九年级数学上册专题突破讲练巧添辅助线证相似三角形习题新版青岛版

1 专题课件 巧添辅助线证相似三角形巧添辅助线证相似三角形 一 添加平行线构造一 添加平行线构造 A A 8 8 型型 1 1 定理 定理 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边延长线 相交 所构成的三角形 与原三角形相似 1 定理的基本图形 2 燕尾图形辅助线的添加方法 G F E D C B A G F E D C B A G F E D CB A D E FC B A 注意 注意 1 选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系 2 一般会出现两组三角形相似 注意相似三角形的对应边 3 通过线段比例之间的等量代换求解 2 2 方法归纳 方法归纳 1 遇燕尾 作平行 构造 A 字 8 字一般行 2 引平行线应注意以下几点 选点 一般选已知 或求证 中线段的比的前项或后项 以同一直线的线段的端点 作为引平行线的点 引平行线时 不破坏已知条件中的数量关系 尽量使较多已知线段 求证线段成比 例 二 二 作垂线构造相似直角三角形作垂线构造相似直角三角形 1 1 基本图形基本图形 2 2 2 所用知识点所用知识点 1 等量代换 等角的余角相等 2 相似三角形对应高线的比等于相似比 注意 注意 1 相似三角形中对应边要找准 2 利用高线解决问题 一般会用到设未知数 列方程的思想 例题例题 平行四边形ABCD中 CE AE CF AF 求证 2 AB AEAD AFAC 解析 解析 作BM AC于点M 可证 ABM ACE 则AB AE AM AC 易得 BCM CAF 则BC AF CM AC 故得出结论 答案 答案 作BM AC于点M 则 AMB AEC 90 BAM CAE ABM ACE AB AE AM AC BCM CAF 易得 BCM CAF BC AF CM AC 2 AB AEBC AFAMACCMACAC AMCMAC AD BC 2 AB AEAD AFAC 点拨 点拨 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质 注意辅助线的添加 总结提高总结提高 本节所讲授内容中 主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段 角度之间的关 3 系 需注意以下四点 1 添加辅助线的原则 2 构造出的基本模型 3 相似三角形中的对应关系 4 复杂问题中等量代换的灵活应用 例题例题 用一根手指顶住一个平面图形内的某点 如果平面图形能保持平衡 那么这个 点叫这个平面图形的重心 平行四边形的重心是对角线的交点 三角形的重心是三条中线 的交点 请你用下图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为 1 2 即在 ABC中 BE CD是两条中线 它们交于G 求证 DG CG EG BG 1 2 解析 解析 连接AG 交DE于点H 延长AG交BC于点F 根据三角形中位线定理得到 则F 通过 HEG FBG的对应边成比例证得结论 1 2 DEBC 1 2 HEBE 答案 答案 如图 连接AG 交DE于点H 延长AG交BC于点F 点G是 ABC的重心 点F是BC的中点 BF FC D E是AB AC的中点 DE是 ABC的中位线 DE BC 1 2 DEBC HE BF F 1 2 HEBE HEG FBG 即EG BG 1 2 1 2 GEHE GBBF 同理 DG CG 1 2 4 12DG CGEG BG 点拨 点拨 本题考查了三角形的重心定理的证明 作辅助线构造三角形的中位线和相似三 角形是解题的关键 也是本题的难点 本定理要求学生能记住 并熟练应用 答题时间 答题时间 3030 分钟 分钟 一 选择题一 选择题 1 绥化 如图 在平行四边形ABCD中 E是CD上的一点 DE EC 2 3 连接 AE BE BD 且AE BD交于点F 则 DEFEBFABF SSS A 2 5 23 B 4 9 24 C 2 3 5 D 4 10 25 2 如图 在矩形ABCD中 E F分别是边AD BC的中点 点G H在DC边上 且 若AB 15 BC 16 则图中阴影部分的面积是 1 3 GHDC A 40 B 60 C 80 D 70 3 如图 四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 点R为DE的中点 BR分别交 AC CD于点P Q 求BP PQ QR A 3 1 2 B 5 3 4 C 6 5 4 D 4 1 2 4 如图 在 ABC中 D为AC上一点 CD 2DA BAC 45 BDC 60 CE BD于E 连接AE 过E作EF CD交BC于F 下列结论 BE EC BC2 AC DC S BEC S BEA 2 1 2EFAD 其中正确结论的个数有 26 4 sin BCA 5 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 二 填空题二 填空题 5 武清区一模 如图 Rt ABC中 BAC 90 AB 3 AC 4 点P为BC上任 意一点 连接PA 以PA PC为邻边作平行四边形PAQC 连接PQ 则PQ的最小值为 6 如图 Rt ABC中 AC BC AD平分 BAC交BC于点D DE AD交AB于点E M 为AE的中点 BF BC交CM的延长线于点F BD 4 CD 3 下列结论 AED ADC AC BE 12 3BF 4AC 其中结论正确的是 3 4 DE DA 7 温州一模 如图 在Rt ABC中 ABC 90 以点C为圆心作弧 分别交 AC CB的延长线于点D F 连结DF 交AB于点E 已知 940 BEFCDF SS tan DFC 2 则BC ABC S 6 8 嘉兴 如图 在Rt ABC中 ABC 90 BA BC 点D是AB的中点 连接 CD 过点B作BG丄CD 分别交CD CA于点E F 与过点A且垂直于AB的直线相交于点 G 连接DF 给出以下四个结论 点F是GE的中点 AGFG ABFB 其中正确结论的序号是 2 3 AFAB 5 ABCBDF SS 三 解答题三 解答题 9 如图 AB为半圆的直径 D为AB上一点 分别在半圆上取点E F 使 EA DA FB DB 过D作AB的垂线 交半圆于C 求证 CD平分EF 10 在 ABC中 C 90 AC 4 BC 3 1 如图 1 四边形DEFG为 ABC的内接正方形 求正方形的边长 2 如图 2 三角形内并排的两个相等的正方形 它们组成的矩形内接于 ABC 求 正方形的边长 3 如图 3 三角形内并排的三个相等的正方形 它们组成的矩形内接于 ABC 求 正方形的边长 4 如图 4 三角形内并排的n个相等的正方形 它们组成的矩形内接于 ABC 求 正方形的边长 7 11 丰台区二模 阅读下列材料 已知 如图 1 在Rt ABC中 C 90 AC 4 BC 3 P为AC边上的一动点 以 PB PA为边构造平行四边形 求对角线PQ的最小值及此时的值是多少 APBQ AP AC 在解决这个问题时 小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识 端点分别在 两条平行线上的所有线段中 垂直于平行线的线段最短 进而 小明构造出了如图 2 的辅 助线 并求得PQ的最小值为 3 参考小明的做法 解决以下问题 1 继续完成阅读材料中的问题 当PQ的长度最小时 AP AC 2 如图 3 延长PA到点E 使AE nPA n为大于 0 的常数 以PE PB为边作平 行四边形 那么对角线PQ的最小值为 此时 PBQE AP AC 3 如图 4 如果P为AB边上的一动点 延长PA到点E 使AE nPA n为大于 0 的 常数 以PE PC为边作平行四边形 那么对角线PQ的最小值为 此时PCQE AP AC 8 12 若已知 如图 AB BD CD BD 垂足分别为B D AD和BC相交于点 E EF BD 垂足为F 我们可以证明 111 ABCDEF 成立 不要求考生证明 若将图中的垂线改为斜交 如图 AB CD AD BC相交于点E 过点E作EF AB交 BD于点F 则 1 111 ABCDEF 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说明理由 2 请找出间的关系式 并给出证明 和 ABDBEDBDC SSS 9 1 D 解析 根据平行四边形的性质求出DC AB DC AB 求出DE AB 2 5 根据相 似三角形的判定推出 DEF BAF 求出 DEF和 ABF的面积比 根据三角形的面积公式 求出 DEF和 EBF的面积比 即可求出答案 2 D 解析 连接EF 过O作MN DC于N 交EF于M 求出四边形DEFC是矩形 推出 EF CD EF CD 15 证 EOF GOH 推出 求出ON 2 OM 6 根据3 EFOM GHON 阴影部分的面积 S矩形DEFC S EFO S HOG 分别求出 代入即可 3 A 解析 由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 可证得 PBC RBE 继 而可得 PB PR 又由点R为DE的中点 PCQ RDQ 可得 1 2 PCBC REBE 继而可求得BP PQ QR的值 1 2 PQPCPC QRDRRE 4 C 解析 作AH BD的延长线于H 作BG CD于G 根据条件利用直角三角形的性 质求出 EBA EAB 就可以得出BE AE 由 ECD EAD 得出CE AE 可以得出 是 正确的 设参数利用勾股定理就可以求出BC的值 从而得出结论 根据等底的两三角 形面积之比等于高之比 运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论 根据平行 线的性质得出三角形相似 根据性质求出EF与AD的数量关系 而得出结论 根据三角 函数值的定义建立直角三角形 用参数表示出相应边的值就可以求出结论 5 解析 以PA PC为邻边作平行四边形PAQC 由平行四边形的性质可知O是AC 12 5 中点 PQ最短也就是PO最短 所以应该过O作BC的垂线P O 然后根据 P OC和 ABC相似 利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值 解题的关键是作高线构造各种相 似三角形 6 解析 AED 90 EAD ADC 90 DAC EAD DAC 易证 ADE ACD 得DE DA DC AC 3 AC AC不一定等于 4 由 证 BED BDA 得 得 12 连接DM 可证DM BF AC DC AD ED BD BE DCBDACBE AC 得FM MC BD DC 4 3 易证 FMB CMA 得比例线段求解 7 解析 由在Rt ABC中 ABC 90 tan DFC 2 可得BE 2BF 又由 98 7 3 S BEF 9 即可求得BF与BE的长 然后过点C作CH DF于点H 设DH h 可求得h的 值 继而由勾股定理求得BC的长 首先过点D作DM BC于点M 利用三角形的面积求得 DM的长 然后由相似三角形的对应边成比例 求得AB的长 继而求得答案 8 解析 根据题意首先易证得 AFG CFB 根据相似三角形的对应边成比例与 BA BC 继而证得正确 由点D是AB的中点 易证得BC 2BD 由等角的余角 AGFG ABFB 相等 可得 DBE BCD 即可得 继而可得 即可得 1 2 AGAB 1 2 FGBF 又由等腰直角三角形的性质 可得 即可求得 1 3 AFAC 2ACAB 2 3 AFAB 则可得 6 ABCBDF SS 10 9 证明 如图 分别过点E F作AB的垂线 G H为垂足 连FA EB 易知 2222 DBFBAB HBADAEAG AB 两式相减得 即 22 DBADABHB AG DBADABABHBAG 于是 DBADHBAGDBHBADAG 或 DH GD 显然 EG CD FH 故CD平分EF 10 解 1 在图 1 中作CN AB 交GF于点M 交AB于点N 在Rt ABC中 AC 4 BC 3 AB 5 CN 12 5 GF AB CGF CAB CMGF CNAB 设正方形边长为x 则 x 12 5 12 5 5 x x 60 37 2 在图 2 中作CN AB 交GF于点M 交AB于点N GF AB CGF CAB CMGF CNAB 11 设每个正方形边长为x 则 12 2 5 12 5 5 x x x 60 49 3 在图 3 中作CN AB 交GF于点M 交AB于点N GF AB CGF CAB CMGF CNAB 设每个正方形的边长为x 则 12 3 5 12 5 5 x x x 60 61 4 设每个正方形的边长为x 同理得到 则x 12 5 12 5 5 x nx 60 1225n 11 解 1 如图 2 四边形APBQ是平行四边形 AP BQ AP BQ QP AC ACB 90 APQ C 90 PQ BC PC BQ PQ BC C 90 四边形PCBQ是矩形 QB PC AP PC 1 2 AP AC 2 如图 5 12 由题意可知 当QP AC时 PQ最短 QP AC ACB 90 APQ C 90 PQ BC 四边形PBQE是平行四边形 EP BQ EP BQ PC BQ PQ BC C 90 四边形PCBQ是矩形 QB PC PQ BC 3 EP PC AE nPA 1PCEPEAAPnPAAPnAP 12ACAPPCAPnAPnAP 1 22 APAP ACnAPn 3 过点C作CH AB 垂足为H 如图 6 由题意可知 当QP AB时 PQ最短 QP AB CH AB