【步步高】2014届高三数学一轮 5.3 平面向量的数量积导学案 理 北师大版

1 5 3 5 3 平面向量的数量积平面向量的数量积 2014 高考会这样考 1 考查两个向量的数量积的求法 2 利用两个向量的数量积求向 量的夹角 向量的模 3 利用两个向量的数量积证明两个向量垂直 复习备考要这样做 1 理解数量积的意义 掌握求数量积的各种方法 2 理解数量积 的运算性质 3 利用数量积解决向量的几何问题 1 平面向量的数量积 已知两个非零向量a a和b b 它们的夹角为 则数量 a a b b cos 叫作a a和b b的数量 积 或内积 记作a a b b a a b b cos 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 两个非零向量a a与b b垂直的充要条件是a ba b 0 两个非零向量a a与b b平行的充要条 件是a ba b a b a b 2 平面向量数量积的几何意义 数量积a ba b等于a a的长度 a a 与b b在a a的方向上的投影 b b cos 的乘积 3 平面向量数量积的重要性质 1 e ae a a ea e a a cos 2 非零向量a a b b a ba b a ba b 0 3 当a a与b b同向时 a ba b a b a b 当a a与b b反向时 a ba b a b a b a aa a a a2 a a a a a a 4 cos a a b b a a b b 5 a ba b a b a b 4 平面向量数量积满足的运算律 1 a ba b b ab a 交换律 2 a a b b a ba b a a b b 为实数 3 a a b b c c a ca c b cb c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a a x1 y1 b b x2 y2 则a ba b x1x2 y1y2 由此得到 1 若a a x y 则 a a 2 x2 y2或 a a x2 y2 2 设A x1 y1 B x2 y2 则A B两点间的距离 AB AB 2 x1 x2 2 y1 y2 2 3 设两个非零向量a a b b a a x1 y1 b b x2 y2 则a a b b x1x2 y1y2 0 难点正本 疑点清源 1 向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值 有关 在运用向量的数量积解题时 一定要注意两向量夹角的范围 2 a a b b 0 是两个向量a a b b夹角为锐角的必要不充分条件 因为若 a a b b 0 则 a ba b 0 而a a b b夹角不是锐角 另外还要注意区分 ABC中 的夹角与角B的 AB BC 关系 3 计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法 1 已知向量a a和向量b b的夹角为 135 a a 2 b b 3 则向量a a和向量b b的数量积 a ba b 答案 3 2 解析 a ba b a ba b cos 135 2 3 3 2 2 2 2 已知a a b b a a 2 b b 3 且 3a a 2b b与 a a b b垂直 则实数 的值为 答案 3 2 解析 由a a b b知a ba b 0 又 3a a 2b b与 a a b b垂直 3a a 2b b a a b b 3 a a2 2b b2 3 22 2 32 0 3 2 3 已知a a 2 3 b b 4 7 则a a在b b方向上的投影为 答案 65 5 解析 设a a和b b的夹角为 a a cos a a a a b b a a b b 2 4 3 7 4 2 72 13 65 65 5 4 2011 辽宁 已知向量a a 2 1 b b 1 k a a 2a a b b 0 则k等于 A 12 B 6 C 6 D 12 答案 D 解析 由已知得a a 2a a b b 2a a2 a ba b 3 2 4 1 2 k 0 k 12 5 2012 陕西 设向量a a 1 cos 与b b 1 2cos 垂直 则 cos 2 等于 A B C 0 D 1 2 2 1 2 答案 C 解析 a a 1 cos b b 1 2cos a a b b a a b b 1 2cos2 0 cos2 cos 2 2cos2 1 1 1 0 1 2 题型一 平面向量的数量积的运算 例 1 1 在 Rt ABC中 C 90 AC 4 则 等于 AB AC A 16 B 8 C 8 D 16 2 若向量a a 1 1 b b 2 5 c c 3 x 满足条件 8a a b b c c 30 则x等于 A 6 B 5 C 4 D 3 思维启迪 1 由于 C 90 因此选向量 为基底 CA CB 2 先算出 8a a b b 再由向量的数量积列出方程 从而求出x 答案 1 D 2 C 解析 1 AB AC CB CA CA 16 CB CA CA2 2 a a 1 1 b b 2 5 8a a b b 8 8 2 5 6 3 又 8a a b b c c 30 6 3 3 x 18 3x 30 x 4 探究提高 求两个向量的数量积有三种方法 利用定义 利用向量的坐标运算 利用 数量积的几何意义 本题从不同角度创造性地解题 充分利用了已知条件 2012 北京 已知正方形ABCD的边长为 1 点E是AB边上的动点 则 的值为 的最大值为 DE CB DE DC 答案 1 1 4 解析 方法一 以射线AB AD为x轴 y轴的正方向建立平面直角 坐标系 则A 0 0 B 1 0 C 1 1 D 0 1 则 E t 0 t 0 1 则 t 1 0 1 所 DE CB 以 t 1 0 1 1 DE CB 因为 1 0 所以 t 1 1 0 t 1 DC DE DC 故 的最大值为 1 DE DC 方法二 由图知 无论E点在哪个位置 在方向上的投影都是CB 1 DE CB 1 1 DE CB CB 当E运动到B点时 在方向上的投影最大即为DC 1 DE DC DE max 1 1 DC DC 题型二 向量的夹角与向量的模 例 2 已知 a a 4 b b 3 2a a 3b b 2a a b b 61 1 求a a与b b的夹角 2 求 a a b b 3 若 a a b b 求 ABC的面积 AB BC 思维启迪 运用数量积的定义和 a a a a a a 解 1 2a a 3b b 2a a b b 61 4 a a 2 4a ba b 3 b b 2 61 又 a a 4 b b 3 64 4a ba b 27 61 a ba b 6 cos a a b b a a b b 6 4 3 1 2 又 0 2 3 2 可先平方转化为向量的数量积 a a b b 2 a a b b 2 a a 2 2a ba b b b 2 42 2 6 32 13 a a b b 13 3 与的夹角 ABC AB BC 2 3 2 3 3 又 a a 4 b b 3 AB BC 5 S ABC sin ABC 4 3 3 1 2 AB BC 1 2 3 23 探究提高 1 在数量积的基本运算中 经常用到数量积的定义 模 夹角等公式 尤 其对 a a 要引起足够重视 它是求距离常用的公式 a a a a 2 要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系 在向量的运算中 灵活运用运算律 达到简化运算的目的 1 已知向量a a b b满足 a a 1 b b 4 且a ba b 2 则a a与b b的夹角为 A B C D 6 4 3 2 答案 C 解析 cos a a b b a a b b a a b b 1 2 a a b b 3 2 已知向量a a 1 b b 1 0 则 a a 2b b 等于 3 A 1 B C 2 D 4 2 答案 C 解析 a a 2b b 2 a a2 4a ba b 4b b2 4 4 1 4 4 a a 2b b 2 题型三 向量数量积的综合应用 例 3 已知a a cos sin b b cos sin 0 1 求证 a a b b与a a b b互相垂直 2 若ka a b b与a a kb b的模相等 求 其中k为非零实数 思维启迪 1 证明两向量互相垂直 转化为计算这两个向量的数量积问题 数量积为 零即得证 2 由模相等 列等式 化简 1 证明 a a b b a a b b a a2 b b2 a a 2 b b 2 cos2 sin2 cos2 sin2 0 a a b b与a a b b互相垂直 2 解 ka a b b kcos cos ksin sin a a kb b cos kcos sin ksin ka a b b k2 2kcos 1 a a kb b 1 2kcos k2 6 ka a b b a a kb b 2kcos 2kcos 又k 0 cos 0 0 0 2 探究提高 1 当向量a a与b b是坐标形式给出时 若证明a a b b 则只需证明 a ba b 0 x1x2 y1y2 0 2 当向量a a b b是非坐标形式时 要把a a b b用已知的不共线向量作为基底来表示且不 共线的向量要知道其模与夹角 从而进行运算证明a ba b 0 3 数量积的运算中 a ba b 0 a a b b中 是对非零向量而言的 若a a 0 虽然有 a ba b 0 但不能说a a b b 已知平面向量a a 1 b b 3 1 2 3 2 1 证明 a a b b 2 若存在不同时为零的实数k和t 使c c a a t2 3 b b d d ka a tb b 且c c d d 试 求函数关系式k f t 1 证明 a ba b 1 0 a a b b 3 1 2 3 2 2 解 c c a a t2 3 b b d d ka a tb b 且c c d d c dc d a a t2 3 b b ka a tb b ka a2 t t2 3 b b2 t k t2 3 a ba b 0 又a a2 a a 2 4 b b2 b b 2 1 a ba b 0 c dc d 4k t3 3t 0 k f t t 0 t3 3t 4 三审图形抓特点 典例 5 分 如图所示 把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起 若 x y 则x y AD AB AC 图形有一副三角板构成 注意一副三角板的特点 令 AB 1 AC 1 一副三角板的两斜边等长 7 DE BC 2 非等腰三角板的特点 BD DE sin 60 2 3 2 6 2 注意 ABD 45 90 135 在上的投影即为x AD AB x AB BD cos 45 1 1 6 2 2 2 3 2 在上的投影即为y AD AC y BD sin 45 6 2 2 2 3 2 解析 方法一 结合图形特点 设向量 为单位向量 由 x y知 x y AB AC AD AB AC 分别为在 上的投影 又 BC DE sin 60 AD AB AC 2 BD DE 6 2 在上的投影 AD AB x 1 cos 45 1 1 6 2 6 2 2 2 3 2 在上的投影y sin 45 AD AC 6 2 3 2 方法二 x y 又 AD AB AC AD AB BD x y x 1 y AB BD AB AC BD AB AC 又 x 1 2 AC AB BD AB AB 设 1 则由题意 AB DE BC 2 又 BED 60 显然与的夹角为 45 BD 6 2 BD AB 由 x 1 2 BD AB AB 得 1 cos 45 x 1 12 x 1 6 2 3 2 同理 在 x 1 y两边取数量积可得y BD AB AC 3 2 答案 1 3 2 3 2 温馨提醒 突破本题的关键是 要抓住图形的特点 图形由一副三角板构成 根据图 8 形的特点 利用向量分解的几何意义 求解方便快捷 方法二是原试题所给答案 较 方法一略显繁杂 方法与技巧 1 计算数量积的三种方法 定义 坐标运算 数量积的几何意义 要灵活选用 和图形有 关的不要忽略数量积几何意义的应用 2 求向量模的常用方法 利用公式 a a 2 a a2 将模的运算转化为向量的数量积的运算 3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 失误与防范 1 1 0 与实数 0 的区别 0a a 0 0 a a a a 0 0 a a 0 0 0 2 0 的方向是任意 的 并非没有方向 0 与任何向量平行 我们只定义了非零向量的垂直关系 2 a ba b 0 不能推出a a 0 或b b 0 因为a ba b 0 时 有可能a ba b 3 a ba b a ca c a a 0 不能推出b b c c 即消去律不成立 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2012 辽宁 已知向量a a 1 1 b b 2 x 若a a b b 1 则x等于 A 1 B C D 1 1 2 1 2 答案 D 解析 a a b b 1 1 2 x 2 x 1 x 1 2 2012 重庆 设x y R R 向量a a x 1 b b 1 y c c 2 4 且 a a c c b b c c 则 a a b b 等于 A B C 2 D 10 5105 答案 B 解析 a a x 1 b b 1 y c c 2 4 由a a c c得a a c c 0 即 2x 4 0 x 2 由b b c c 得 1 4 2y 0 y 2 9 a a 2 1 b b 1 2 a a b b 3 1 a a b b 32 1 210 3 已知向量a a 1 2 b b 2 3 若向量c c满足 c c a a b b c c a a b b 则c c等于 A B 7 9 7 3 7 3 7 9 C D 7 3 7 9 7 9 7 3 答案 D 解析 设c c x y 则c c a a x 1 y 2 又 c c a a b b 2 y 2 3 x 1 0 又c c a a b b x y 3 1 3x y 0 联立 解得x y 7 9 7 3 4 在 ABC中 AB 3 AC 2 BC 则 等于 10 AB AC A B C D 3 2 2 3 2 3 3 2 答案 D 解析 由于 cos BAC AB AC AB AC 2 2 2 9 4 10 1 2 AB AC BC 1 2 3 2 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 5 2012 课标全国 已知向量a a b b夹角为 45 且 a a 1 2a a b b 则 10 b b 答案 3 2 解析 a a b b的夹角为 45 a a 1 a a b b a a b b cos 45 b b 2 2 2a a b b 2 4 4 b b b b 2 10 b b 3 2 22 6 2012 浙江 在 ABC中 M是BC的中点 AM 3 BC 10 则 AB AC 答案 16 解析 如图所示 AB AM MB AC AM MC AM MB 10 AB AC AM MB AM MB 2 2 2 2 9 25 16 AM MB AM MB 7 已知a a 2 1 b b 3 若a a与b b的夹角为钝角 则 的取值范围是 答案 6 6 3 2 解析 由a ba b 0 即 2 3 0 解得 由a ba b得 3 2 6 即 6 因此 1 a a与b b的夹角是 45 1 求b b 2 若c c与b b同向 且a a与c c a a垂直 求c c 解 1 a ba b 2n 2 a a b b 5n2 4 cos 45 3n2 16n 12 0 2n 2 5 n2 4 2 2 n 6 或n 舍 b b 2 6 2 3 2 由 1 知 a ba b 10 a a 2 5 又c c与b b同向 故可设c c b b 0 c c a a a a 0 b ab a a a 2 0 a a 2 b b a a 5 10 1 2 c c b b 1 3 1 2 9 12 分 设两个向量e e1 e e2满足 e e1 2 e e2 1 e e1 1 e e2 2的夹角为 60 若向量 2te e1 7e e2与向量e e1 te e2的夹角为钝角 求实数t的取值范围 解 e e1 1 e e2 2 e e1 e e2 cos 60 2 1 1 1 2 2te e1 7e e2 e e1 te e2 2te e 7te e 2t2 7 e e1 e e2 2 12 2 8t 7t 2t2 7 2t2 15t 7 由已知得 2t2 15t 7 0 解得 7 t 1 2 当向量 2te e1 7e e2与向量e e1 te e2反向时 设 2te e1 7e e2 e e1 te e2 0 11 则Error 2t2 7 t 或t 舍 14 2 14 2 故t的取值范围为 7 14 2 14 2 1 2 B 组 专项能力提升 时间 25 分钟 满分 43 分 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 2012 湖南 在 ABC中 AB 2 AC 3 1 则BC等于 AB BC A B C 2 D 37223 答案 A 解析 1 且AB 2 AB BC 1 cos B cos B 1 AB BC AB BC 在 ABC中 AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B 即 9 4 BC 2 2 1 BC 3 2 已知 a a 6 b b 3 a ba b 12 则向量a a在向量b b方向上的投影是 A 4 B 4 C 2 D 2 答案 A 解析 a ba b为向量b b的模与向量a a在向量b b方向上的投影的乘积 得 a ba b b b a a cos a a b b 即 12 3 a a cos a a b b a a cos a a b b 4 3 2012 江西 在直角三角形ABC中 点D是斜边AB的中点 点P为线段CD的中点 则等于 PA 2 PB 2 PC 2 A 2 B 4 C 5 D 10 答案 D 解析 PA CA CP 2 2 2 2 PA CA CP CA CP 2 2 2 2 PB CB CP PB CB CP CB CP 2 2 PA PB 2 2 2 2 2 CA CB CP CA CB CP 12 2 2 2 2 2 AB CP CD CP 又 2 162 2 AB CP CD CP 代入上式整理得 2 2 10 2 故所求值为 10 PA PB CP 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 4 2012 安徽 设向量a a 1 2m b b m 1 1 c c 2 m 若 a a c c b b 则 a a 答案 2 解析 a a c c 1 2m 2 m 3 3m a a c c b b a a c c b b 3 3m m 1 1 6m 3 0 m a a 1 1 a a 1 22 5 2012 江苏 如图 在矩形ABCD中 AB BC 2 点E为BC的 2 中点 点F在边CD上 若 则 的值是 AB AF 2 AE BF 答案 2 解析 方法一 坐标法 以A为坐标原点 AB AD所在直线为x轴 y轴建立平面直角坐标系 则A 0 0 B 0 E 1 F x 2 22 故 0 x 2 1 x 2 AB 2 AF AE 2 BF 2 0 x 2 x AB AF 22 又 x 1 1 2 A