2020年最新高等数学基础期末考试复习试题及答案

1 高等数学 1 学习辅导 一 第一章函数 理解函数的概念 掌握函数 xfy中符号 f 的含义 了解函数的两要素 会求函数的定义域及函数值 会判 断两个函数是否相等 两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同 了解函数的主要性质 即单调性 奇偶性 有界性和周期性 若对任意x 有 xfxf 则 xf称为偶函数 偶函数的图形关于y轴对称 若对任意x 有 xfxf 则 xf称为奇函数 奇函数的图形关于原点对称 掌握奇偶函数的判别方法 掌握单调函数 有界函数及周期函数的图形特点 熟练掌握基本初等函数的解析表达式 定义域 主要性质和图形 基本初等函数是指以下几种类型 常数函数 cy 幂函数 为实数 xy 指数函数 1 0 aaay x 对数函数 1 0 logaaxy a 三角函数 xxxxcot tan cos sin 反三角函数 xxxarctan arccos arcsin 了解复合函数 初等函数的概念 会把一个复合函数分解成较简单的函数 如函数 1 arctan2 e x y 可以分解 u ye 2 vu wvarctan xw1 分解后的函数前三个都是基本初等函数 而第四个函数是常数 函数和幂函数的和 会列简单的应用问题的函数关系式 例题选解 一 填空题 设 0 1 1 2 xxx x f 则f x 解 设 x t 1 则 t x 1 得 t t tt tf 2 2 111 1 1 故 x x xf 2 11 函数x x xf5 2ln 1 的定义域是 解 对函数的第一项 要求02x且0 2ln x 即2x且3x 对函数的第二项 要求05x 即5x 取公共部分 得函数定义域为 5 3 3 2 函数 xf的定义域为 1 0 则 ln xf的定义域是 解 要使 ln xf有意义 必须使1ln0 x 由此得 ln xf定义域为 e 1 函数 3 9 2 x x y的定义域为 2 解 要使 3 9 2 x x y有意义 必须满足09 2 x且03x 即 3 3 x x 成立 解不等式方程组 得出 3 33 x xx或 故得出函数的定义域为 3 3 设 2 xx aa xf 则函数的图形关于对称 解 xf的定义域为 且有 222 xf aaaaaa xf xxxxxx 即 xf是偶函数 故图形关于y轴对称 二 单项选择题 下列各对函数中 是相同的 A xxgxxf 2 B fxxg xx ln ln 2 2 C fxxg xx ln ln 3 3 D f x x x g xx 2 1 1 1 解 A 中两函数的对应关系不同 xxx 2 B D 三个选项中的每对函数的定义域都不同 所以A B D 都不是 正确的选项 而选项C 中的函数定义域相等 且对应关系相同 故选项C 正确 设函数fx 的定义域为 则函数 f xfx 的图形关于 对称 A y x B x 轴 C y 轴 D 坐标原点 解 设 xfxfxF 则对任意x有 xFxfxfxfxfxfxfxF 即 xF是奇函数 故图形关于原点对称 选项D 正确 3 设函数的定义域是全体实数 则函数 xfxf是 A 单调减函数 B 有界函数 C 偶函数 D 周期函数 解 A B D 三个选项都不一定满足 设 xfxfxF 则对任意x有 xFxfxfxfxfxfxfxF 即 xF是偶函数 故选项C 正确 函数 1 0 1 1 aa a a xxf x x A 是奇函数 B 是偶函数 C 既奇函数又是偶函数 D 是非奇非偶函数 解 利用奇偶函数的定义进行验证 1 1 1 1 1 1 xf a a x aa aa x a a xxf x x xx xx x x 所以 B正确 若函数 2 21 1 x x x xf 则 xf A 2 x B 2 2 x C 2 1 x D 1 2 x 解 因为2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x 所以2 1 1 2 x x x xf 则2 2 xxf 故选项B 正确 3 第二章极限与连续 知道数列极限的 N 定义 了解函数极限的描述性定义 理解无穷小量的概念 了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系 知道无穷小量的比较 无穷小量的运算性质主要有 有限个无穷小量的代数和是无穷小量 有限个无穷小量的乘积是无穷小量 无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量 熟练掌握极限的计算方法 包括极限的四则运算法则 消去极限式中的不定因子 利用无穷小量的运算性质 有理 化根式 两个重要极限 函数的连续性等方法 求极限有几种典型的类型 1 a axax axaaxa x axa kk kk x k k x 2 1 limlim 2 22 0 2 0 2 10 0 10 0 2 limlim 00 xx xx xxxx xx baxx xxxx 3 mn mn b a mn bxbxbxb axaxaxa mm mm nn nn xx 0 0 1 1 10 1 1 10 0 lim 0 熟练掌握两个重要极限 lim sin x x x 0 1 lim x x x 1 1 e 或lim x x x 0 1 1e 重要极限的一般形式 lim sin x x x 0 1 lim fx fx fx 1 1 e 或lim g x g x g x 0 1 1e 利用两个重要极限求极限 往往需要作适当的变换 将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式 再利 用重要极限的结论和极限的四则运算法则 如 3 1 3 3sin lim sin lim 3 1 3 3sin sin 3 1 lim 3sin sin lim 0 0 00 x x x x x x x x x x x x xx 3 1 2 1 2 2 e e e 1 1 lim 2 1 lim 1 1 2 1 lim 1 1 2 1 lim 1 2 lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 理解函数连续性的定义 会判断函数在一点的连续性 会求函数的连续区间 了解函数间断点的概念 会对函数的 间断点进行分类 间断点的分类 已知点 0 xx是的间断点 若 xf在点 0 xx的左 右极限都存在 则0 xx称为 xf的第一类间断点 4 若 xf在点 0 xx的左 右极限有一个不存在 则 0 xx称为 xf的第二类间断点 理解连续函数的和 差 积 商 分母不为0 及复合仍是连续函数 初等函数在其定义域内连续的结论 知道闭 区间上连续函数的几个结论 典型例题解析 一 填空题 极限lim sin sin x x x x 0 2 1 解 010 sin lim 1 sinlim sin 1 sin lim sin 1 sin lim 000 2 0 x x x x x x x x x x x xxxx 注意 0 1 sinlim 0 x x x 无穷小量乘以有界变量等于无穷小量 1 1 1 sin lim 1 sin 1 lim sin lim 0 00 x x x x x x x xx 其中 x x x sin lim 0 1 是第一个重要极限 函数 01 0 1 sin xx x x x xf的间断点是x 解 由 xf是分段函数 0 x是 xf的分段点 考虑函数在0 x处的连续性 因为1 0 1 1 lim0 1 sinlim 00 fx x x xx 所以函数 xf在 0 x 处是间断的 又 xf在 0 和 0 都是连续的 故函数 xf的间断点是 0 x 设23 2 xxxf 则ffx 解 32 xxf 故 201842 32 3 32 22 xxxxxff 函数 1ln 2 xy的单调增加区间是 二 单项选择题 函数在点处 A 有定义且有极限 B 无定义但有极限 C 有定义但无极限 D 无定义且无极限 解 xf在点处没有定义 但 0 1 sinlim 0 x x x 无穷小量有界变量 无穷小量 故选项 B 正确 下列函数在指定的变化过程中 是无穷小量 A e 1 x x B sin x x x C ln 11xx D x x x 11 0 解 无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量 所以 5 0 sin lim x x x 而 A C D 三个选项中的极限都不为0 故选项B 正确 三 计算应用题 计算下列极限 124 23 lim 2 2 2 xx xx x x x x x 1 3 lim 15 510 2 12 32 1 lim 3 x xx x 4 x x x 3sin 11 lim 0 解 6 1 6 2 2 1 124 23 2 2 x x xx xx xx xx 124 23 lim 2 2 2 xx xx x 8 1 6 1 lim 2 x x x 43 1 3 3 1 e 1 e e 3 1 lim 1 1 lim 3 1 1 1 lim 3 1 lim 1 3 lim x n x n x x n x n x n x x x x x x x x 题目所给极限式分子的最高次项为 15510 32 2 xxx 分母的最高次项为 15 12x 由此得 3 8 12 32 2 12 32 1 lim 15 510 x xx x 4 当0 x时 分子 分母的极限均为0 所以不能用极限的除法法则 求解时先有理化根式在利用除法法则和第一 个重要极限计算 11 3s i n 11 lim 11 3sin 11 11 lim 3sin 11 lim 000 xx x xx xx x x xxx 6 1 2 1 3 1 11 1 lim 3sin 3 lim 3 1 11 3sin lim 000 xx x xx x xxx 2 设函数 0 s i n 0 0 1 si n x x x xa xb x x xf 问 1 ba 为何值时 xf在0 x处有极限存在 2 ba 为何值时 xf在0 x处连续 解 1 要 xf在0 x处有极限存在 即要 lim lim 00 xfxf xx 成立 因为bb x xxf xx 1 sin lim lim 00 所以 当1b时 有 lim lim 00 xfxf xx 成立 即1b时 函数在0 x处有极限存在 又因为函数在某点处有极 限与在该点处是否有定义无关 所以此时a可以取任意值 2 依函数连续的定义知 函数在某点处连续的充要条件是 1 sin lim lim 00 x x xf xx 6 lim lim 0 0 0 xfxfxf xx xx 于是有afb 0 1 即 1ba 时函数在 0 x 处连续 第三章导数与微分 导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一 在学习的时候要侧重以下几点 理解导数的概念 了解导数的几何意义 会求曲线的切线和法线 会用定义计算简单函数的导数 知道可导与连续 的关系 xf在点 0 xx处可导是指极限 x xfxxf x lim 00 0 存在 且该点处的导数就是这个极限的值 导数的定义式还可写成极限 0 0 lim 0 xx xfxf xx 函数 xf在点 0 xx处的导数 0 xf的几何意义是曲线 xfy上点 00 xfx处切线的斜率 曲线 xfy在点 00 xfx处的切线方程为 000 xfxxxfy 函数 xfy在 0 x点可导 则在 0 x点连续 反之则不然 函数 xfy在 0 x点连续 在 0 x点不一定可导 了解微分的概念 知道一阶微分形式不变性 熟记导数基本公式 熟练掌握下列求导方法 1 导数的四则运算法则 2 复合函数求导法则 3 隐函数求导方法 4 对数求导方法 5 参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算 如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时 求导时采用取对数求导法 例如函数 x x y 2 1 求y 在求导时直接用导数的除法法则是可以的 但是计算时会麻烦一些 而且容易出错 如果我们把函数先进行变形 即 2 1 2 1 2 3 22 2 12 1 xxx x xx x x y 再用导数的加法法则计算其导数 于是有 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 xxxy 这样计算不但简单而且不易出错 又例如函数 3 2 1 x x y 求y 显然直接求导比较麻烦 可采用取对数求导法 将上式两端取对数得 2ln 3 1 1ln 2 1 lnxxy 两端求导得 2 3 1 1 2 1 xxy y 整理后便可得 7 2 6 8 2 1 2 3 xx x x x y 若函数由参数方程 ty tx 的形式给出 则有导数公式 d d t t x y 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则 复合函数的求导法则计算函数的导数 能够利用隐函数求导法 取对数求导法 参数表示的函数的求函数的导数 熟练掌握微分运算法则 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 vuvudd d vuuvvudd d 0 dd d 2 v v vuuv v u 一阶微分形式的不变性 uyxuyxyy uxux dddd 微分的计算可以归结为导数的计算 但要注意它们之间的不同之处 即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘 积 了解高阶导数的概念 会求显函数的二阶导数 函数的高阶高数即为函数的导数的导数 由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数 要求函数的n阶导数就 要先求函数的1n阶导数 第三章导数与微分典型例题选解 一 填空题 设函数 xf在0 x邻近有定义 且1 0 0 0 ff 则 x xf x lim 0 解 1 0 0 0 lim lim 00 f x fxf x xf xx 故应填 1 曲线 x y 1 在点 1 1 处切线的斜率是 解 由导数的几何意义知 曲线 xf在 0 xx处切线的斜率是 0 xf 即为函数在该点处的导数 于是 2 1 2 1 1 2 1 1 2 3 2 3 x xyxy 故应填 2 1 设fxxx 2 45 则ffx 解 42 xxf 故 372445 42 4 42 22 xxxxxff 故应填37244 2 xx 二 单项选择题 8 设函数 2 xxf 则 2 2 lim 2 x fxf x A x2 B 2 C 4 D 不存在 解 因为 2 2 2 lim 2 f x fxf x 且 2 xxf 所以42 2 2x xf 即 C 正确 设x x f 1 则 xf A x 1 B x 1 C 2 1 x D 2 1 x 解 先要求出 xf 再求 xf 因为 x x x f 1 1 1 由此得 x xf 1 所以 2 1 1 xx xf 即选项 D 正确 3 设函数 2 1 1 xxxxxf 则 0 f A 0 B 1 C 2 D 2 解 因为 1 1 2 1 2 1 1 2 1 xxxxxxxxxxxxxf 其中的三项当 0 x 时为 0 所 以 2 20 10 10 0 f 故选项 C 正确 4 曲线yx x e在点 处的切线斜率等于0 A 0 1 B 1 0 C 01 D 1 0 解 x ye1 令0y得0 x 而1 0 y 故选项C 正确 5 yxsin 2 则y A cosx 2 B cosx 2 C 2 2 xxcos D 2 2 xxcos 解 222 cos2 cosxxxxy 故选项 C 正确 三 计算应用题 设 x xy sin 22tan 求 2 d x y 解 由导数四则运算法则和复合函数求导法则 2ln2cos 2cos 2 sin 2 x x x y 由此得 xxy x d2d 2ln2 2 cos cos 2 d 2 sin 2 2 设 e e xfx fy 其中 xf为可微函数 求y 解 e e e e xfxxfx ffy e e e e e xfff xfxxfxx e e ee e xfff xfxxfxx e e e e xfff xxxxf 求复合函数的导数时 要先搞清函数的复合构成 即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的 特别要分清复合函 数的复合层次 然后由外层开始 逐层使用复合函数求导公式 一层一层求导 关键是不要遗漏 最后化简 9 3 设函数yy x 由方程xy x y y eln确定 求 d d y x 解 方法一 等式两端对x求导得 2 e y yxy x y yyxy y 整理得 xxyyx xyy y y e 2 2 方法二 由一阶微分形式不变性和微分法则 原式两端求微分得 左端yyxxyxyxy yyy dedd e d d e d 右端 2 dd d lnd y yxxy x y y x x y y x 由此得 2 dd dedd y yxxy x y yyxxy y 整理得 xxyyx xyy x y y ed d 2 2 4 设函数yy x 由参数方程 x t yt 2 2 1 确定 求 d d y x 解 由参数求导法 t t x y x y t t 1 2 2 1 d d 5 设xxyarctan 1 2 求y 解1arctan2 1 1 1 arctan2 2 2 xx x xxxy 2 1 2 arctan2 1arctan2 x x xxxy 第四章导数的应用典型例题 一 填 空 题 1 函数 1ln 2 xy的单调增加区间是 解 2 1 2 x x y 当0 x时0y 故函数的单调增加区间是 0 2 极限 x x x 1 ln lim 1 解 由洛必达法则 10 1 1 1 lim 1 ln lim 1 ln lim 111 x x x x x xxx 3 函数 ee 2 1 xx xf的极小值点为 解 ee 2 1 xx xf 令0 xf 解得驻点0 x 又0 x时 0 xf 0 x时 0 xf 所以0 x 是函数 ee 2 1 xx xf的极小值点 二 单选题 1 函数1 2 xy在区间 2 2 上是 A 单调增加 B 单调减少 C 先单调增加再单调减少 D 先单调减少再单调增加 解 选择D xy2 当0 x时 0 xf 当0 x时 0 xf 所以在区间 2 2 上函数 1 2 xy先单调减少再单调增 加 2 若函数 xfy满足条件 则在 ba内至少存在一点 ba 使得 ab afbf f 成立 A 在 ba内连续 B 在 ba内可导 C 在 ba内连续 在 ba内可导 D 在 ba内连续 在 ba内可导 解 选择D 由拉格朗日定理条件 函数 xf在 ba内连续 在 ba内可导 所以选择D正确 3 满足方程0 xf的点是函数 xfy的 A 极值点 B 拐点 C 驻点 D 间断点 解 选择C 依驻点定义 函数的驻点是使函数一阶导数为零的点 4 设函数 xf在 ba内连续 0 bax 且0 00 xfxf 则函数在 0 xx处 A 取得极大值 B 取得极小值 C 一定有拐点 00 xfx D 可能有极值 也可能有拐点 解 选择D 函数的一阶导数为零 说明 0 x可能是函数的极值点 函数的二阶导数为零 说明 0 x可能是函数的拐点 所以选择D 三 解答题 1 计算题 求函数 1ln xxy的单调区间 解 函数 1ln xxy的定义区间为 1 由于 x x x y 11 1 1 令0y 解得0 x 这样可以将定义区间分成 0 1 和 0 两个区间来讨论 当01x时 0y 当 x0是 0y 由此得出 函数 1ln xxy在 0 1 内单调递减 在 0 内单调增加 2 应用题 欲做一个底为正方形 容积为108 立方米的长方体开口容器 怎样做法所用材料最省 11 解 设底边边长为x 高为 h 所用材料为y 且 2 2 108 108 x hhx xhxy4 2 2 2 2 2 432108 4 x x x xx 2 3 2 4322432 2 x x x xy 令0y得60 216 2 3 xx 且因为0 6 0 6yxyx 所以108 6 yx为最小值 此时3h 于是以 6 米为底边长 3 米为高做长方体容器用料最省 3 证明题 当1x时 证明不等式 eex x 证 设函数xxfln 因为 xf在 0 上连续可导 所以 xf在 1 x上满足拉格朗日中值定理条件 有公式可 得 1 1 xcffxf 其中xc1 即 1 1 1lnlnx c x 又由于1c 有1 1 c 故有 1lnxx 两边同时取以e为底的指数 有 1ln ee xx 即 e e x x 所以当1x时 有不等式 eex x 成立 第 5 章学习辅导 2 典型例题解析 一 填空题 曲线在任意一点处的切线斜率为2x 且曲线过点 2 5 则曲线方程为 解 cxxx 2 d2 即曲线方程为cxy 2 将点 5 2 代入得1c 所求曲线方程为 1 2 xy 已知函数f x 的一个原函数是 2 arctanx 则 xf 解 4 2 1 2 arctan x x xxf 24 4 24 44 4 1 62 1 8 1 2 1 2 x x x xx x x xf 已知 F x 是fx 的一个原函数 那么f axbx d 解 用凑微分法 d 1 d 1 d baxbaxf a axbaxf a xbaxf 12 cbaxF a baxF a 1 d 1 二 单项选择题 设cxxxxflnd 则 xf A 1ln x B xln C x D xxln 解 因 1lnln ln x x x xxxxf 故选项 A 正确 设 F x 是fx 的一个原函数 则等式 成立 A d d d x f xxF x B Fxxfxc d C FxxF x d D d d d x f xxf x 解 正确的等式关系是 d d d xfxxf x cxFxxF d 故选项 D 正确 设 F x 是fx 的一个原函数 则xxxfd 1 2 A cxF 1 2 B cxF 1 2 C cxF 1 2 1 2 D cxF 解 由复合函数求导法则得 1 1 2 1 1 2 1 222 xxfxF 1 1 1 2 1222 xxfxxf 故选项 C 正确 三 计算题 计算下列积分 x x x 1 2 d 1 2 2 x x xd 解 利用第一换元法 d 1 12 1 d 12 1 d 1 2 2 2 22 x x x x x x x cxx 22 1 1d 利用第二换元法 设txsin ttxdcosd t t t t t t t tt x x x 1 d sin 1 d sin sin1 d sin coscos d 1 22 2 22 2 13 1 0 2 1 0 2 33dttdxx cx x x ctta r c s i n 1 c o t 2 计算下列积分 xxdarcsin x x x d ln 2 解 利用分部积分法 x x x xxxxxxxxd 1 arcsin arcsindarcsindarcsin 2 d 1 12 1 a r c s i n 2 2 x x xx cxxx 2 1a r c s i n 利用分部积分法 lnd 1ln 1 d lnd ln 2 x xx x x xx x x c xx x x xx x1ln d 1ln 2 高等数学 1 第六章学习辅导 综合练习题 一 单项选择题 1 下列式子中 正确的是 A 0 2 2 dxxfB C dxxdxx 1 0 1 0 2 D 2 下列式子中 正确的是 A xtdt x coscos 0 B C 0cos 0 x tdtD xtdt x coscos 0 3 下列广义积分收敛的是 A 0 dex x B x x d 1 1 C 0 cosdxxD x x d 1 2 1 4 若 xf是 aa上的连续偶函数 则 a a dxxf A 0 d a xxfB 0 C 0 d 2 a xxfD a xxf 0 d 5 若 xf与 xg是 ba上的两条光滑曲线 则由这两条曲线及直线bxax 所围图形的面积 b a a b dxxfdxxf xtdtcoscos 2 0 14 A b a dxxgxf B b a dxxgxf C b a dxxfxg D b a dxxgxf 答案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 A 解 1 根据定积分定义及性质可知A 正确 而 b a a b dxxfdxxf B 不正确 在 0 1 区间内 dxxdxxxx 1 0 1 0 22 C 不正确 根据定积分定义可知 定积分值与函数及定积分的上 下限有关 而与积分变量的选取无关 故 D 不正确 2 由变上限的定积分的概念知 xttxtt x x cosdcos cosdcos 0 0 A C 不正确 由定积分定义知B 不正确 D 正确 3 ee lim de lim de 0 00 b b b x b x xx A 不正确 1ln ln lim ln lim 1 lim 1 1 11 bxdx x dx xb b b b b B 不正确 不 存 在 0si n si n lim cos lim cos 00 bdxxdxx b b b C 不正确 D D 正确 4 由课本344 页 6 4 2 和 345页 6 4 3 知 C 正确 5 所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数 A 正确 二 填空题 cos lim 0 0 x tdt x x 1 2 de 1 2 xFtxF x t 则设 3 在区间2 0上 曲线xysin和x轴所围图形的面积为 4 4 2 0 2 dxx 5 发散无穷积分dx x p a p 1 a 0 p 0 答案 1 1 1 lim 1 limlim1 1 2 1 1 2 1 bx dx x dx x b b b b b 15 2 4x 解 1 10cos 1 cos lim dcos lim 0 0 0 x x tt x x x 2 22 22 11 2 2 xx xxtt exxedtexFdtexF 2 所围图形的面积S 40coscos2cos2sin2 0 0 xxdx 3 由定积分的几何意义知 定积分的值等于 4 y 所围图形的面积 2 2 0 2 2 4 1 4dxx 5 p 1 时无穷积分发散 三 计算下列定积分 1 4 0 2dxx 2 xxxd 1 1 0 3 e 1 d ln1 x x x 4 5 2 0 2sin xdxx 答案 1 4 2 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 0 2 4 2 2 0 4 0 xxxxdxxdxxdxx 2 6 7 2 1 3 2 1 1 0 2 2 3 1 0 xxdxxx 3 2 3 ln1 2 1 ln1 ln1 ln1 1 2 11 e ee xxdxdx x x 4 5 4 2sin 4 1 4 2cos 2 1 2cos 2 1 2sin 2 0 2 0 2 0 2 0 xxdxxxxdxx 四 定积分应用 求由曲线1yx 及直线2 yxy所围平面图形的面积 dxxx 2 1 0 2 1 16 4sin 4 1 8 1 2 cos4t1 4 1 2sin 4 1 cossin cos 2 t0 sint x 1 2 0 2 0 2 0 2 0 22 2 0 2 2 1 0 2 txdttdttdtt tdtdx dxxx 原式 设解 16 解 画草图求交点由 y x xy 1 得 x 1 y 1 2 y 2 y x 0 xy 1 第七章 综合练习题 一 单项选择题 1 若 成立 则级数 1n n a发散 其中nS表示此级数的部分和 A 0lim n n s B n a单调上升 C 0lim n n aD n n alim不存在 2 当条件 成立时 级数 1n nnba 一定发散 A 1n n a发散且 1n n b收敛 B 1n n a发散 C 1n n b发散 D 1n n a和 1n n b都发散 3 若正项级数 1n n a收敛 则 收敛 A 1n naB 1 2 n n a C 2 1 ca n n D 1 ca n n 4 若两个正项级数 1n n a 1n n b满足 2 1 nba nn 则结论 是正确的 A 1n n a发散则 1n n b发散 B 1n n a收敛则 1n n b收敛 C 1n n a发散则 1n n b收敛 D 1n n a收敛则 1n n b发散 5 若 f x n n nx a 0 则 n a A 0 n f n B n xf n C 0 n f n D 1 n 答案 1 D 2 A 3 B 4 A 5 C 二 填空题 1 当q 时 几何级数 n n nq a 0 收敛 2ln 2 3 ln 2 1 1 A 2 1 2 2 1 yydy y y 所求平面图形面积 x y 17 2 级数 1 1 5 1 n n n 是 级数 3 若级数 0n n a收敛 则级数 0n n a 4 指数函数f x x e展成x 的幂级数为 5 若幂级数 n n ny a 0 的收敛区间为 9 9 则幂级数 n n n xa 2 0 3 的收敛区间为 答案 1 1 则由比值判别法可知 1 3 n n n n n 发散 由于 1 1 n n n 是交错级数 且 n a 2 1 1 11 1 na nn n 及0 1 limlim n a n n n 由莱布尼兹判别法知级数 1 1 n n n 收敛 2 求下列幂级数的收敛半径 1n n n x 1 2 4 1 n n n n x 解 1 1 limlim 1 n n a a n n n n 因此收敛半径R 1 令 1 2 yx得幂级数 14n n n n y 可知 14n n n n y 的收敛半径为4 所以原幂级数的收敛半径 第八章 综合练习题及参考答案 4 1 1 4 lim 4 1 1 4 1 limlim 1 1 n n n n a a n n n n n n n 18 一 单项选择题 1 下列阶数最高的微分方程是 A sin 3 yxyyyB 35 65xyy