“对数平均数不等式”应用举隅

对数平均数不等式对数平均数不等式 应用举隅应用举隅 江苏省姜堰中学 张圣官 已知为两不等的正实数 我们称为的 对数平均数 它与的 a b lnln ab ab a b a b 几何平均数 及 算术平均数 之间有如下不等关系 ab 2 ba lnln2 abab ab ab 证明 证明 不妨设 先证 即证 0ab lnln ab ab ab a b b a b a ln 令 设 1 a t t b 1 2ln 1 f tttt t 则 所以在递减 而 0 1 1 1 2 2 2 2 t t tt tf f t 1 1 0f 因此当时 恒成立 即成立 1t 1 2ln0f ttt t a b b a b a ln 再证 即证 lnln2 abab ab 1 1 2 ln b a b a b a 令 1 a t t b 2 1 g ln 1 1 t ttt t 则 所以在递增 而 因0 1 1 1 41 2 2 2 tt t tt tgg t 1 g 1 0 此当时 恒成立 即成立 1t 2 1 ln0 1 t t t lnln2 abab ab 该不等式本身的证明乃通过构造函数 借助于导数作为工具 利用函数单调性而 得 在处理某些与指数 对数相关的不等式问题时 可以尝试应用它来帮助思考分析 例例 1 已知函数 x f xeaxa 1 当时 求过点的曲线的切线方程 2a 0 2 P xfy 2 当存在两个不同零点时 求证 f x 2121 xxxx 2121 xxxx 分析 分析 第 1 题易得切线方程为 第 2 题中我们先要探究 当 2 2yex 存在两个不同零点时 需要具备什么条件 又能推得什么结论 转化 f x 2121 xxxx 为研究曲线和直线 当直线与曲线相切时 设切点为 则切线 x ey aaxy 0 0 x ex 方程为 因此 这样当存在两个 0 00 xxeey xx 2 0 0 2 1 0 0 ea x axe ae x x f x 不同零点时 必有 进一步思考 要证明 2121 xxxx 21 2 21 xxea 可转化为证明 或等思路 2121 xxxx 1 11 21 xx 1 1 1 21 xx 方法一方法一 即要证 令 由于1 11 21 xx 2 1 0 1 1 2 1 1 2 2 1 1 x t x t 所以 为方程 1 1 2 1 2 1 xae xae x x 1ln ln 1ln ln 22 11 xax xax 21 t t 的两根 0ln 1 1 1 ln a tt th 由于 所以在递增 在递减 1 1211 1 1 22 tt t ttt th th 2 1 0 1 2 1 设 则 在递增 1 ththt 1 ththt t 2 1 0 从而 当时 即 2 1 0 t0 2 1 t 1 thth 所以 因此 即原不等式成立 1 221 ththth 21 1 tt 方法二方法二 即要证 由于 1 1 1 21 xx 1 1 2 1 2 1 xae xae x x 因而 12 1 1212 2 1 1 1 ln 1 ln 1 1 xx x exxxx x 令 则 1 1 1 0 1 2211 xtxt 1122 lntlnttt 在递增 在递减 h t lnt t 1 0 1 设 其在递减 所以 1 t t hh t 1 0 1 t 1 0 所以 从而 1 1 12 t hthth 1 1 21 1 2 t t t t 由此得 即 1 1 1 21 xx 2121 xxxx 本题是近年来流传甚广的一道题 其条件结论非常优美 以上两种方法散见于各种资 料上 它们的特点均是通过构造辅助函数来帮助论证的 总的来说 解题过程较为繁琐 而且要经过两次构造函数才行 现在让我们换一种思路 将指数关系转化为对数关系 这 样刚才的对数平均数不等式或许就能够帮得上忙 以下解法令人拍案叫绝 真的是 大道 至简 方法三方法三 由于 1 1 2 1 2 1 xae xae x x 因而 12 1 1212 2 1 1 1 ln 1 ln 1 1 xx x exxxx x 由对数平均数不等式知 12 12 12 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 xx xx xx 从而 即 1 1 1 21 xx 2121 xxxx 例例 2 2010 年天津高考理科 21 题 已知函数 x f xxexR 求函数的单调区间和极值 f x 已知函数 y 的图象与函数 y 的图象关于直线对称 证明 当g x f x1x 时 1x f xg x 如果 且 证明 12 xx 12 f xf x 12 2xx 分析 分析 略 由前知 是函数的极值点 不妨设1x f x 则根据 有 即 按照常规思 21 10 xx 12 f xf x 1 1 x x e 2 2 x x e 12 2 1 xx x e x 路 一般设 则 然后通过构 12 2 1 1 xx x et t x 21 12 12 1 ln ln1 xtx tt xx xxtt 造函数来解决 但如此需要两次构造函数过程繁琐 而且还要用到 1 ln 1 1 tt h tt t 像罗必塔法则这样高等数学的知识 还是让我们调整一下思路 利用对数平均数不等式试 试看 将两边取自然对数得 故 1 1 x x e 2 2 x x e 1122 lnlnxxxx 12 12 1 lnln xx xx 由对数平均数不等式知 即 1212 12 1 lnln2 xxxx xx 12 2xx 例例 3 2014 年江苏省南通二模试题 设函数 其图像与轴交于 x f xeaxa x 两点 且 12 0 0 A xB x 12 xx 求实数的取值范围 a 求证 12 0fx x 解 解 由 当时 单调递增 不合题意 当 x fxea 0a 0fx f x 时在递减 在递增 则根据条件有两个零点得0a f x ln a ln a f x 从而实数的取值范围为 ln 2ln0faaaa a 2 ae 由 两式相减得 从而 1 2 1 2 x x eaxa eaxa 21 21 xx ee a xx 1221 12 2 21 2 xxxx xxee fe xx 在以上的对数平均数不等式中 将分别赋值为 则得 a b 21 xx ee 即 21 12 21 xx xx ee ee xx 1221 12 2 21 0 2 xxxx xxee fe xx 又是单调增函数 且 x fxea 12 12 2 xx x x 故 12 12 0 2 xx fx xf 例例 4 2011 年辽宁高考理科压轴题 已知函数 2 ln 2 f xxaxa x 1 讨论函数的单调性 f x 2 设 证明 当时 0a 1 0 x a 11 fxfx aa 3 若函数的图象与轴交于 A B 两点 线段 AB 中点的横坐标为 证 yf x x 0 x 明 0 0fx 分析 分析 1 2 略 3 由 1 知时在单调递减且0a yfx 0 已知函数的图象与轴交于 A B 两点 设 1 0f a yf x x 由得 1212 1 0 0 0A xB xxx a 12 0f xf x 故 2 111 ln 2 0 xaxa x 2 222 ln 2 0 xaxa x 所以 22 12121212 lnln2 xxxxa x