三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导 1 三角函数的定义 由此 我们定义 如 Figure I 在 ABC 中 sin cos tan 11 cot tan 11 sec cos 11 csc sin b c a c b a a b b a c a a c c b b c 对边 的正弦值 斜边 邻边 的余弦值 斜边 对边 的正切值 邻边 邻边 的余切值 对边 斜边 的正割值 邻边 斜边 的余割值 对边 备注 当用一个字母或希腊字母表示角时 可略写 符号 但用三个子母表 Figure I 示时 不能省略 在本文中 我们只研究 sin cos tan 2 额外的定义 22 22 22 sin sin cos cos tan tan 3 简便计算公式 22 sincoscos 90 cossinsin 90 111 tan tantan 90 sincos1 b A c c A b b a aA b 证明 222 22 22 2 22 90 1 sinsin1 sincos1 ABCABC abc ab cc BA 在中 证完 22 2 222 sin tan cos sincos1 tan1 coscoscos b b c a a c 4 任意三角形的面积公式 如 FigureII Figure II 1 2 1 sin 2 1 sin 2 ABC Sah abC acB 两边和其夹角正弦的乘积 5 余弦定理 任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与 两邻边积的两倍之比 证明 如 Figure II 222 22 22222 2222 22 222222 cos sin 2coscossin 2cos cossin 2cos cos 22 bdh acBcB aacBcBcB aacBcBB acacB bacacb B acac 证完 6 海伦公式 证明 如 Figure II 2 2 222 444222222 22 22444222222 22 22444222222 22 22 44422 22 1 sin 2 1 1 cos 2 1 1 22 1222 1 24 14222 24 14222 44 2 1 4 ABC SabC abC abc ab ab abca ba cb c ab a b a babca ba cb c ab a b a babca ba cb c a b a b abca b a b 2222 22 22 4 16 a cb c a b abcabcbcaabc 222 2 2 2 2 222 2222 2222 2 ABC abccabcbabcaabc abccabcbabcaabc abc abcabcabc abc abc s Ss sasbsc 设 7 正弦定理 Figure III 如 Figure III c 为 ABC 外接圆的直径 sin 2 sin a A c a crrABC A 为的外接圆半径 同理 sinsin 2 sinsinsin bc cc BC abc r ABC 8 加法定理 1 两角差的余弦 如 Figure IV AOC BOC AOB 令 AO BO r 点 A 的横坐标为cos A xr 点 A 的纵坐标为sin A yr 点 B 的横坐标为cos B xr Figure IV 点 B 的纵坐标为sin B yr 22 2 22 2222222222 22222 22222 2 sinsincoscos sinsin2sinsincoscos2coscos sinsin2sinsincoscos2coscos sincossincos2sinsin2coscos 1 1 2 s ABAB AByyxx rrrr rrrrrr r r r 2 2 insincoscos 22 sinsincoscos 21sinsincoscos r r 由余弦公式可得 222 22 22 2 2 2cos 2cos 22cos 22cos 21 cos ABACBCAC BCACB rrr r rr r r 综上得 cossinsincoscos 2 两角和的余弦 coscos sinsincoscos sinsincoscos coscossinsin 3 两角和的正弦 sincos 90 cos90 sin 90sincos 90cos cossinsincos 4 两角差的正弦 sinsin cossinsincos cossinsincos sincoscossin 5 两角和的正切 sin tan cos cossinsincos coscossinsin cossinsincos coscos coscossinsin coscos sinsin coscos sinsin 1 coscos tantan 1tantan 6 两角差的正切 tantan tantan 1tantan tantan 1tantan 9 两倍角公式 22 22 22 2 22 2 2 2 sin 2sin sincossincos 2sincos cos 2cos coscossinsin cossin 1 2sin2cos1 sin 2 tan 2 cos 2 2sincos cossin 2sincos cos cossin cos 2sin cos sin 1 cos 2tan 1ta 2 n 10 积化和差公式 1 sincos2sincos 2 1 sincossincoscossincossin 2 1 sinsin 2 1 coscos2coscos 2 1 coscoscoscossinsinsinsin 2 1 coscos 2 1 sinsin2sinsin 2 1 sinsinsinsincoscoscoscos 2 1 coscos 2 11 和差化积公式 1 设 A B sinsinsinsin sincoscossinsincoscossin 2sincos 2sincos 22 2sincos 22 sinsinsinsin sincoscossinsincoscossin 2cossi AB ABAB AB n 2cossin 22 2cossin 22 ABAB 2 设 2222 cos sin ab abab 22 cossin1 2222 2222 22 22 sinsincos cossinsincos sin sin ba babab abab ab a ba 12 其他常用公式 0 0 0 sin360sin cos360cos tan360tan sin 90cos cos 90sin 1 tan 90 tan sin 90cos cos 90sin 1 tan 90 tan sin90cos cos90sin 1 tan90 tan sin 180sin cos 180cos n n n tan 180tan sin180sin cos180cos tan180tan sinsin coscos tantan tan2190 1cos1cos1 1sin1sin1 n 不存在 13 特殊的三角函数值 00 15 12 30 6 45 4 60 3 5 75 12 90 2 sin0 62 4 1 2 2 2 3 2 62 4 1 cos1 62 4 3 2 2 2 1 2 62 4 0 tan023 3 3 1323 N A 14 关于机器算法 在计算机中 三角函数的算法是这样的 其中 x 用弧度计算 135721 0 0246 0 sin 1 3 5 7 21 cos 0 2 4 6 2 n n n n xxxxx x n xxxxx x n 推导公式 a b c sinA sinB sinC 2R 其中 R 为外接圆半径 由正弦定理有 a sinA b sinB c sinC 2R 所以 a 2R sinA b 2R sinB c 2R sinC 加起来 a b c 2R sinA sinB sinC 带入 a b c sinA sinB sinC 2R sinA sinB sinC sinA sinB sinC 2R 两角和公式 sin A B sinAcosB cosAsinB sin A B sinAcosB cosAsinB cos A B cosAcosB sinAsinB cos A B cosAcosB sinAsinB tan A B tanA tanB 1 tanAtanB tan A B tanA tanB 1 tanAtanB cot A B cotAcotB 1 cotB cotA cot A B cotAcotB 1 cotB cotA 倍角公式 Sin2A 2SinA CosA 对数的性质及推导 用 表示乘方 用 log a b 表示以 a 为底 b 的对数 表示乘号 表示除号 定义式 若 a n b a 0 且 a 1 则 n log a b 基本性质 1 a log a b b 2 log a MN log a M log a N 3 log a M N log a M log a N 4 log a M n nlog a M 推导 1 这个就不用推了吧 直接由定义式可得 把定义式中的 n log a b 带 入 a n b 2 MN M N 由基本性质 1 换掉 M 和 N a log a MN a log a M a log a N 由指数的性质 a log a MN a log a M log a N 又因为指数函数是单调函数 所以 log a MN log a M log a N 3 与 2 类似处理 MN M N 由基本性质 1 换掉 M 和 N a log a M N a log a M a log a N 由指数的性质 a log a M N a log a M log a N 又因为指数函数是单调函数 所以 log a M N log a M log a N 4 与 2 类似处理 M n M n 由基本性质 1 换掉 M a log a M n a log a M n 由指数的性质 a log a M n a log a M n 又因为指数函数是单调函数 所以 log a M n nlog a M 其他性质 性质一 换底公式 log a N log b N log b a 推导如下 N a log a N a b log b a 综合两式可得 N b log b a log a N b log a N log b a 又因为 N b log b N 所以 b log b N b log a N log b a 所以 log b N log a N log b a 这步不明白或有疑问看上面的 所以 log a N log b N log b a 性质二 不知道什么名字 log a n b m m n log a b 推导如下 由换底公式 lnx 是 log e x e 称作自然对数的底 log a n b m ln a n ln b n 由基本性质 4 可得 log a n b m n ln a m ln b m n ln a ln b 再由换底公式 log a n b m m n log a b 性质及推导完 公式三 log a b 1 log b a 证明如下 由换底公式 log a b log b b log b a 取以 b 为底的对数 log b b 1 1 log b a 还可变形得 log a b log b a 1 平方关系 sin 2 cos 2 1 tan 2 1 sec 2 cot 2 1 csc 2 商的关系 tan sin cos cot cos sin 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 2 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 tan 2tan 2 1 tan 2 2 常用的诱导公式有以下几组 公式一 设 为任意角 终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan cot 2k cot 公式二 设 为任意角 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三 任意角 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四 利用公式二和公式三可以得到 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式五 利用公式一和公式三可以得到 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot 公式六 2 及 3 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan 以上 k Z 一般的最常用公式有 Sin A B SinA CosB SinB CosA Sin A B SinA CosB SinB CosA Cos A B CosA CosB SinA SinB Cos A B CosA CosB SinA SinB Tan A B TanA TanB 1 TanA TanB Tan A B TanA TanB 1 TanA TanB 平方关系 sin 2 cos 2 1 tan 2 1 sec 2 cot 2 1 csc 2 积的关系 sin tan cos cos cot sin tan sin sec cot cos csc sec tan csc csc sec cot 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 直角三角形 ABC 中 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 辅助角公式 Asin Bcos A 2 B 2 1 2 sin t 其中 sint B A 2 B 2 1 2 cost A A 2 B 2 1 2 倍角公式 sin 2 2sin cos 2 tan cot cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 tan 2 2tan 1 tan 2 三倍角公式 sin 3 3sin 4sin 3 cos 3 4cos 3 3cos 半角公式 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 tan 2 1 cos 1 cos sin 1 cos 1 cos sin 降幂公式 sin 2 1 cos 2 2 versin 2 2 cos 2 1 cos 2 2 vercos 2 2 tan 2 1 cos 2 1 cos 2 万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 2 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 tan 2tan 2 1 tan 2 2 积化和差公式 sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin cos cos 1 2 cos cos sin sin 1 2 cos cos 和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 其他 sin sin 2 n sin 2 2 n sin 2 3 n sin 2 n 1 n 0 cos cos 2 n cos 2 2 n cos 2 3 n cos 2 n 1 n 0 以及 sin 2 sin 2 2 3 sin 2 2 3 3 2 tanAtanBtan A B tanA tanB tan A B 0 部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示 由泰勒级数易得 sinx e ix e ix 2i cosx e ix e ix 2 tanx e ix e ix ie ix ie ix 泰勒展开有无穷级数 e z exp z 1 z 1 z 2 2 z 3 3 z 4 4 z n n 此时三角函数定义域已推广至整个复数集 三角函数作为微分方程的解 对于微分方程组 y y y y 有通解 Q 可证明 Q Asinx Bcosx 因此也可以从此出发定义三角函数 补充 由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数 双曲函数 其 拥有很多与三角函数的类似的性质 二者相映成趣 特殊三角函数值 a0 30 45 60 90 sina01 2 2 2 3 21 cosa1 3 2 2 21 20 tana0 3 31 3None cotaNone 31 3 30 三角函数的计算 幂级数 c0 c1x c2x2 cnxn cnxn n 0 c0 c1 x a c2 x a 2 cn x a n cn x a n n 0 它们的各项都是正整数幂的幂函数 其中 c0 c1 c2 及 a 都是常数 这 种级数称为幂级数 泰勒展开式 幂级数展开法 f x f a f a 1 x a f a 2 x a 2 f n a n x a n 实用幂级数 ex 1 x x2 2 x3 3 xn n ln 1 x x x2 3 x3 3 1 k 1 xk k x 1 sinx x x3 3 x5 5 1 k 1 x2k 1 2k 1 x cosx 1 x2 2 x4 4 1 k x2k 2k x arcsinx x 1 2 x3 3 1 3 2 4 x5 5 x 1 arccosx x 1 2 x3 3 1 3 2 4 x5 5 x 1 arctanx x x 3 3 x 5 5 x 1 sinhx x x3 3 x5 5 1 k 1 x2k 1 2k 1 x coshx 1 x2 2 x4 4 1 k x2k 2k x arcsinhx x 1 2 x3 3 1 3 2 4 x5 5 x 1 arctanhx x x 3 3 x 5 5 x 1 傅立叶级数 三角级数 f x a0 2 n 0 ancosnx bnsinnx a0 1 f x dx an 1 f x cosnx dx bn 1 f x sinnx dx 注意 正切也可以表示为 Tg 如 TanA TgA Sin2a 2SinaCosa Cos2a Cosa 2 Sina 2 1 2Sina 2 2Cosa 2 1 Tan2a 2Tana 1 Tana 2 众所周知 在数学和物理中 三角函数是一个重要的工具 以下是一些推导公式 希望对大家有 作用 平方关系 sin 2 cos 2 1 cos 2a 1 cos2a 2 tan 2 1 sec 2 sin 2a 1 cos2a 2 cot 2 1 csc 2 积的关系 sin tan cos cos cot sin tan sin sec cot cos csc sec tan csc csc sec cot 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 直角三角形 ABC 中 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 三角和的三角函数 sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos tan tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 辅助角公式 Asin Bcos A 2 B 2 1 2 sin t 其中 sint B A 2 B 2 1 2 cost A A 2 B 2 1 2 tant B A Asin Bcos A 2 B 2 1 2 cos t tant A B 倍角公式 sin 2 2sin cos 2 tan cot cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 tan 2 2tan 1 tan 2 三倍角公式 sin 3 3sin 4sin 3 cos 3 4cos 3 3cos 半角公式 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 tan 2 1 cos 1 cos sin 1 cos 1 cos sin 降幂公式 sin 2 1 cos 2 2 versin 2 2 cos 2 1 cos 2 2 covers 2 2 tan 2 1 cos 2 1 cos 2 万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 2 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 tan 2tan 2 1 tan 2 2 积化和差公式 sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin cos cos 1 2 cos cos sin sin 1 2 cos cos 和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 推导公式 tan cot 2 sin2 tan cot 2cot2 1 cos2 2cos 2 1 cos2 2sin 2 1 sin sin 2 cos 2 2 其他 sin sin 2 n sin 2 2 n sin 2 3 n sin 2 n 1 n 0 co