二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义龙文教育学科教师辅导讲义 课课 题题二次函数知识点总汇二次函数知识点总汇 教学目标教学目标 介绍一些些能加快速度的计算公式介绍一些些能加快速度的计算公式 教学内容教学内容 3 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 对称轴是直线 a b x 2 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得到顶点为 对称轴是直线 khxay 2 h khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴 对称轴 与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 9 抛物线中 的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy 2 故 时 对称轴为轴 即 同号 时 对称轴在轴左侧 即 a b x 2 0 by0 a b aby0 a b a 异号 时 对称轴在轴右侧 by 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负半轴 0 c0 cy0 cy 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y0 a b 11 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 12 直线与抛物线的交点 1 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 hcbhah 2 3 抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元二次方程的两个实数cbxaxy 2 x 1 x 2 x0 2 cbxax 根 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定 x 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 同 3 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐标相等 设纵坐标为 则横坐标是k 的两个实数根 kcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像的交点 由方程组 0 knkxyl 0 2 acbxaxyG 的解的数目来确定 方程组有两组不同的解时与有两个交点 方程组只有一组解时与 cbxaxy nkxy 2 lG l 只有一个交点 方程组无解时与没有交点 G lG 6 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为 由于 是方程xcbxaxy 2 x 00 21 xBxA 1 x 2 x 的两个根 故的两个根 故0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 6 点到坐标轴及原点的距离 点 P x y 到坐标轴及原点的距离 1 点 P x y 到 x 轴的距离等 2 点 P x y 到 y 轴的距离等于 3 点 P x y 到原点的距离等于yx 22 yx 5 反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图 过反比例函数图像上任一点 P 作 x 轴 y 轴的垂线 PM PN 则所得的矩形 PMON 的面积 S PMPN 0 k x k y xyxy kSkxy x k y 考点三 二次函数的最值考点三 二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数在顶点处取得最大值 或最小值 即当时 a b x 2 a bac y 4 4 2 最值 如果自变量的取值范围是 那么 首先要看是否在自变量取值范围内 若在此范围内 则当 21 xxx a b 2 21 xxx x 时 若不在此范围内 则需要考虑函数在范围内的 a b 2 a bac y 4 4 2 最值21 xxx 2 函数平移规律 中考试题中 只占 3 分 但掌握这个知识点 对提高答题速度有很大帮助 可以大大节省做题的时间 3 直线斜率 b为直线在y轴上的截距 12 12 tan xx yy k 4 直线方程 一般两点斜截距 1 一般 一般 直线方程 ax by c 0 2 两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程 简称两点式 最最常用 记牢 1 12 12 1 xx xx yy yy 3 点斜 知道一点与斜率知道一点与斜率 11 xxkyy 4 斜截 斜截式方程 简称斜截式 y kx b k 0 5 截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距 x y 式方程 简称截距式 1 b y a x 记牢可大幅提高运算速度 5 设两条直线分别为 1 l 11 yk xb 2 l 22 yk xb 若 则有且 12 ll 1212 llkk 12 bb 若 1212 1llkk 6 点P x0 y0 到直线y kx b 即 kx y b 0 的距离 1 1 2 00 22 00 k bykx k bykx d 对于点 P x0 y0 到直线滴一般式方程 ax by c 0 滴距离有 常用记牢 22 00 a ba cbyx d 2 如图 已知二次函数的图象与坐标轴交于点 A 1 0 和点 2 4yaxxc B 0 5 1 求该二次函数的解析式 2 已知该函数图象的对称轴上存在一点 P 使得 ABP 的周长最小 请求出 点 P 的坐标 解 1 根据题意 得 2 分 0405 1 4 1 0 2 2 ca ca 解得 3 分 5 1 c a 二次函数的表达式为 4 分54 2 xxy 2 令 y 0 得二次函数的图象与 x 轴 54 2 xxy 的另一个交点坐标 C 5 0 5 分 由于 P 是对称轴上一点 2 x 连结 AB 由于 26 22 OBOAAB 要使 ABP 的周长最小 只要最小 6 分PBPA 由于点A 与点C 关于对称轴对称 连结 BC 交对称轴于点 P 则 BP PC BC 根据两点之间 线段最短 可得2 xPBPA 的最小值为BC PBPA 因而BC 与对称轴的交点 P 就是所求的点 8 分2 x 设直线 BC 的解析式为 根据题意 可得解得bkxy 50 5 bk b 5 1 b k 所以直线 BC 的解析式为 9 分5 xy 因此直线 BC 与对称轴的交点坐标是方程组的解 解得2 x 5 2 xy x 3 2 y x 所求的点 P 的坐标为 2 3 10 分 压轴题中求最值压轴题中求最值 此种题多分类讨论 求出函数关系式 再求各种情况的最值 最后求出最值 典型例题 1 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC B 90 BC 6 AD 3 DCB 30 点E F同时从 B 点出发 沿射线BC向右匀速移动 已知 F点移动速度是E点移动速度的 2 倍 以EF为一边在CB的上方作等边 EFG 设 E 点移动距离为x x 0 EFG的边长是 用含有x的代数式表示 当 x 2 时 点 G 的位置在 若 EFG 与梯形 ABCD 重叠部分面积是 y 求 当 0 x 2时 y与x之间的函数关系式 当 2 x 6时 y与 x 之间的函数关系式 探求 中得到的函数 y 在 x 取含何值时 存在最大值 并求出最大值 B E F C A D G 解 x D 点 当 0 x 2时 EFG在梯形 ABCD 内部 所以y x2 4 3 分两种情况 当 2 x 3时 如图 1 点 E 点 F 在线段 BC 上 EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为四边形 EFNM FNC FCN 30 FN FC 6 2x GN 3x 6 由于在 Rt NMG 中 G 60 所以 此时 y x2 3x 6 2 4 3 8 3 2 39 2 39 8 37 2 xx 当 3 x 6时 如图 2 点 E 在线段 BC 上 点 F 在射线 CH 上 EFG与梯形 ABCD 重叠部分为 ECP EC 6 x y 6 x 2 8 3 2 39 2 33 8 3 2 xx 当 0 x 2时 y x2在 x 0 时 y 随 x 增大而增大 4 3 x 2 时 y最大 3 当 2 x 3时 y 在 x 时 y最大 2 39 2 39 8 37 2 xx 7 18 7 39 当 3 x 6时 y 在 x 6 时 y 随 x 增大而减小 2 39 2 33 8 3 2 xx x 3 时 y最大 8 39 综上所述 当 x 时 y最大 7 18 7 39 如图 直线分别与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 直线与 AB 交于点 C 与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点6 4 3 xyxy 4 5 D 点 E 从点 A 出发 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动 过点 E 作 x 轴的垂线 分别交直线 AB OD 于 P Q 两点 以 PQ 为 边向右作正方形 PQMN 设正方形 PQMN 与 ACD 重叠部分 阴影部分 的面积为 S 平方单位 点 E 的运动时间为 t 秒 1 求点 C 的坐标 2 当 0 t0 时 直接写出点 4 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围 2 9 参考公式 二次函数 y ax2 bx c 图象的顶点坐标为 a bac a b 4 4 2 2 解 1 由题意 得解得 4 5 6 4 3 xy xy 4 15 3 y x B E F C A D G N M 图 1 B E C F A D G P H 图 2 C 3 4 15 2 根据题意 得 AE t OE 8 t 点 Q 的纵坐标为 8 t 点 P 的纵坐标