圆锥曲线期末复习训练题

圆锥曲线期末复习训练题 一 考号 姓名 题型一 圆锥曲线的定义问题 1 短轴长为5 离心率 3 2 e的椭圆两焦点为 F1 F2 过 F1作直线交椭圆于 A B 两点 则 ABF2的周长为 A 3 B 6C 12 D 24 2 已知P为椭圆 22 1 2516 xy 上的一点 M N分别为圆 22 3 1xy 和圆 22 3 4xy 上的点 则PMPN 的最小值为 A 5 B 7 C 13 D 15 3 设 P 为双曲线1 12 2 2 y x上的一点 F1 F2是该双曲线的两个焦点 若 PF1 PF2 3 2 则 PF1F2的面积为 A 36B 12C 312D 24 4 P 是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 左支上的一点 F1 F2分别是左 右焦点 且焦距为 2c 则 21F PF 的内切圆的圆心的横坐标为 A a B b C c D cba 5 抛物线 y 4 2 x上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 的纵坐标是 A 16 17 B 16 15 C 8 7 D 0 6 动圆与定圆 A x 2 2 y2 1 外切 且和直线 x 1 相切 则动圆圆心的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 题型二 标准方程问题 1 已知椭圆的对称轴是坐标轴 离心率 e 长轴长为 6 那么椭圆的方程是 3 2 2 椭圆的长 短轴都在坐标轴上 和椭圆共焦点 并经过点 P 3 2 则椭圆1 4 y 9 x 22 的方程为 3 与双曲线有共同渐近线 且过点 3 的双曲线方程为 1 16 y 9 x 22 32 4 与双曲线有公共焦点 且过点 2 的双曲线方程为 1 4 y 16 x 22 23 5 已知抛物线的顶点在坐标原点 焦点在 y 轴上 抛物线上一点的纵坐标是 4 且该点到焦 点的距离是 6 则抛物线的标准方程是 6 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛物线 C 交于 A B 两点 若为的中点 则抛物线 C 的方程为 2 2PAB 题型三 基本量问题 椭圆的准线方程为 22 21xy 1 已知双曲线 22 1 xy mn 的一条渐近线方程为 4 3 yx 则该双曲线的离心率e为 2 若双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长 则双曲线的离心 率为 A 2 B 3 C 5 D 2 3 已知 F1 F2分别是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点 过 F1且垂直于 x 轴的 直线与双曲线交于 A B 两点 若 ABF2是锐角三角形 则该双曲线离心率的取值范围是 A 21 B 21 1 C 3 1 D 22 3 4 是椭圆的两个焦点 过做一条直线交椭圆于椭圆 P Q 两点 使 且 12 F F 2 F 1 PFPQ 则椭圆的离心率为 1 PFPQ 1 2 1 63 2 ABCD 5 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合 则的值为 2 2ypx 22 1 62 xy p A B C D 2 24 4 6 对于椭圆和双曲线有下列命题 1 916 22 yx 1 97 22 yx 1 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点 2 双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点 3 双曲线与椭圆共焦点 4 椭圆与双曲线有两个顶点相同 其中正确命题的序号是 题型四 焦半径 焦点弦问题 1 双曲线的左 右焦点分别为 F1 F2 在左支上过点 F1的弦 AB 的长为 5 那 22 1 169 xy 么 ABF2的周长是 A 16 B 18 C 21 D 26 2 过双曲线的右焦点 F 作直线 交双曲线于 A B 两点 若 AB 6 则这样的直1 2 y x 2 2 l 线 有 l A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 3 过抛物线的焦点 F 作弦 则有 xy 2 2211 yxByxAAB 若 4 1 21 xxA 4 1 21 xxB 4 1 21 yyC 4 1 21 yyD 4 过抛物线的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于两点 在 2 2 0 xpy p A B A B 轴上的正射影分别为 若梯形的面积为 则 x D CABCD12 2p 5 已知抛物线的准线为 过且斜率为的直线与 相交于点 2 2 0 C ypx p l 1 0 M3l 与的一个交点为 若 则 ACBAMMB p 6 已知以 F 为焦点的抛物线上的两点 A B 满足 则弦 AB 的中点到准 2 4yx 3AFFB 线的距离为 7 过椭圆的左焦点 倾斜角为 45 度的弦 AB 的长为 22 1 259 xy 1 F 8 已知 分别为椭圆的左右两个焦点 点 p 在椭圆上 且是面积 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x 2 POFA 为的正三角形 则的值是 3 2 b 题型五 中点弦问题 1 椭圆与直线相交于 A B 两点 过原点和线段 AB 中点的直 22 1mxny 1yx 线斜率为 则的值是 2 2 m n 2 给定双曲线 x 1 2 y2 2 过点 A 2 1 的直线 L 与所给双曲线交于 P1和 P2 求线段 P1P2的中点轨迹 过点 B 1 1 能否作直线 m 与双曲线交于两点 Q1和 Q2 且使 B 点平分线段 Q1Q2 若 m 存在 求 出它的方程 若 m 不存在 则说明理由 3 已知抛物线 y ax2 1 上恒有关于直线 x y 0 对称的相异两点 求 a 的取值范围 4 已知椭圆 试确定的范围 使得对于直线 椭圆上总有两点关 22 1 43 xy m4yxm 于该直线对称 5 设 A B 是双曲线上的两点 点 N 1 2 是线段 AB 的中点 1 2 2 2 y x 1 求直线 AB 的方程 2 如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C D 两点 那么 A B C D 四点是否共圆 为什么 题型六 最值问题 1 点是椭圆上任一点 是焦点 则的最大值 最小值分别P 22 22 1 xy ab 1 F 2 F 12 PFPF 为 2 点是椭圆上任一点 是焦点 则的最大值 最小值分别P 2 2 1 4 x y 1 F 2 F1 2 PFPF 为 3 已知 则 的最大 最小值分别为 44 22 yxyx 4 抛物线 y 4x2 上的点到直线 y 4x 5 的最近距离是 5 已知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上的动点 则 PFPA 的最小值为 6 圆锥曲线期末复习训练题 二 题型七 轨迹问题 1 动点 P x y 到定点 A 3 0 的距离比它到定直线 x 5 的距离少 2 求动点 P 的轨迹 方程 2 已知圆 圆内一定点 圆过点且与圆内切 求圆 2 2 3100Bxy B 3 0 APAB 心的轨迹方程P 3 已知两点M和N分别在直线ymx 和 0 ymx m 上运动 且 2MN 动点 P 满 足 2 OPOMON O 为坐标原点 点 P 的轨迹记为曲线C 求曲线C的方程 并讨论 曲线C的类型 4 如图 动点与两定点 构成 且直线的斜率之积为 4 M 1 0 A 1 0 BMAB MAMB 设动点的轨迹为 求轨迹的方程 MCC 题型八 直线与圆锥曲线综合问题 1 直线与抛物线交于 A B 两点 O 为坐标原点 且 则 的 yxb 2 2xy OAOB b 值为 A 2 B 2 C 1 D 1 2 直线与抛物线相交于两点 若 则抛物线24yx 2 2 0 ypx p AB OAOB 方程为 3 已知双曲线的实轴长为 4 截直线所得弦长为 22 22 1 0 xy ab ab 2yx 20 2 求 1 求双曲线方程 2 写出双曲线的准线和渐近线方程 4 在平面直角坐标系中 已知椭圆 的左焦点为且点xOy 1 C 22 22 1 xy ab 0ab 1 1 0F 在上 0 1P 1 C 求椭圆的方程 1 C 设直线 同时与椭圆和抛物线 相切 求直线 的方程l 1 C 2 C 2 4yx l 5 已知椭圆 的一个顶点为 离心率为 直线C 22 22 1 0 xy ab ab 2 0 A 2 2 与椭圆交于不同的两点 M N 1yk x C 求椭圆的方程 C 当 AMN 得面积为时 求的值 10 3 k 参考答案 一 1 6 BBBABD 二 1 或 2 3 22 1 95 xy 22 1 59 xy 22 1 1510 xy 22 4 1 94 xy 4 5 6 22 1 128 xy 2 8xy 2 4yx 三 1 或 2 5 CBCD 6 1 2 5 3 5 4 四 1 3 DDC 4 2 5 2 6 7 8 8 3 90 17 2 3 五 1 2 2 2 1 线段 P1P2的中点轨迹为 2x2 y2 4x y 0 2 用点差法求得 y 2x 1 但将其代入双曲线方程并化简得 2x2 4x 3 0 此时 8 0 所以这样的 m 不存在 3 设在抛物线 y ax2 1 上关于直线 x y 0 对称的相异两点为 中点 1122 P x yQ xyPQ 为 则 00 M xy 2 2211 12121212 2 22 1 1 yax yya xxa xxxx yax 代入求得 12 12120 12 11 1 2 yy a xxxxx xxaa 0 xy 0 1 2 y a 点在抛物线内部 解得 00 M xy 2 00 2 113 111 244 yaxa aaa 4 3 a 4 解 设 为椭圆上关于直线的对称两点 为弦 111 yxP 222 yxPmxy 4 yxP 的中点 则 21P P1243 2 1 2 1 yx1243 2 2 2 2 yx 两式相减得 即0 4 3 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx0 4 3 21212121 yyyyxxxx 这就是弦中点轨迹方程 xxx2 21 yyy2 21 4 1 21 21 xx yy xy3 21P PP 它与直线的交点必须在椭圆内mxy 4 联立 得 则必须满足 mxy xy 4 3 my mx 3 22 4 3 3xy 即 解得 22 4 3 3 3 mm 13 132 13 132 m 5 1 10 xy 2 设 A B C D 共圆于 OM 因 AB 为弦 故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上 又 CD 为弦 故 圆心 M 为 CD 中点 因此只需证 CD 中点 M 满足 MA MB MC MD 由得 A 1 0 B 3 4 又 CD 方程 y x 3 1 2 y x 1xy 2 2 由得 x2 6x 11 0 1 2 y x 3xy 2 2 设 C x3 y3 D x4 y4 CD 中点 M x0 y0 则 22 3434 1 1 44 10CDxxx x 63xy 3 2 xx x 00 43 0 M 3 6 MC MD CD 又 MA MB 2 1 102102 MA MB MC MD A B C D 在以 CD 中点 M 3 6 为圆心 为半径的圆102 上 六 1 2 3 4 5 9 22 a b1 2 5 4 17 七 1 2 2 12yx 22 1 2516 xy 3 由2OPOMON 得P是MN的中点 设 2211 mxxNmxxMyxP 依题意得 12 12 222 1212 2 2 2 xxx mxmxy xxmxmx 消去 21 x x 整理得1 1 2 2 2 2 m y m x 当1 m时 方程表示焦点在y轴上的椭圆 当10 m时 方程表示焦点在x轴上的椭圆 当1 m时 方程表示圆 4 设 M 的坐标为 x y 当 x 1 时 直线 MA 的斜率不存在 当 x 1 时 直线 MB 的斜率不存在 于是 x 1 且 x 1 此时 MA 的斜率为 MB 的斜率为 1 X y 1 x y 由题意 有 4 化简可得 4x2 y2 4 0 1 y x 1 x y 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2 y2 4 0 x 1 且 x 1 八 1 A 2 2 2yx 3 解 由 得24a 2a 联立 得 22 2 1 4 2 xy b yx 222 4 161640bxxb 2 1212 22 16164 44 b xxxx bb 2 2 121212 2 4 4 4 b xxxxxx b 由弦长公式 得 解得或 舍去 2 12 2 4 2 220 2 4 b xx b 2 5b 2 10 4 3 b 所以所求双曲线方程为 准线方程为 渐近线方程为 22 1 45 xy 4 3 x 5 2 yx 4 解 由左焦点可知 点在上 所以 即 所以 1 1 0F 2 1c 0 1P 1 C 22 22 01 1 ab 2 1b 于是椭圆的方程为 222 2abc 1 C 2 2 1 2 x y 显然直线 的斜率存在 假设其方程为 lykxb 联立 消去 可得 2 2 1 2 x y ykxb y 222 214220kxkbxb 由 可得 联立 2 22 44 21 220kbkb 22 210kb 2 4yx ykxb 消去 可得 由可得 y 222 240k xkbxb 2 22 2440kbb k 1kb 由 解得或 所以直线方程为或 2 2 2 k b 2 2 2 k b 2 2 2 yx 2 2 2 yx 5 解 1 由题意得 222 2 2 2 a c a abc 解得2b 所以椭圆 C 的方程为 22