【2015年】高考全国卷1理科数学试题及答案

试卷第 1 页 总 15 页 2015 年高考理科数学试卷全国卷年高考理科数学试卷全国卷 1 1 设复数 z 满足 i 则 z 1 1 z z A 1 B 2 C 3 D 2 2 oooo sin20 cos10cos160 sin10 A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 3 设命题p 2 2nnN n 则p 为 A 2 2nnN n B 2 2nnN n C 2 2nnN n D 2 2nnN n 4 投篮测试中 每人投 3 次 至少投中 2 次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中 的概率为 0 6 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为 A 0 648 B 0 432 C 0 36 D 0 312 5 已知 M 00 xy 是双曲线 C 2 2 1 2 x y 上的一点 12 F F是 C 上的两个焦点 若 12 0MFMF 则 0 y的取值范围是 A 3 3 3 3 B 3 6 3 6 C 2 2 3 2 2 3 D 2 3 3 2 3 3 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依 垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆为一个圆锥的四分之一 米 堆底部的弧长为 8 尺 米堆的高为 5 尺 问米堆的体积和堆放的米各为多 少 已知 1 斛米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆放斛的 米约有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 7 设D为ABC 所在平面内一点3BCCD 则 A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 8 函数 f x cos x 的部分图像如图所示 则 f x的单调递减区间为 试卷第 2 页 总 15 页 A 13 44 kkkZ B 13 2 2 44 kkkZ C 13 44 kkkZ D 13 2 2 44 kkkZ 9 执行右面的程序框图 如果输入的 t 0 01 则输出的 n A 5 B 6 C 7 D 8 10 25 xxy 的展开式中 52 x y的系数为 A 10 B 20 C 30 D 60 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为 r 组成一个几何体 该几何体三 视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 16 20 则 r A 1 B 2 C 4 D 8 12 设函数 f x 21 x exaxa 其中 a1 若存在唯一的整数 0 x 使得 0 f x 0 则a的取值范围是 A 3 2e 1 B 3 2e 3 4 C 3 2e 3 4 D 3 2e 1 13 若函数 f x 2 ln xxax 为偶函数 则 a 14 一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点 且圆心在 x 轴的正半轴上 则该圆的标 准方程为 15 若 x y满足约束条件 10 0 40 x xy xy 则 y x 的最大值为 16 在平面四边形 ABCD 中 A B C 75 BC 2 则 AB 的取值范围是 试卷第 3 页 总 15 页 17 本小题满分 12 分 n S为数列 n a 的前n项和 已知 n a 0 2 nn aa 43 n S 求 n a 的通项公式 设 1 1 n nn b a a 求数列 n b 的前n项和 18 如图 四边形 ABCD 为菱形 ABC 120 E F 是平面 ABCD 同一侧的两点 BE 平面 ABCD DF 平面 ABCD BE 2DF AE EC 证明 平面 AEC 平面 AFC 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 19 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费 x 单位 千元 对年销售量 y 单位 t 和年利润 z 单位 千元 的影响 对近 8 年的年宣传费 i x和年销售量 i y i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些 统计量的值 x y w 8 2 1 i i xx 8 2 1 i i ww 8 1 ii i xxyy 8 1 ii i ww yy 46 656 36 8289 81 61469108 8 表中 ii wx w 1 8 8 1 i i w 根据散点图判断 y a bx 与 y c dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传 试卷第 4 页 总 15 页 费 x 的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 根据 的判断结果及表中数据 建立 y 关于 x 的回归方程 已知这种产品的年利率 z 与 x y 的关系为 z 0 2y x 根据 的结果回答下 列问题 年宣传费 x 49 时 年销售量及年利润的预报值是多少 年宣传费 x 为何值时 年利率的预报值最大 附 对于一组数据 11 u v 22 u v nn u v 其回归线vu 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 20 本小题满分 12 分 在直角坐标系xoy中 曲线 C y 2 4 x 与直线 ykxa a 0 交与 M N 两点 当 k 0 时 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程 y 轴上是否存在点 P 使得当 k 变动时 总有 OPM OPN 说明理由 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x 3 1 ln 4 xaxg xx 当 a 为何值时 x 轴为曲线 yf x 的切线 用min m n 表示 m n 中的最小值 设函数 min 0 h xf x g xx 讨论 h x 零点的个数 22 本题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 是的直径 AC 是的切线 BC 交于 E 若 D 为 AC 的中点 证明 DE 是的切线 若3OACE 求 ACB 的大小 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 试卷第 5 页 总 15 页 在直角坐标系xOy中 直线 1 C x 2 圆 2 C 22 121xy 以坐标原点 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求 1 C 2 C的极坐标方程 若直线 3 C的极坐标方程为 4 R 设 2 C与 3 C的交点为M N 求 2 C MN 的面积 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 x 1 2 x a a 0 当 a 1 时 求不等式 f x 1 的解集 若 f x 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6 求 a 的取值范围 答案解析答案解析 1 答案 A 解析 由1 1 z i z 得 1 1 i z i 1 1 1 1 ii ii i 故 z 1 故选 A 考点 本题主要考查复数的运算和复数的模等 2 答案 D 解析 原式 oooo sin20 cos10cos20 sin10 o sin30 1 2 故选 D 考点 本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式 3 答案 C 解析 p 2 2nnN n 故选 C 考点 本题主要考查特称命题的否定 4 答案 A 解析 根据独立重复试验公式得 该同学通过测试的概率为 223 30 6 0 40 6C 0 648 故选 A 考点 本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5 答案 A 解析 由题知 12 3 0 3 0 FF 2 2 0 0 1 2 x y 所以 12 MFMF 0000 3 3 xyxy 222 000 3310 xyy 解得 0 33 33 y 故选 A 考点 双曲线的标准方程 向量数量积坐标表示 一元二次不等式解法 6 答案 B 解析 设圆锥底面半径为 r 则 1 2 38 4 r 16 3 r 所以米堆的体积为 试卷第 6 页 总 15 页 2 1116 3 5 433 320 9 故堆放的米约为 320 9 1 62 22 故选 B 考点 圆锥的性质与圆锥的体积公式 7 答案 A 解析 由题知 11 33 ADACCDACBCACACAB 14 33 ABAC 故选 A 考点 平面向量的线性运算 8 答案 D 解析 由五点作图知 1 42 53 42 解得 4 所以 cos 4 f xx 令22 4 kxkkZ 解得 1 2 4 k x 3 2 4 k kZ 故单调减区间为 1 2 4 k 3 2 4 k kZ 故选 D 考点 三角函数图像与性质 9 答案 C 解析 执行第 1 次 t 0 01 S 1 n 0 m 1 2 0 5 S S m 0 5 2 m m 0 25 n 1 S 0 5 t 0 01 是 循环 执行第 2 次 S S m 0 25 2 m m 0 125 n 2 S 0 25 t 0 01 是 循环 执行第 3 次 S S m 0 125 2 m m 0 0625 n 3 S 0 125 t 0 01 是 循环 执行第 4 次 S S m 0 0625 2 m m 0 03125 n 4 S 0 0625 t 0 01 是 循环 执行第 5 次 S S m 0 03125 2 m m 0 n 5 S 0 03125 t 0 01 是 循环 执行第 6 次 S S m 0 2 m m 0 n 6 S 0 t 0 01 是 循环 执行第 7 次 S S m 0 2 m m 0 n 7 S 0 t 0 01 否 输出 n 7 故选 C 考点 本题注意考查程序框图 10 答案 C 解析 在 25 xxy 的 5 个因式中 2 个取因式中 2 x剩余的 3 个因式中 1 个取x 其余因式取 y 故 52 x y的系数为 212 532 C C C 30 故选 C 考点 本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数 名师点睛 本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数 试题形式新颖 是中 档题 求多项展开式式某一项的系数问题 先分析该项的构成 结合所给多项式 分 析如何得到该项 再利用排列组知识求解 11 答案 B 试卷第 7 页 总 15 页 解析 由正视图和俯视图知 该几何体是半球与半个圆柱的组合体 圆柱的半径与 球的半径都为 r 圆柱的高为 2r 其表面积为 22 1 4222 2 rrrrrr 22 54rr 16 20 解得 r 2 故选 B 考点 简单几何体的三视图 球的表面积公式 圆柱的测面积公式 12 答案 D 解析 设 g x 21 x ex yaxa 由题知存在唯一的整数 0 x 使得 0 g x在 直线yaxa 的下方 因为 21 x g xex 所以当 1 2 x 时 g x 0 当 1 2 x 时 g x 0 所以当 1 2 x 时 max g x 1 2 2e 当0 x 时 0 g 1 1 30ge 直线yaxa 恒过 1 0 斜率且a 故 0 1ag 且 1 1 3geaa 解得 3 2e a 1 故选 D 考点 本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 13 答案 1 解析 由题知 2 ln yxax 是奇函数 所以 22 ln ln xaxxax 22 ln ln0axxa 解得a 1 考点 函数的奇偶性 14 答案 22 325 24 xy 解析 设圆心为 a 0 则半径为4a 则 222 4 2aa 解得 3 2 a 故 圆的方程为 22 325 24 xy 考点 椭圆的几何性质 圆的标准方程 15 答案 3 解析 作出可行域如图中阴影部分所示 由斜率的意义知 y x 是可行域内一点与原 试卷第 8 页 总 15 页 点连线的斜率 由图可知 点 A 1 3 与原点连线的斜率最大 故 y x 的最大值为 3 考点 线性规划解法 16 答案 62 6 2 解析 如图所示 延长 BA CD 交于 E 平移 AD 当 A 与 D 重合与 E 点时 AB 最长 在 BCE 中 B C 75 E 30 BC 2 由正弦定理可得 sinsin BCBE EC 即 oo 2 sin30sin75 BE 解得BE 6 2 平移 AD 当 D 与 C 重合时 AB 最短 此 时与 AB 交于 F 在 BCF 中 B BFC 75 FCB 30 由正弦定理知 sinsin BFBC FCBBFC 即 oo 2 sin30sin75 BF 解得 BF 62 所以 AB 的取值 范围为 62 6 2 考点 正余弦定理 数形结合思想 17 答案 21n 11 646n 解析 试题分析 先用数列第n项与前n项和的关系求出数列 n a 的递推公式 可以 判断数列 n a 是等差数列 利用等差数列的通项公式即可写出数列 n a 的通项公式 根据 数列 n b 的通项公式 再用拆项消去法求其前n项和 试题解析 当1n 时 2 1111 2434 3aaSa 因为0 n a 所以 1 a 3 当2n 时 22 11nnnn aaaa 1 4343 nn SS 4 n a 即 试卷第 9 页 总 15 页 111 2 nnnnnn aaaaaa 因为0 n a 所以 1nn aa 2 所以数列 n a 是首项为 3 公差为 2 的等差数列 所以 n a 21n 由 知 n b 1111 21 23 2 2123nnnn 所以数列 n b 前 n 项和为 12n bbb 1111111 235572123nn 11 646n 考点 数列前 n 项和与第 n 项的关系 等差数列定义与通项公式 拆项消去法 18 答案 见解析 3 3 解析 试题分析 连接 BD 设 BD AC G 连接 EG FG EF 在菱形 ABCD 中 不妨设 GB 1 易证 EG AC 通过计算可证 EG FG 根据线面垂直判定定理可知 EG 平面 AFC 由面面垂直判定定理知平面 AFC 平面 AEC 以 G 为坐标原点 分别以 GB GC 的方向为x轴 y 轴正方向 GB 为单位长度 建立空间直角坐标系 G xyz 利用向量法可求出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值 试题解析 连接 BD 设 BD AC G 连接 EG FG EF 在菱形 ABCD 中 不妨设 GB 1 由 ABC 120 可得 AG GC 3 由 BE 平面 ABCD AB BC 可知 AE EC 又 AE EC EG 3 EG AC 在 Rt EBG 中 可得 BE 2 故 DF 2 2 在 Rt FDG 中 可得 FG 6 2 在直角梯形 BDFE 中 由 BD 2 BE 2 DF 2 2 可得 EF 3 2 2 222 EGFGEF EG FG AC FG G EG 平面 AFC EG 面 AEC 平面 AFC 平面 AEC 试卷第 10 页 总 15 页 如图 以 G 为坐标原点 分别以 GB GC 的方向为x轴 y 轴正方向 GB 为 单位长度 建立空间直角坐标系 G xyz 由 可得 A 0 3 0 E 1 0 2 F 1 0 2 2 C 0 3 0 AE 1 3 2 CF 1 3 2 2 10 分 故 3 cos 3 AE CF AE CF AECF 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 3 3 考点 空间垂直判定与性质 异面直线所成角的计算 空间想象能力 推理论证能力 19 答案 ycdx 适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型 100 668yx 46 24 解析 试题分析 由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数 令 wx 先求出建立y关于w的线性回归方程 即可y关于x的回归方程 利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值 再根据年利率 z 与 x y 的关系为 z 0 2y x 即可年利润 z 的预报值 根据 的结果知 年利润 z 的 预报值 列出关于x的方程 利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时 的年宣传费用 试题解析 由散点图可以判断 ycdx 适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归 方程类型 试卷第 11 页 总 15 页 令wx 先建立y关于w的线性回归方程 由于 8 1 8 2 1 ii i i i ww yy d ww 108 8 68 16 cydw 563 68 6 8 100 6 y关于w的线性回归方程为 100 668yw y关于x的回归方程为 100 668yx 由 知 当x 49 时 年销售量y的预报值 100 668 49y 576 6 576 6 0 24966 32z 根据 的结果知 年利润 z 的预报值 0 2 100 668 13 620 12zxxxx 当x 13 6 6 8 2 即46 24x 时 z 取得最大值 故宣传费用为 46 24 千元时 年利润的预报值最大 12 分 考点 非线性拟合 线性回归方程求法 利用回归方程进行预报预测 应用意识 20 答案 0axya 或0axya 存在 解析 试题分析 先求出 M N 的坐标 再利用导数求出 M N 先作出判定 再利 用设而不求思想即将ykxa 代入曲线 C 的方程整理成关于x的一元二次方程 设 出 M N 的坐标和 P 点坐标 利用设而不求思想 将直线 PM PN 的斜率之和用a表示出 来 利用直线 PM PN 的斜率为 0 即可求出 a b关系 从而找出适合条件的 P 点坐标 试题解析 由题设可得 2 Ma a 2 2 Na 或 2 2 Ma 2 Na a 1 2 yx 故 2 4 x y 在x 2 2a处的到数值为a C 在 2 2 a a处的切线方程 为 2 yaa xa 即0axya 故 2 4 x y 在x 2 2a处的到数值为 a C 在 2 2 a a 处的切线方程为 试卷第 12 页 总 15 页 2 yaa xa 即0axya 故所求切线方程为0axya 或0axya 存在符合题意的点 证明如下 设 P 0 b 为复合题意得点 11 M x y 22 N xy 直线 PM PN 的斜率分别为 12 k k 将ykxa 代入 C 得方程整理得 2 440 xkxa 1212 4 4xxk x xa 12 12 12 ybyb kk xx 1212 12 2 kx xab xx x x k ab a 当ba 时 有 12 kk 0 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 故 OPM OPN 所以 0 Pa 符合题意 考点 抛物线的切线 直线与抛物线位置关系 探索新问题 运算求解能力 21 答案 3 4 a 当 3 4 a 或 5 4 a 时 h x由一个零点 当 3 4 a 或 5 4 a 时 h x有两个零点 当 53 44 a 时 h x有三个零点 解析 试题分析 先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组 解出切点坐标与对 应的a值 根据对数函数的图像与性质将x分为1 1 01xxx 研究 h x的零点个数 若零点不容易求解 则对a再分类讨论 试题解析 设曲线 yf x 与x轴相切于点 0 0 x 则 0 0f x 0 0fx 即 3 00 2 0 1 0 4 30 xax xa 解得 0 13 24 xa 因此 当 3 4 a 时 x轴是曲线 yf x 的切线 当 1 x 时 ln0g xx 从而 min 0h xf x g xg x h x在 1 无零点 当x 1 时 若 5 4 a 则 5 1 0 4 fa 1 min 1 1 1 0hfgg 故 试卷第 13 页 总 15 页 x 1 是 h x的零点 若 5 4 a 则 5 1 0 4 fa 1 min 1 1 1 0hfgf 故x 1 不是 h x的零点 当 0 1 x 时 ln0g xx 所以只需考虑 f x在 0 1 的零点个数 若3a 或0a 则 2 3fxxa 在 0 1 无零点 故 f x在 0 1 单 调 而 1 0 4 f 5 1 4 fa 所以当3a 时 f x在 0 1 有一个零点 当a 0 时 f x在 0 1 无零点 若30a 则 f x在 0 3 a 单调递减 在 3 a 1 单调递增 故当x 3 a 时 f x取的最小值 最小值为 3 a f 21 334 aa 若 3 a f 0 即 3 4 a 0 f x在 0 1 无零点 若 3 a f 0 即 3 4 a 则 f x在 0 1 有唯一零点 若 3 a f 0 即 3 3 4 a 由于 1 0 4 f 5 1 4 fa 所以当 53 44 a 时 f x在 0 1 有两个零点 当 5 3 4 a 时 f x在 0 1 有一个零点 10 分 综上 当 3 4 a 或 5 4 a 时 h x由一个零点 当 3 4 a 或 5 4 a 时 h x有 两个零点 当 53 44 a 时 h x有三个零点 考点 利用导数研究曲线的切线 对新概念的理解 分段函数的零点 分类整合思想 22 答案 见解析 60 解析 试题分析 由圆的切线性质及圆周角定理知 AE BC AC AB 由直角三角形 中线性质知 DE DC OE OB 利用等量代换可证 DEC OEB 90 即 OED 90 所 以 DE 是圆 O 的切线 设 CE 1 由3OACE 得 AB 2 3 设 AE x 由勾股 定理得 2 12BEx 由直角三角形射影定理可得 2 AECE BE 列出关于x的 方程 解出x 即可求出 ACB 的大小 试题解析 连结 A