等比数列课件(1).ppt

第3课时等比数列 1 等比数列的有关概念 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列从起 每一项与它的的比等于常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 公比通常用字母 q 0 表示 2 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 第2项 前一项 同一个 公比 a1qn 1 等比数列 ab q 思考探究 b2 ac是a b c成等比数列的什么条件 提示 b2 ac是a b c成等比的必要不充分条件 当b 0 a c至少有一个为零时 b2 ac成立 但a b c不成等比数列 反之 若a b c成等比数列 则必有b2 ac 2 数列am am k am 2k am 3k 仍是等比数列 3 若m n p q 则 特别地 若m n 2p 则 am an ap aq am an ap2 4 a1an a2an 1 aman m 1 5 数列Sm S2m Sm S3m S2m 仍是数列 此时 an 的公比q 1 6 当n是偶数时 S偶 S奇 q 当n是奇数时 S奇 a1 S偶 q 等比 1 等比数列 an 中a5 4 则a2 a8等于 A 4B 8C 16D 32解析 an 是等比数列且2 8 2 5 a2 a8 a52 16 答案 C 2 2010 重庆卷 在等比数列 an 中 a2010 8a2007 则公比q的值为 A 2B 3C 4D 8 答案 A 答案 C 答案 15 5 2010 福建卷 在等比数列 an 中 若公比q 4 且前3项之和等于21 则该数列的通项公式an 解析 等比数列 an 的前3项之和为21 公比q 4 不妨设首项为a1 则a1 a1q a1q2 a1 1 4 16 21a1 21 a1 1 an 1 4n 1 4n 1 答案 4n 1 提醒 1 前两种方法是证明等比数列的常用方法 而后两种方法常用于选择 填空中的判定 2 若要判定一个数列不是等比数列 则只需判定存在连续三项不成等比即可 变式训练 1 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 Sn 1 2Sn n 1 n N 求证 数列 an 1 从第二项起是等比数列 并求数列 an 的通项公式 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 所求问题可迎刃而解 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式 并灵活运用 在运算过程中 还应善于运用整体代换思想简化运算的过程 注意 在使用等比数列的前n项和公式时 应根据公比q的情况进行分类讨论 切不可忽视q的取值而盲目用求和公式 2011 江苏苏州调研 已知数列 an 满足 a1 1 a2 a a 0 数列 bn 满足bn anan 1 n N 1 若 an 是等差数列 且b3 12 求a的值及 an 的通项公式 2 若 an 是等比数列 求 bn 的前n项和Sn 变式训练 2 设等比数列 an 的公比q 1 前n项和为Sn 已知a3 2 S4 5S2 求数列 an 的通项公式 等比数列与等差数列在定义上只有 一字之差 它们的通项公式和性质有许多相似之处 其中等差数列中的 和 倍数 可以与等比数列中的 积 幂 相类比 关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们 同时也有利于类比思想的推广 对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算 若能关注通项公式an f n 的下标n的大小关系 可简化题目的运算 2 由题意知Sn X S2n Y S3n Z 又 an 是等比数列 Sn S2n Sn S3n S2n为等比数列 即X Y X Z Y为等比数列 Y X 2 X Z Y 即Y2 2XY X2 ZX XY Y2 XY ZX X2 即Y Y X X Z X 选D 答案 1 A 2 D 等比数列的定义 通项公式 前n项和公式是解决等比数列中的有关计算 讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点 1 确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q 2 在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量an a1 n q Sn 可 知三求二 3 等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成的数列求和问题 即利用错位相消的方法去求数列的前n项和 4 在利用等比数列前n项和公式时 一定要对公比q 1或q 1作出判断 计算过程中要注意整体代入的思想方法 5 等差数列与等比数列的关系是 若一个数列既是等差数列 又是等比数列 则此数列是非零常数列 若 an 是等比数列 且an 0 则 lgan 构成等差数列 通过对近三年高考试题的统计分析不难发现 等比数列作为最基本的数列模型之一 一直是高考重点考查的对象 难度属中低档的题目较多 但也有难度偏大的题目 其中 选择题 填空题突出 小 巧 活 主要以通项公式 前n项和公式为载体 结合等比数列的性质考查分类讨论 化归与方程等思想 答案 C 阅后报告 本题考查了等比数列的基本运算及性质 解答本题难点在计算q的值出错 不知把1 q6表示为 1 q3 1 q3 答案 B 2 2010 江西卷 等比数列 an 中 a1 1 a5 8a2 a5 a2 则an A 2 n 1B 2 n 1C 2 nD 2 n解析 a1 1 a1 1或a1 1 a5 8a2 a2 q3 q3 8 q 2 又a5 a2 即a2q3 a2 a2 0 而a2 a1q a1 2 0 a