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等差数列前n项和公式 复习回顾 2 等差数列的通项公式 已知首项a1和公差d 则有 an a1 n 1 d已知第m项am和公差d 则有 an am n m d3 等差数列的性质 在等差数列 an 中 如果m n p q m n p q N 那么 an am ap aq 1 等差数列的概念 an an 1 d n N 且n 2 课前练习 1 在数列中 若 则该数列的通项 2 已知等差数列中 首项 公差 则 397是该数列的第 项 3 是等差数列 且a1 a4 a7 a10 46 则a3 a8 4 已知 an 是等差数列 且a3 3 a6 15 则a9 5 三个数成递增的等差数列 它们的乘积为48 和为12 这三个数为 2n 1 200 23 27 2 4 6 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建 她宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有100层 见左图 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 200多年前 德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题 你知道高斯是怎样计算的吗 高斯十岁时 有一次老师出了一道题目 老师说 现在给大家出道题目 1 2 100 过了两分钟 正当大家在 1 2 3 3 3 6 4 6 10 算得不亦乐乎时 高斯站起来回答说 1 2 3 100 5050 1 2 3 100 高斯的算法是 首项与末项的和 第2项与倒数第2项的和 第3项与倒数第3项的和 第50项与倒数第50项的和 于是所求的和是 101 5050 1 100 101 2 99 101 3 98 101 50 51 101 探究发现 问题2 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 这是求奇数个项和的问题 不能简单模仿偶数个项求和的办法 需要把中间项11看成首 尾两项1和21的等差中项 通过前后比较得出认识 高斯 首尾配对 的算法还得分奇 偶个项的情况求和 有无简单的方法 探究发现 问题2 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 借助几何图形之直观性 使用熟悉的几何方法 把 全等三角形 倒置 与原图补成平行四边形 探究发现 问题2 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 获得算法 设等差数列a1 a2 a3 它的前n项和是Sn a1 a2 an 1 an 1 若把次序颠倒是Sn an an 1 a2 a1 2 由等差数列的性质a1 an a2 an 1 a3 an 2 由 1 2 得2sn a1 an a1 an a1 an 即 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 倒序相加法 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1 n d 则如何表示Sn呢 由此得到等差数列的 an 前n项和的公式 即 等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半 上面的公式又可以写成 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式 正所谓 知三求二 解 公式应用 选用公式 之 练习一 根据条件 求相应等差数列 an 的Sn a1 5 an 95 n 10 a1 100 d 2 n 50 答案 500 2550 公式应用 变用公式 例2等差数列 10 6 2 2 的前多少项的和为54 解 设该数列为 an 前n项的和是54 a1 10 d 6 10 4 解得n 9 n 3 舍弃 因此等差数列 10 6 2 2 前9项的和是54 整理得n2 6n 27 0 之 练习二 等差数列的前项和记为 已知 1 求通项 2 令 求 1 推导等差数列