ch3-控制系统的时域分析

1 Chapter3 线性系统的时域分析线性系统的时域分析 3 0 引言引言 3 0 1 系统分析内容 对系统的瞬态响应 稳态误差 Steady State Error 和稳定性 Stability 进行分析 3 0 2 系统分析方法 直接法 时域分析法 通过拉氏变换求解系统的微分方程 分析系统稳定性 稳态误差等指标 间接法 Stability CriterionRoot Locus Method Frequency Method 频域分析法 用系统的幅频特性 相频特性分析系统性能 根轨迹法 分析系统参数变换对系统闭环零极点分布的影响 3 0 3 本章内容 时域分析 典型测试信号下 系统时域响应的动态 暂态 特性和稳态特性 稳定性 稳态误差 分析 过渡过程 系统在外输入作用下 由一个稳态转移到另一个稳态的过程 典型测试信号 阶跃 斜坡 加速度 时域稳定性判据 通过分析系统传函的系数 分析系统稳定性 3 1 控制系统的时域指标控制系统的时域指标 3 1 1 典型输入信号 1 脉冲信号用以测试系统的抗干扰能力 ata att t a 0 1 0 0 1 1 lim lim 00 as e tL sa a a a 0 dtetxsXtxL st 2 0 t t a 1 时 称为理想单位脉冲信号 0 0 0 t t t 2 阶跃函数测试系统跟踪恒值信号的能力 00 0 t tR tr 0 s 1 R1 00 sRR氏变换为单位阶跃信号 它的拉常量式中 3 斜坡信号跟踪随动信号的能力 0 t 0 0 t 0 tv tr 20 1 1 s v拉氏变换为 称为单位斜坡信号 若 4 等加速度信号 0 t ta 2 1 0 t 0 2 0 tr 300 1 1aa s 拉氏变换为号 称为单位等加速度信常数 若 5 正弦信号用于模拟系统在周期信号或随机信号下的激励 tAtr sin 22 11 2 1 2 sin sjsjsjj ee LtL tjtj 3 1 2 控制系统的性能指标 Performance Index 性能指标 是在分析一个控制系统的时候 评价统性能好坏标准的定量指标 性能指标 是在分析一个控制系统的时候 评价统性能好坏标准的定量指标 大多数情况下 均以阶跃输入作用下系统的输出来衡量系统的优劣大多数情况下 均以阶跃输入作用下系统的输出来衡量系统的优劣 阶跃信号作用下 控制系统典型响应信号 3 有超调 有振荡系统 4 有超调 无振荡系统 无超调系统 3 2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应 凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统 称为一阶系统 一阶系统的方框图如图 3 3 所示 它的传递函数为 1 1 G TSsR sC s 3 2 1 单位脉冲响应 ttr T S T sGsC 1 1 1 t T e T sGLtc 1 1 1 e 2 7183 5 3 2 2 单位阶跃响应 则有 s s 1 R T S STsS sC 1 11 1 1 t T etC 1 1 求 T 的方法 1 阶跃响应曲线 C t 上 0 632 1TC 1 e 升到其终值的 63 2 时对应的时间 2 从 t 0 处单位阶跃响应的切线斜率计算 取 T 0 5 有图 取系统容差限为取系统容差限为 5 则系统调节时间为 则系统调节时间为 3T 容差限为 容差限为 2 则调节时间为 则调节时间为 4T 3 2 3 单位斜坡响应 2 1 R s s TS1 T S T1 1 1 2 22 STsS sC t T eTttC 1 1 t T eTtCtr 1 1te Te t ss telim 3 2 4 单位加速度响应 2 2 1 ttr 1 2 1 122Tt eTTtttc 1exp 1 2 TtTTttctrte 当 t 时 e t 所以一阶系统不能跟踪加速度输入信号 由上述 3 种典型信号的响应可推得 线性定常系统的性质 1 一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号的时域响应的导数 2 一个输入信号积分的时域响应等于该输入信号的时域响应的积分 例例 一阶系统如图所示 K 1 计算调节时 ts 2 如果要实现 ts 1 秒 确定前置放大器增益 K 6 解 传函为 即 T 1 k 2 时 ts 4T 4 k 4s 1 1 ks sG 要求 ts 1s 则有 4T4 学生做 学生做 3 要求 ts 0 1s 如果反馈增益不变 积分增益应调节至多少 解 ln0 05 3 方法 1 设反馈系数为 k 积分器增益为 a 有 11 11 1 aksskaks a s sC aks a sak sa sG 响应终值为调节过程终值为 0 95 1 k 1 1 akt e k tc ktc t 1 lim 1 3 01 0 100 305 0 1 95 0 1 1 ss aktakt tkaakte k e k 2 3 01 0 03 0 100 1 0 kkats 3 3001 0 301 0 1 0 aakts 方法 2 k T s k kkssk s sG 100 1 1 100 1 11 100 100 100 1 100 ts 3T 3 100k k 0 1 ts 0 3 ts 0 1 有 3 100k0 3 设积分增益为 a 则有 T 1 ak k 0 1 要求 3T 0 1 有 30 a300 学生做 学生做 7 求系统的闭环传函 开环传函 先验证零初始条件 然后再利用脉冲响应的拉氏变换求传函 注意 上题只是一个特例 所以可以直接将阶跃响应求导 并做拉氏变换 求取系统的闭0 0 h 环传递函数 当时 因为初始条件不为0 只能从定义推导 t eth 2 1 11 1 2 1 2 sssss s thL 一阶系统的微分方程为 1 0 1 0 1 Ts Tc sR Ts K sCTcsKRsCTstKrtctc T 因为是单位阶跃输入 所以 对比两式 可知系统的闭环传函为 ssR 1 2 2 s 闭环传函的定义 零初始条件下 系统输入 输出的拉氏变换之比 3 3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 凡运动方程具有二阶微分方程形式的控制系统 称为二阶系统 3 3 1 二阶系统的单位阶跃响应 重点 重点 传函推导传函推导以第二章的 R L C 为例 推导二阶系统传函 8 LC s L R s LC RCsLCssU sU r 1 1 2 2 1 1 0 LC n 1 L CRLR n 22 二阶系统闭环传函标准形 2 2 2 2 nn n sssR sC 频率为系统的无阻尼自为系统的阻尼比 n 典型二阶系统结构 阶跃响应 阶跃响应 二阶系统的特征方程 有0 2 2 2 nns s 1 2 1 2 nn s 阻尼比 不同 特征根的性质就不同 系统的响应特性也不同 0 1 为过阻尼 1 过阻尼 1 9 2 临界阻尼 1 n ws 2 1 3 欠阻尼 0 1 重点 sin exp 1 tttC dn 2 1 arctg0 t 不同 值时对应的时域响应曲线 10 随着阻尼比的逐渐减小 系统的阶跃响应的速度逐渐加快 但振荡加剧 随着阻尼比的逐渐减小 系统的阶跃响应的速度逐渐加快 但振荡加剧 4 不稳定的情况 0 1 0 1 情况下 暂态特性为单调变化曲线 没有超调和振荡 但调节时间较长 系统反应 情况下 暂态特性为单调变化曲线 没有超调和振荡 但调节时间较长 系统反应 迟缓 当迟缓 当 0 输出量作等幅振荡或发散振荡 系统不能稳定工作 输出量作等幅振荡或发散振荡 系统不能稳定工作 2 一般情况下 系统在欠阻尼 一般情况下 系统在欠阻尼 0 1 情况下工作 但是 情况下工作 但是 过小 则超调量大 振荡次数多 调节过小 则超调量大 振荡次数多 调节 时间长 暂态特性品质差 应注意到 最大超调量只与阻尼比这一特征参数有关 因此 通常可时间长 暂态特性品质差 应注意到 最大超调量只与阻尼比这一特征参数有关 因此 通常可 以根据允许的超调量来选择阻尼比以根据允许的超调量来选择阻尼比 3 调节时间与系统阻尼比调节时间与系统阻尼比 和自然振荡角频率和自然振荡角频率 wn 这两个特征参数的乘积成反比 在阻尼比这两个特征参数的乘积成反比 在阻尼比 一定一定 时 可以通过改变自然振荡角频率时 可以通过改变自然振荡角频率 wn 来改变暂态响应的持续时间 来改变暂态响应的持续时间 wn 越大 系统的调节时间越越大 系统的调节时间越 短 短 4 为了限制超调量 并使调节时间较短 阻尼比为了限制超调量 并使调节时间较短 阻尼比 一般应在一般应在 0 4 0 8 之间 这时阶跃响应的超调量之间 这时阶跃响应的超调量 将在将在 1 5 25 之间 之间 一般 二阶系统设计时 先由超调量确定阻尼比 再由其它条件确定无阻尼振荡角频率 一般 二阶系统设计时 先由超调量确定阻尼比 再由其它条件确定无阻尼振荡角频率 二阶系统工程最佳参数二阶系统工程最佳参数 可得可得 2 1 2 43 8 2 1 7 4 3 4 TtTTt s n r 5 14 4 Tts 14 1 0 1 2 n p t 36 0 30 2 1 100e p 6 33 36 0 n 考虑 考虑 当终值为 2 峰值为 2 6 时 系统传函 结论 n 不变 由终值定理知 传函分子变为 2 n 2 当 s 0 时 sG s R s 2 有增益为 2 学生做 学生做 1 ts 5 5 1 3 43 44 25 0 8 2 1 1 1 1 2 nspn n t TkTk ksksT sG 2 45 0 2 15 0 16 kTk p 3 3 4 二阶系统的动态校正二阶系统的动态校正 已知单位负反馈系统开环传函 计算 5 34 5 ss K sG A KA 200 1500 13 5 时 tp ts 解 52 5 34 5 2 5 34 5 5 5 34 5 2 2 AAn nAn A A KKw wKw Kss K s Ka 200 有 Wn 31 6 0 545 有 0 12s ts 3 kesai wn 0 174s 2 1 n p t KA 增大 tp 减小 可以提高响应的快速性 但超调量也随之增加 仅靠调节放大器的增 15 13 2 1 100 e p Ka 1500 tp 0 037 ts 0 174 52 7 wn 86 6 0 2 Ka 13 5 时 时 wn 8 22 2 1 系统过阻尼 无超调 因而不存在 tp 此时 ts 按照 95 计算 可得 ts 1 47s 此时 调节时间比前两种情况大得多 虽 然响应无超调 但过渡过程缓慢 益 难以兼顾系统的快速性和平稳性 为了改善系统的动态性能 可采用比例 微分控制或速度反馈控制 即对系统加入 校正环节 校正目的 改善控制系统性能 方法 加入校正环节 两种校正方法 串连比例微分 PD 环节 并联速度反馈环节 1 比例微分校正 PD 开环传函 2 2 n n o ss sG 2 1 2 n dn o ss sT sG 闭环传函 22 2 2 nn n ss 22 2 2 2 1 nndn dn sTs sT 阻尼比 ndd T 2 1 结论 1 PD 控制可以增大阻尼比 改善系统平稳性 附加零点对二阶系统阶跃响应的影响 16 注意 此处只考虑最小相位系统 即控制系统的零 极点均具有负实部 22 2 2 2 1 1 nndn dn o o c sTs sT sG sG sG ssTs sT sRsGsC nndn dn c 1 2 1 22 2 2 ssTs sT ssTs sC nndn dn nndn n 1 2 1 2 22 2 2 22 2 2 1121 tc dt d Ttctctctc d 验证算例 例 设二阶系统传函为 已知 求 z 15 6 3 时系统的单位 2 22 2 nn n ssz zs sG 5 6 0 n 阶跃响应 并分析闭环实数零点对系统响应过程的影响 可知 零点对系统的影响是使超调量加大 响应速度加快 零点距离虚轴越近 影响越大 结论 2 因为增加了附件零点 使得系统上升时间减小 但超调量增大 17 总结论 从阻尼比改善看 总结论 从阻尼比改善看 Td 越大 阻尼比增加越大 可使超调量减小 从附件零点后的响应越大 阻尼比增加越大 可使超调量减小 从附件零点后的响应 c t 看 看 Td 越大 超调量越大 实际应用中 视具体指标计算后确定越大 超调量越大 实际应用中 视具体指标计算后确定 Td 值 值 2 速度反馈校正 开环传函 闭环传函 2 2 2 0 nfn n wKwss w sG 22 2 2 2 1 nnfn n C sKssHsG sG sG 等效阻尼比 nfd K 2 1 结论 加入速度反馈增大了原系统阻尼比 但是无附加零点影响 结论 加入速度反馈增大了原系统阻尼比 但是无附加零点影响 mn sTsTsTs sssK s vn v m 111 111 G 21 21 0 学生做 学生做 1 求下述系统的超调量 当输入为单位速度 信号 r t t 时 系统的稳态误差当 t 时 r t c t 为多少 2 为使超调量小于 5 引入微分反馈 则 值为多少 输入为单位速度信号时 系统的 稳态误差当 t 时 r t c t 为多少 1 43 44 25 0 2 4 4 2 pn ss sG 25 0 4 1 lim 1 4 41 lim lim 2 0 222 0 ss s ssss sCRstctr s st 2 69 0 5 2 1 100e p 加入微分反馈后 闭环传函变为 4 1 2 4 41 4 2 n ss sG 有44 0 69 0 25 0 4 41 lim lim 2 00 ss s CRs ss 3 3 5 二阶系统的单位脉冲响应 着重分析系统稳定状态下 0 的脉冲响应 1 sRttr 18 0ttc nn sin 0 0 40K 27 0 有 0 75 K0 s1 2000 100Ka 20 0有 Ka0 0 Ka0 2 s z 1 代入0100100220 23 a KssssD 0 61100 2337 23 a KzzzzD s3123 s237100Ka 61 s1 37 23 100Ka 61 37 有 Ka0 61 学生做 学生做 已知系统特征方程为 若系 0 12 1 1 23 sass sk 统以 wn 2rad s 做等幅振荡 确定参数 K 和 a 的 值 1 1 2 1 21 0 1 2 3 ks a k ks kas ks 等幅振荡 n js 2 1 0ttc n cos1 由于系统处于等幅振荡状态 因此闭环系统必具 有共轭纯虚根 j2 和 j2 2 1 0 1 2 k k a a k k 有01 2 kas2 1 2 1 a k js 2 1 a k 75 0 2 a k 3 6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 单位反馈系统的给定信号即为期望输出信号 对于非单位反馈系统 期望信号为 R H 25 3 6 1 偏差与误差 误差 系统希望的输出值与实际的输出值之差 设系统期望输出信号为 则有 稳态误差的通用表达式稳态误差的通用表达式 tcr tctcte rss sC s HsRE def s 偏差 给定信号与主反馈信号之差 sCsH R s Y s sR def s 稳态误差 当时间 t 趋于无穷时的误差 lim tctcte r t lim lim 0 ssEtee s ss t ss 这里主要研究单位反馈系统的稳态误差 对于单位反馈系统 误差信号与偏差信号完全相同 对于单位反馈系统 误差信号与偏差信号完全相同 E R C 3 6 2 给定输入下的稳定误差 研究系统在典型信号输入条件下的稳态误差 忽略扰动信号 单位负反馈时 系统方框图为 R s C s G0 s 令开环传函 尾 1 标准型 mn sTsTsTs sssK s vn v m 111 111 G 21 21 0 1 0 GRCRE 定义 K 为系统的开环增益为系统的开环增益 v 为系统的无差度 即 开环传函中积分环节的个数 0 称该开环系统为 0 型系统 1 称该开环系统为 I 型系统 2 称该开环系统为 II 型系统 1 阶跃信号输入 稳态位置误差系数 s R sRRtr 0 0 常量 令 p s s ss K R sG R sSEe 1lim1 lim 0 0 0 0 0 sGK s def p0 0 lim 0 型系统 Kp K I 型及以上系统 Kp 2 斜坡信号输入 2 0 00 s V sRVtVtr 常量 令 v sss ss K V ssG V sGs V s V sG s e 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 lim 1 lim 1 lim 稳态速度误差系数 ssGK s v0 0 lim 26 0 型系统 Kv 0 ess I 型系统 Kv K ess V0 K II 型系统 K ess 0 3 等加速度信号输入 稳态加速度误差系数 2 0 2 t A tr a ss ss K A sGs A s A sG s e 0 0 2 0 0 3 0 0 0 lim 1 lim sGsK s a0 0 2 lim 0 型 I 型系统 Ka 0 ess II 型系统 Ka K ess a0 K 稳态误差小结 K 为开环增益 系统0 型I 型II 型 阶跃输入 r t R0R0 1 K 00 斜坡输入 r t V0t V0 K0 加速度输入 r t A0t 2 2 A0 K 当输入信号是上述典型信号的组合时 为使系统满足稳态响应要求 当输入信号是上述典型信号的组合时 为使系统满足稳态响应要求 ess 应按最复杂的输入信号计算 应按最复杂的输入信号计算 结论 增大系统开环增益 可以减小稳态误差 增强系统对参考输入的跟随能力 但增益过大将导致 系统不稳定 例 例 学生做学生做 单位负反馈系统开环传递函数为 试根据下述条件确定 K 的取值范围 105 0 1 sss K sG 1 使闭环系统稳定 2 当 r t t 时 闭环系统的稳态误差 ess 0 1 解 1 特征方程 1 GH 0 05s3 1 05s2 s k 0 有 D s s3 21s2 20s 20k 0 27 s3120 s22120K s1 420 20k 21有 K0 2 I 型系统 单位速度输入时 ess 1 K10 105 0 1 sss K sG2110 K 学生做 学生做 已知下述系统在 10N 力 阶跃信号 作用下位置响应曲线 纵坐标单位为 m 求 m k 和 u 的值 解 1 列写传递函数 tFtkytytym 可知 mkmss m ksmssF s