八年级数学下册一次函数经典题型精选

函数的定义函数的定义 1 下列各图给出了变量 x 与 y 之间的函数是 自变量的取值范围自变量的取值范围 1 1 求下列函数中自变量 x 的取值范围 1 y 3x 1 2 y 2x2 7 3 2 1 x y 4 2 xy 2 求下列函数中自变量 x 的取值范围 1 y 2x 5x2 3 y x x 3 3 4 3 6 x x y12 xy 10 2009 黑龙江大兴安岭黑龙江大兴安岭 函数中 自变量的取值范围是 1 x x yx 1 下列函数中 自变量 x 的取值范围是 x 2 的是 A y B y C y D y 2x 1 2x 2 4x 2x 2x 求值求值 求下列函数当 x 2 时的函数值 1 y 2x 5 2 y 3x2 3 4 1 2 x yxy 2 22 12 分 一次函数 y kx b 的图象如图所示 1 求出该一次函数的表达式 2 当 x 10 时 y 的值是多少 3 当 y 12 时 x 的值是多少 3 一架雪橇沿一斜坡滑下 它在时间 t 秒 滑下的距离 s 米 由下式给出 s 10t 2t2 假如滑到坡底的时间为 8 秒 试问坡长为多少 x y o A x y o B x y o D x y o C 5 6 6 2 x y 1 2 3 4 2 1 5 14321 O 作图象作图象 例例 1 1 画出函数 y x 1 的图象 分析分析 要画出一个函数的图象 关键是要画出图象上的一些点 为此 首先要取一些自变量的值 并求出对应的函数 值 解解 取自变量 x 的一些值 例如 x 3 2 1 0 1 2 3 计算出对应的函数值 为表达方便 可列表如 下 由这一系列的对应值 可以得到一系列的有序实数对 3 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 在直角坐标系中 描出这些有序实数对 坐标 的 对应点 如图所示 通常 用光滑曲线依次把这些点连起来 便可得到这个函数的图象 如图所示 这里画函数图象的方法 可以概括为列表列表 描点描点 连线连线三步 通常称为描点法描点法 例例 2 2 画出函数的图象 xy 2 1 分析分析 用描点法画函数图象的步骤 分为列表 描点 连线三步 解解 列表 描点 描点 用光滑曲线连线 1 在所给的直角坐标系中画出函数的图象 先填写下表 再描点 连线 xy 2 1 利用图像解决实际问题利用图像解决实际问题 问题问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼 主要活动是爬山 有一天 小强让爷爷先上 然后追赶爷爷 图中两 条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离 米 与爬山所用时间 分 的关系 从小强开始爬山时计时 问问 图中有一个直角坐标系 它的横轴 x 轴 和纵轴 y 轴 各表示什么 问问 如图 线段上有一点 P 则 P 的坐标是多少 表示的实际意义是什么 看上面问题的图 回答下列问题 1 小强让爷爷先上多少米 2 山顶离山脚的距离有多少米 谁先爬上山顶 三 实践应用 例例 1 1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习 在某处按函数关系式击球 球正好进洞 其中 y m xxy 5 8 5 1 2 是球的飞行高度 x m 是球飞出的水平距离 1 试画出高尔夫球飞行的路线 2 从图象上看 高尔夫球的最大飞行高度是多少 球的起点与洞之间的距离是多少 解解 1 列表如下 在直角坐标系中 描点 连线 便可得到这个函数的大致图象 2 高尔夫球的最大飞行高度是 3 2 m 球的起点与洞之间的距离是 8 m 例例 2 2 小明从家里出发 外出散步 到一个公共阅报栏前看了一会报后 继续散步了一段时间 然后回家 下面的图描 述了小明在散步过程中离家的距离 s 米 与散步所用时间 t 分 之间的函数关系 请你由图具体说明小明散步的情 况 解解 小明先走了约 3 分钟 到达离家 250 米处的一个阅报栏前看了 5 分钟报 又向前走了 2 分钟 到达离家 450 米处 返回 走了 6 分钟到家 2 一枝蜡烛长 20 厘米 点燃后每小时燃烧掉 5 厘米 则下列 3 幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度 h 厘米 与点燃时间 t 之间的函数关系的是 正比例函数和待定系数法正比例函数和待定系数法 特别地 当 b 0 时 一次函数 y kx 常数 k 0 出叫正比例函数正比例函数正比例函数也是一次函数 它是一次函数的特 例 一次函数 y kx b k 0 三 实践应用 例例 1 1 下列函数关系中 哪些属于一次函数 其中哪些又属于正比例函数 1 面积为 10cm2的三角形的底 a cm 与这边上的高 h cm 2 长为 8 cm 的平行四边形的周长 L cm 与宽 b cm 3 食堂原有煤 120 吨 每天要用去 5 吨 x 天后还剩下煤 y 吨 4 汽车每小时行 40 千米 行驶的路程 s 千米 和时间 t 小时 例例 2 2 已知函数 y k 2 x 2k 1 若它是正比例函数 求 k 的值 若它是一次函数 求 k 的值 例例 3 3 已知 y 2 与 x 3 成正比例 当 x 4 时 y 3 1 写出 y 与 x 之间的函数关系式 2 y 与 x 之间是什么函数关系 3 求 x 2 5 时 y 的值 22 8 分 已知 y y1 y2 y1与 x 成正比例 y2与 x 1 成正比例 且 x 3 时 y 4 x 1 时 y 2 求 y 与 x 之间的函 数关系式 并在直角坐标系中画出这个函数的图象 一次函数 正比例函数以及它们的关系 函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的 我们称它们为一次函数一次函数通常可以表示为 y kx b 的形 式 其中 k b 是常数 k 0 特别地 当 b 0 时 一次函数 y kx 常数 k 0 出叫正比例函数 direct proportional function 正比例函数也 是一次函数 它是一次函数的特例 正比例图象快速作图正比例图象快速作图 直线的平移直线的平移 请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 1 y x y x 1 与 y x 2 2 y 2x y 2x 1 与 y 2x 2 例例 2 2 直线分别是由直线经过怎样的移动得到的 5 2 1 3 2 1 xyxyxy 2 1 例例 3 3 说出直线 y 3x 2 与 y 5x 1 与 y 5x 4 的相同之处 2 2 1 xy 五 检测反馈 2 1 将直线 y 3x 向下平移 2 个单位 得到直线 2 将直线 y x 5 向上平移 5 个单位 得到直线 3 将直线 y 2x 3 向下平移 5 个单位 得到直线 3 函数 y kx 4 的图象平行于直线y 2x 求函数的表达式 4 一次函数 y kx b 的图象与 y 轴交于点 0 2 且与直线平行 求它的函数表达式 2 1 3 xy 1 一次函数 y kx b 当 x 0 时 y b 当 y 0 时 所以直线 y kx b 与 y 轴的交点坐标是 0 b 与 x 轴 k b x 的交点坐标是 0 k b 3 已知函数 y 2x 4 1 作出它的图象 2 标出图象与 x 轴 y 轴的交点坐标 3 由图象观察 当 2 x 4 时 函数值 y 的变化范围 4 一次函数 y 3x b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是 24 求 b 图像位置与图像位置与 k bk b 的关系和单调性的关系和单调性 2 在同一直角坐标系中 画出函数和 y 3x 2 的图象 1 3 2 xy 问问 在你所画的一次函数图象中 直线经过几个象限 一次函数 y kx b 有下列性质 1 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 这时函数的图象从左到右上升 2 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 这时函数的图象从左到右下降 特别地 当 b 0 时 正比例函数也有上述性质 当 b 0 直线与 y 轴交于正半轴 当 b 0 时 直线与 y 轴交于正半轴 下面 我们把一次函数中 k 与 b 的正 负与它的图象经过的象限归纳列表为 三 实践应用 例例 1 1 已知一次函数 y 2m 1 x m 5 当 m 是什么数时 函数值 y 随 x 的增大而减小 例例 2 2 已知一次函数 y 1 2m x m 1 若函数 y 随 x 的增大而减小 并且函数的图象经过二 三 四象限 求 m 的取 值范围 例例 3 3 已知一次函数 y 3m 8 x 1 m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方 且 y 随 x 的增大而减小 其中 m 为整数 1 求 m 的值 2 当 x 取何值时 0 y 4 1 已知点 M 1 a 和点 N 2 b 是一次函数 y 2x 1 图象上的两点 则 a 与 b 的大小关系是 A a b B a bC a b D 以上都不对 6 已知正比例函数 y kx k 0 的图象上两点 A x1 y1 B x2 y2 且 x1 x2 则下列不等式中恒成立的是 A y1 y2 0B y1 y2 0C y1 y2 0 D y1 y2 0 9 已知直线 y kx b 不经过第三象限则下列结论正确的是 A k 0 b 0 B k 0 b 0 C k 0 b 0 D k 0 b 0 10 已知一次函数 y kx b y 随着 x 的增大而减小 且 kb 0 则在直角坐标系内它的大致图象是 A B C A B C D k b 的符 号 k 0b 0k 0 b 0k 0 b 0k 0b 0 图像的大 致位置 经过象限第 象限第 象限第 象限第 象限 性质 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 一次函数快速作图一次函数快速作图 待定系数法待定系数法 问题问题 1 1 已知一个一次函数当自变量 x 2 时 函数值 y 1 当 x 3 时 y 3 能否写出这个一次函数的解析式呢 问题问题 2 2 已知弹簧的长度 y 厘米 在一定的限度内是所挂物质量 x 千克 的一次函数 现已测得不挂重物时弹簧的 长度是 6 厘米 挂 4 千克质量的重物时 弹簧的长度是 7 2 厘米 求这个一次函数的关系式 考虑考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度 6 厘米和挂 4 千克质量的重物时 弹簧的长度 7 2 厘米 与一次函数关系式 中的两个 x y 有什么关系 问题问题 3 3 若一次函数 y mx m 2 过点 0 3 求 m 的值 三 实践应用 例例 1 1 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 1 1 和点 1 5 求当 x 5 时 函数 y 的值 例例 2 2 已知一次函数的图象如下图 写出它的关系式 求交点坐标求交点坐标 例例 3 3 求直线 y 2x 和 y x 3 的交点坐标 例例 4 4 已知两条直线 y1 2x 3 和 y2 5 x 1 在同一坐标系内作出它们的图象 2 求出它们的交点 A 坐标 3 求出这两条直线与 x 轴围成的三角形 ABC 的面积 4 k 为何值时 直线 2k 1 5x 4y 与 k 2x 3y 的交点在每四象限 解解 1 2 解得 5 32 2 1 xy xy 3 7 3 8 y x 所以两条直线的交点坐标 A 为 3 7 3 8 3 当 y1 0 时 x 所以直线 y1 2x 3 与 x 轴的交点坐标为 B 2 3 0 当 y2 0 时 x 5 所以直线 y2 5 x 与 x 轴的交点坐标 2 3 为 C 5 0 过点 A 作 AE x 轴于点 E 则 12 49 3 7 2 7 2 1 2 1 AEBCS ABC 4 两个解析式组成的方程组为 32 4512 yxk yxk 解这个关于 x y 的方程组 得 7 2 7 32 k y k x 由于交点在第四象限 所以 x 0 y 0 即 解得 0 7 2 0 7 32 k k 2 2 3 k 14 若解方程 x 2 3x 2 得 x 2 则当 x 时直线 y x 2 上的点在直线 y 3x 2 上相应点的上方 15 已知一次函数 y x a 与 y x b 的图象相交于点 m 8 则 a b 1 已知直线 m 经过两点 1 6 3 2 它和 x 轴 y 轴的交点式 B A 直线 n 过点 2 2 且与 y 轴交点的纵坐标 是 3 它和 x 轴 y 轴的交点是 D C 1 分别写出两条直线解析式 并画草图 2 计算四边形 ABCD 的面积 3 若直线 AB 与 DC 交于点 E 求 BCE 的面积 O x y 3 4 6 2 F E D C B A 2 直线分别交 x 轴 y 轴于 A B 两点 O 是原点 2 3 2 xy 1 求 AOB 的面积 2 过 AOB 的顶点能不能画出直线把 AOB 分成面积相等的两部分 如能 可以画出几条 写出这样的直线所对应 的函数关系式 2 如图 A B 分别是 x 轴上位于原点左右两侧的点 点 P 2 p 在第一象 限 直线 PA 交 y 轴于点 C 0 2 直线 PB 交 y 轴于点 D AOP 的面积 为 6 1 求 COP 的面积 2 求点 A 的坐标及 p 的值 3 若 BOP 与 DOP 的面积相等 求直线 BD 的函数解析式 4 一次函数 y kx b k 0 的图象经过点 3 3 和 1 1 求它的函数关系式 并画出图象 5 陈华暑假去某地旅游 导游要大家上山时多带一件衣服 并介绍当地山区海拔每增加 100 米 气温下降 0 6 陈 华在山脚下看了一下随带的温度计 气温为 34 乘缆车到山顶发现温度为 32 2 求山高 一次函数与方程 方程组和不等式一次函数与方程 方程组和不等式 问题问题 画出函数 y 的图象 根据图象 指出 3 2 3 x 1 x 取什么值时 函数值 y 等于零 2 x 取什么值时 函数值 y 始终大于零 2 p y x P OF E D C BA 例例 1 1 画出函数 y x 2 的图象 根据图象 指出 1 x 取什么值时 函数值 y 等于零 2 x 取什么值时 函数值 y 始终大于零 解解 过 2 0 0 2 作直线 如图 例例 2 已知直线 y x 3 与 y 2x 2 的交点为 5 8 则方程组的解是 30 220 xy xy 例例 3 3 利用图象解不等式 1 2x 5 x 1 2 2x 5 x 1 解解 设 y1 2x 5 y2 x 1 在直角坐标系中画出这两条直线 如下图所示 两条直线的交点坐标是 2 1 由图可知 1 2x 5 x 1 的解集是 y1 y2时 x 的取值范围 为 x 2 2 2x 5 x 1 的解集是 y1 y2时 x 的取值范围 为 x 2 13 一次函数 y1 kx b 与 y2 x a 的图象如图 则 kx b x a 的解集是 9 如图 已知函数 y 2x b 与函数 y kx 3 的图象交于点 P 则不等式 kx 3 2x b 的解集是 12 如图 直线 y kx b 过 A 1 2 B 2 0 两点 则 0 kx b 2x 的解集为 实际应用实际应用 23 12 分 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售 为了方便 他带了一些零钱备用 按市场价售出一些后 又 降价出售 售出土豆千克数与他手中持有的钱数 含备用零钱 的关系如图所示 结合图象回答下列问题 1 农民自带的零钱是多少 2 降价前他每千克土豆出售的价格是多少 3 降价后他按每千克 0 4 元将剩余土豆售完 这时他手中的钱 含备用零钱 是 26 元 问他一共带了多少千 克土豆 问题问题 学校有一批复印任务 原来由甲复印社承接 按每 100 页 40 元计费 现乙复印社表示 若学校先按月付给一定 数额的承包费 则可按每 100 页 15 元收费 两复印社每月收费情况如下图所示 根据图象回答 1 乙复印社的每月承包费是多少 2 当每月复印多少页时 两复印社实际收费相同 3 如果每月复印页数在 1200 页左右 那么应选择哪个复印社 实践应用 例例 1 1 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来 他已存有 50 元 从现在起每个月节存 12 元 小张的同学小王以 前没有存过零用钱 听到小张在存零用钱 表示从小张存款当月起每个月存 18 元 争取超过小张 请你写出小张和 小王存款和月份之间的函数关系 并计算半年以后小王的存款是多少 能否超过小张 至少几个月后小王的存款能超 过小张 例例 3 3 下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象 分别是正比例 函数图象和一次函数图象 根据图象解答下列问题 1 请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式 不要求写出自变量的取值范围 2 轮船和快艇在途中 不包括起点和终点 行驶的速度分别是多少 3 问快艇出发多长时间赶上轮船 3 学校准备去白云山春游 甲 乙两家旅行社原价都是每人 60 元 且都表示对学生优惠 甲旅行社表示 全部 8 折 收费 乙旅行社表示 若人数不超过 30 人则按 9 折收费 超过 30 人按 7 折收费 1 设学生人数为 x 甲 乙两旅行社实际收取总费用为 y1 y2 元 试分别列出 y1 y2与 x 的函数关系式 y2应 分别就人数是否超过 30 两种情况列出 2 讨论应选择哪家旅行社较优惠 3 试在同一直角坐标系内画出 1 题两个函数的图象 并根据图象解释题 2 题讨论的结果 7 汽车开始行驶时 油箱内有油 40 升 如果每小时耗油 5 升 则油箱内余油量 y 升 与行驶时间 t 时 的函数 关系用图象表示应为下图中的 4 药品研究所开发一种抗菌新药 经多年动物实验 首次用于临床人 体试验 测得成人服药后血液中药物浓度 y 微克 毫升 与服药后 时间 x 时 之间的函数关系如下图 请你根据图象 1 说出服药后多少时间血液中药物浓度最高 2 分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 的函数关系式 例例 5 5 某军加油飞机接到命令 立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油 在加油的过程中 设运输飞机的油箱 余油量为 Q1吨 加油飞机的加油油箱的余油量为 Q2吨 加油时间为 t 分钟 Q1 Q2与 t 之间的函数图象如图所示 结合图象回答下列问题 1 加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油 将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟 2 求加油过程中 运输飞机的余油量 Q1 吨 与时间 t 分钟 的函数关系式 3 求运输飞机加完油后 以原速继续飞行 需 10 小时到达目的地 油料是否够用 说明理由 一次函数与方案设计问题 一次函数是最基本的函数 它与一次方程 一次不等式有密切联系 在实际生活中有广泛的应用 例如 利用一 次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策 近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面 的应用题 这些试题新颖灵活 具有较强的时代气息和很强的选拔功能 1 1 生产方案的设计 生产方案的设计 例例 1 1 某工厂现有甲种原料 360 千克 乙种原料 290 千克 计划利用这两种原料生产 A B 两种产品 共 50 件 已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克 乙种原料 3 千克 可获利润 700 元 生产一件 B 种产品 需用甲种原料 4 千克 乙种原料 10 千克 可获利润 1200 元 1 要求安排 A B 两种产品的生产件数 有哪几种方案 请你设计出来 2 生产 A B 两种产品获总利润是 y 元 其中一种的生产件数是 x 试写出 y 与 x 之间的函数关系式 并利用 函数的性质说明 1 中的哪种生产方案获总利润最大 最大利润是多少 98 年河北 解解 1 设安排生产 A 种产品 x 件 则生产 B 种产品是 50 x 件 由题意得 290 50 103 360 50 49 xx xx 2 1 解不等式组得 30 x 32 因为 x 是整数 所以 x 只取 30 31 32 相应的 50 x 的值是 20 19 18 所以 生产的方案有三种 即第一种生产方案 生产 A 种产品 30 件 B 种产品 20 件 第二种生产方案 生产 A 种产品 31 件 B 种产品 19 件 第三种生产方案 生产 A 种产品 32 件 B 种产品 18 件 2 设生产 A 种产品的件数是 x 则生产 B 种产品的件数是 50 x 由题意得 y 700 x 1200 50 x 500 x 6000 其中 x 只能取 30 31 32 因为 500y乙 120 x 240 144x 144 解得 x 4 当 y甲 y乙 120 x 2404 答 当学生人数少于 4 人时 乙旅行社更优惠 当学生人数多于 4 人时 甲旅行社更优惠 本题运用了一次函数 方程 不等式等知识 解决了优惠方案的设计问题 综上所述 利用一次函数的图象 性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了实际生活中许多的方案设计问 题 如果学生能切实理解和掌握这方面的知识与应用 对解决方案问题的数学题是很有效的 练习练习 1 某童装厂现有甲种布料 38 米 乙种布料 26 米 现计划用这两种布料生产 L M 两种型号的童装共 50 套 已 知做一套 L 型号的童装需用甲种布料 0 5 米 乙种布料 1 米 可获利 45 元 做一套 M 型号的童装需用甲种布料 0 9 米 乙种布料 0 2 米 可获利润 30 元 设生产 L 型号的童装套数为 x 用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为 y 元 1 写出 y 元 关于 x 套 的函数解析式 并求出自变量 x 的取值范围 2 该厂在生产这批童装中 当 L 型号的童装为多少套时 能使该厂所获的利润最大 最大利润为多少 2 A 城有化肥 200 吨 B 城有化肥 300 吨 现要把化肥运往 C D 两农村 如果从 A 城运往 C D 两地运费分别是 20 元 吨与 25 元 吨 从 B 城运往 C D 两地运费分别是 15 元 吨与 22 元 吨 现已知 C 地需要 220 吨 D 地需要 280 吨 如果个体户承包了这项运输任务 请帮他算一算 怎样调运花钱最小 24 9 分 A 市和 B 市分别库存某种机器 12 台和 6 台 现决定支援给 C 市 10 台和 D 市 8 台 已知从 A 市调运一 台机器到 C 市和 D 市的运费分别为 400 元和 800 元 从 B 市调运一台机器到 C 市和 D 市的运费分别为 300 元和 500 元 1 设 B 市运往 C 市机器 x 台 求总运费 Y 元 关 于 x 的函数关系式 2 若要求总运费不超过 9000 元 问共有几种调运方案 3 求出总运费最低的调运方案 最低运费是多少 例例 4 4 某公司到果园基地购买某种优质水果 慰问医务工作者 果园基地对购买量在 30