 为 30 测得建筑物 CD 的底部 D 点的俯角 EAD 为 45 1 求两建筑物底部之间水平距离 BD 的长度 2 求建筑物 CD 的高度 结果保留根号 22 2014 邵阳 一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60 的方向出港观光 航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故 立即发出了求救信号 一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号 测得事故船在它的北偏东 37 方向 马上以 40 海里每小时的速度前往救援 求海警船到大事故船 C 处所需的大约时间 温馨提示 sin53 0 8 cos53 0 6 23 2014 射阳县三模 小明想测量一棵树的高度 他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上 如图 此时测得地 面上的影长为 8 米 坡面上的影长为 4 米 已知斜坡的坡度为 30 同一时刻 一根长为 1 米 垂直于地面放置的 标杆在地面上的影长为 2 米 求树的高度 24 2014 崇川区一模 如图 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 处的仰角为 45 沿坡角 30 的斜坡 AD 前进 1000m 后到达 D 处 又测得山顶 B 处的仰角为 60 求山的高度 BC 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 小题 1 2014 义乌市 如图 点 A t 3 在第一象限 OA 与 x 轴所夹的锐角为 tan 则 t 的值是 A 1B 1 5C 2D 3 考点 锐角三角函数的定义 坐标与图形性质 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 根据正切的定义即可求解 解答 解 点 A t 3 在第一象限 AB 3 OB t 又 tan t 2 故选 C 点评 本题考查锐角三角函数的定义及运用 在直角三角形中 锐角的正弦为对边比斜边 余弦为邻边比斜边 正 切为对边比邻边 2 2014 巴中 在 Rt ABC 中 C 90 sinA 则 tanB 的值为 A B C D 考点 互余两角三角函数的关系 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 根据题意作出直角 ABC 然后根据 sinA 设一条直角边 BC 为 5x 斜边 AB 为 13x 根据勾股定理求 出另一条直角边 AC 的长度 然后根据三角函数的定义可求出 tan B 解答 解 sinA 设 BC 5x AB 13x 则 AC 12x 故 tan B 故选 D 点评 本题考查了互余两角三角函数的关系 属于基础题 解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用 3 2014 凉山州 在 ABC 中 若 cosA 1 tanB 2 0 则 C 的度数是 A 45 B 60 C 75 D 105 考点 特殊角的三角函数值 非负数的性质 绝对值 非负数的性质 偶次方 三角形内角和定理 菁优网版权所 有 专题 计算题 分析 根据非负数的性质可得出 cosA 及 tanB 的值 继而可得出 A 和 B 的度数 根据三角形的内角和定理可得出 C 的度数 解答 解 由题意 得 cosA tanB 1 A 60 B 45 C 180 A B 180 60 45 75 故选 C 点评 此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值 偶次方的非负性 属于基础题 关键是熟记一些特殊角的三角 形函数值 也要注意运用三角形的内角和定理 4 2014 随州 如图 要测量 B 点到河岸 AD 的距离 在 A 点测得 BAD 30 在 C 点测得 BCD 60 又测得 AC 100 米 则 B 点到河岸 AD 的距离为 A 100 米B 50米C 米 D 50 米 考点 解直角三角形的应用 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 过 B 作 BM AD 根据三角形内角与外角的关系可得 ABC 30 再根据等角对等边可得 BC AC 然后再 计算出 CBM 的度数 进而得到 CM 长 最后利用勾股定理可得答案 解答 解 过 B 作 BM AD BAD 30 BCD 60 ABC 30 AC CB 100 米 BM AD BMC 90 CBM 30 CM BC 50 米 BM CM 50米 故选 B 点评 此题主要考查了解直角三角形的应用 关键是证明 AC BC 掌握直角三角形的性质 30 角所对直角边等于 斜边的一半 5 2014 凉山州 拦水坝横断面如图所示 迎水坡 AB 的坡比是 1 坝高 BC 10m 则坡面 AB 的长度是 A 15mB 20mC 10mD 20m 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 在 Rt ABC 中 已知坡面 AB 的坡比以及铅直高度 BC 的值 通过解直角三角形即可求出斜面 AB 的长 解答 解 Rt ABC 中 BC 10m tanA 1 AC BC tanA 10m AB 20m 故选 D 点评 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力 熟练运用勾股定理是解答本题的关键 6 2014 百色 从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼 探测器显示 看到教学楼底部点 C 处的俯角为 45 看到楼顶部点 D 处的仰角为 60 已知两栋楼之间的水平距离为 6 米 则教学楼的高 CD 是 A 6 6 米B 6 3 米C 6 2 米D 12 米 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 在 Rt ABC 求出 CB 在 Rt ABD 中求出 BD 继而可求出 CD 解答 解 在 Rt ACB 中 CAB 45 AB DC AB 6 米 BC 6 米 在 Rt ABD 中 tan BAD BD AB tan BAD 6米 DC CB BD 6 6 米 故选 A 点评 本题考查仰角俯角的定义 要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形 难度一般 7 2014 苏州 如图 港口 A 在观测站 O 的正东方向 OA 4km 某船从港口 A 出发 沿北偏东 15 方向航行一段 距离后到达 B 处 此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60 的方向 则该船航行的距离 即 AB 的长 为 A 4kmB 2kmC 2kmD 1 km 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 过点 A 作 AD OB 于 D 先解 Rt AOD 得出 AD OA 2 再由 ABD 是等腰直角三角形 得出 BD AD 2 则 AB AD 2 解答 解 如图 过点 A 作 AD OB 于 D 在 Rt AOD 中 ADO 90 AOD 30 OA 4 AD OA 2 在 Rt ABD 中 ADB 90 B CAB AOB 75 30 45 BD AD 2 AB AD 2 即该船航行的距离 即 AB 的长 为 2km 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题 难度适中 作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 8 2014 路北区二模 如图 ABC 的项点都在正方形网格的格点上 则 cosC 的值为 A B C D 考点 锐角三角函数的定义 勾股定理 菁优网版权所有 专题 网格型 分析 先构建格点三角形 ADC 则 AD 2 CD 4 根据勾股定理可计算出 AC 然后根据余弦的定义求解 解答 解 在格点三角形 ADC 中 AD 2 CD 4 AC 2 cosC 故选 B 点评 本题考查了锐角三角函数的定义 在直角三角形中 一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值 也考查了勾 股定理 9 2014 长宁区一模 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D 下边各组边的比不能表示 sinB 的 A B C D 考点 锐角三角函数的定义 菁优网版权所有 分析 利用两角互余关系得出 B ACD 进而利用锐角三角函数关系得出即可 解答 解 在 ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D ACD BCD 90 B BCD 90 B ACD sinB 故不能表示 sinB 的是 故选 B 点评 此题主要考查了锐角三角函数的定义 正确把握锐角三角函数关系是解题关键 10 2014 工业园区一模 若tan 10 1 则锐角 的度数是 A 20 B 30 C 40 D 50 考点 特殊角的三角函数值 菁优网版权所有 分析 根据 tan30 解答即可 解答 解 tan 10 1 tan 10 10 30 20 故选 A 点评 熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键 11 2014 鄂州四月调考 在 ABC 中 A 120 AB 4 AC 2 则 sinB 的值是 A B C D 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 分析 首先延长 BA 过点 C 作 CD BA 延长线于点 D 进而得出 AD CD BC 的长 再利用锐角三角函数关系求 出即可 解答 解 延长 BA 过点 C 作 CD BA 延长线于点 D CAB 120 DAC 60 ACD 30 AB 4 AC 2 AD 1 CD BD 5 BC 2 sinB 故选 B 点评 此题主要考查了解直角三角形 作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键 12 2014 邢台一模 在 Rt ABC 中 C 90 若 AB 4 sinA 则斜边上的高等于 A B C D 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 分析 在直角三角形 ABC 中 由 AB 与 sinA 的值 求出 BC 的长 根据勾股定理求出 AC 的长 根据面积法求出 CD 的长 即为斜边上的高 解答 解 根据题意画出图形 如图所示 在 Rt ABC 中 AB 4 sinA BC ABsinA 2 4 根据勾股定理得 AC 3 2 S ABC AC BC AB CD CD 故选 C 点评 此题考查了解直角三角形 涉及的知识有 锐角三角函数定义 勾股定理 以及三角形的面积求法 熟练掌 握定理及法则是解本题的关键 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 13 2014 济宁 如图 在 ABC 中 A 30 B 45 AC 则 AB 的长为 3 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 过 C 作 CD AB 于 D 求出 BCD B 推出 BD CD 根据含 30 度角的直角三角形求出 CD 根据勾股定 理求出 AD 相加即可求出答案 解答 解 过 C 作 CD AB 于 D ADC BDC 90 B 45 BCD B 45 CD BD A 30 AC 2 CD BD CD 由勾股定理得 AD 3 AB AD BD 3 故答案为 3 点评 本题考查了勾股定理 等腰三角形的性质和判定 含 30 度角的直角三角形性质等知识点的应用 关键是构 造直角三角形 题目具有一定的代表性 是一道比较好的题目 14 2014 徐汇区一模 如图 已知梯形 ABCD 中 AB CD AB BC 且 AD BD 若 CD 1 BC 3 那么 A 的 正切值为 考点 锐角三角函数的定义 菁优网版权所有 分析 求出 ABC ADB 90 根据三角形内角和定理求出 A DBC 解直角三角形求出即可 解答 解 AB CD AB BC DC BC ABC 90 C 90 AD BD ADB 90 DBC ABD A ABD 90 A DBC CD 1 BC 3 A 的正切值为 tanA tan DBC 故答案为 3 点评 本题考查了锐角三角函数的定义 三角形内角和定理的应用 关键是求出 A DBC 和求出 tan DBC 15 2014 虹口区一模 计算 cos45 sin260 考点 特殊角的三角函数值 菁优网版权所有 分析 将 cos45 sin60 代入求解 解答 解 原式 2 1 故答案为 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值 16 2014 武威模拟 某人沿坡度为 i 3 4 斜坡前进 100 米 则它上升的高度是 60 米 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 菁优网版权所有 分析 根据坡度的定义可以求得 AC BC 的比值 根据 AC BC 的比值和 AB 的长度即可求得 AC 的值 即可解 题 解答 解 由题意得 AB 100 米 tanB 3 4 设 AC 3x 则 BC 4x 则 3x 2 4x 2 1002 解得 x 20 则 AC 3 20 60 米 故答案为 60 点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用 坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算 属于基础题 17 2014 海门市模拟 某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动 他们要测量一幢建筑物 AB 的高 度 如图 他们先在点 C 处测得建筑物 AB 的顶点 A 的仰角为 30 然后向建筑物 AB 前进 20m 到达点 D 处 又测 得点 A 的仰角为 60 则建筑物 AB 的高度是 m 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 菁优网版权所有 专题 应用题 分析 设 AB x 在 Rt ABC 中表示出 BC 在 Rt ABD 中表示出 BD 再由 CD 20 米 可得关于 x 的方程 解出 即可得出答案 解答 解 设 AB x 在 Rt ABC 中 C 30 则 BC x 在 Rt ABD 中 ADB 60 则 BD x 由题意得 x x 20 解得 x 10 即建筑物 AB 的高度是 10m 故答案为 10 点评 本题考查了解直角三角形的应用 解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义 利用三角函数的知识表示出 相关线段的长度 18 2013 扬州 在 ABC 中 AB AC 5 sin ABC 0 8 则 BC 6 考点 解直角三角形 等腰三角形的性质 菁优网版权所有 分析 根据题意做出图形 过点 A 作 AD BC 于 D 根据 AB AC 5 sin ABC 0 8 可求出 AD 的长度 然后根 据勾股定理求出 BD 的长度 继而可求出 BC 的长度 解答 解 过点 A 作 AD BC 于 D AB AC BD CD 在 Rt ABD 中 sin ABC 0 8 AD 5 0 8 4 则 BD 3 BC BD CD 3 3 6 故答案为 6 点评 本题考查了解直角三角形的知识 难度一般 解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形以及勾股定 理的应用 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 小题 19 2014 盘锦 如图 用一根 6 米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆 ABC AB 垂直于地面 线段 AB 与线 段 BC 所成的角 ABC 120 若路灯杆顶端 C 到地面的距离 CD 5 5 米 求 AB 长 考点 解直角三角形的应用 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 过 B 作 BE DC 于 E 设 AB x 米 则 CE 5 5 x BC 6 x 根据 30 角的正弦值即可求出 x 则 AB 求出 解答 解 过 B 作 BE DC 于 E 设 AB x 米 CE 5 5 x BC 6 x ABC 120 CBE 30 sin30 解得 x 5 答 AB 的长度为 5 米 点评 考查了解直角三角形 解直角三角形的一般过程是 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 构造出直角三角形转化为解直角三角形问题 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形 得到数学问题的答案 再转化得 到实际问题的答案 20 2014 遵义 如图 一楼房 AB 后有一假山 其坡度为 i 1 山坡坡面上 E 点处有一休息亭 测得假山坡 脚 C 与楼房水平距离 BC 25 米 与亭子距离 CE 20 米 小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45 求楼房 AB 的 高 注 坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 菁优网版权所有 专题 应用题 分析 过点 E 作 EF BC 的延长线于 F EH AB 于点 H 根据 CE 20 米 坡度为 i 1 分别求出 EF CF 的 长度 在 Rt AEH 中求出 AH 继而可得楼房 AB 的高 解答 解 过点 E 作 EF BC 的延长线于 F EH AB 于点 H 在 Rt CEF 中 i tan ECF ECF 30 EF CE 10 米 CF 10米 BH EF 10 米 HE BF BC CF 25 10 米 在 Rt AHE 中 HAE 45 AH HE 25 10 米 AB AH HB 35 10 米 答 楼房 AB 的高为 35 10 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 涉及仰角俯角及坡度坡角的知识 构造直角三角形是解题关键 21 2014 哈尔滨 如图 AB CD 为两个建筑物 建筑物 AB 的高度为 60 米 从建筑物 AB 的顶点 A 点测得建筑 物 CD 的顶点 C 点的俯角 EAC 为 30 测得建筑物 CD 的底部 D 点的俯角 EAD 为 45 1 求两建筑物底部之间水平距离 BD 的长度 2 求建筑物 CD 的高度 结果保留根号 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 1 根据题意得 BD AE 从而得到 BAD ADB 45 利用 BD AB 60 求得两建筑物底部之间水平距 离 BD 的长度为 60 米 2 延长 AE DC 交于点 F 根据题意得四边形 ABDF 为正方形 根据 AF BD DF 60 在 Rt AFC 中利 用 FAC 30 求得 CF 然后即可求得 CD 的长 解答 解 1 根据题意得 BD AE ADB EAD 45 ABD 90 BAD ADB 45 BD AB 60 两建筑物底部之间水平距离 BD 的长度为 60 米 2 延长 AE DC 交于点 F 根据题意得四边形 ABDF 为正方形 AF BD DF 60 在 Rt AFC 中 FAC 30 CF AF tan FAC 60 20 又 FD 60 CD 60 20 建筑物 CD 的高度为 60 20 米 点评 考查解直角三角形的应用 得到以 AF 为公共边的 2 个直角三角形是解决本题的突破点 22 2014 邵阳 一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60 的方向出港观光 航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故 立即发出了求救信号 一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号 测得事故船在它的北偏东 37 方向 马上以 40 海里每小时的速度前往救援 求海警船到大事故船 C 处所需的大约时间 温馨提示 sin53 0 8 cos53 0 6 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 过点 C 作 CD AB 交 AB 延长线于 D 先解 Rt ACD 得出 CD AC 40 海里 再解 Rt CBD 中 得出 BC 50 然后根据时间 路程 速度即可求出海警船到大事故船 C 处所需的时间 解答 解 如图 过点 C 作 CD AB 交 AB 延长线于 D 在 Rt ACD 中 ADC 90 CAD 30 AC 80 海里 CD AC 40 海里 在 Rt CBD 中 CDB