关于左右导数和导数的左右极限_第1页
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1 左右导数和导数的左右极限左右导数和导数的左右极限 函数函数 在在 点的左导数点的左导数定义为 xf 0 x 0 xf x xfxxf x lim 00 0 函数函数 在在 点的右导数点的右导数定义为 xf 0 x 0 xf x xfxxf x lim 00 0 函数函数 在在 点导数的左极限点导数的左极限定义为 xf 0 x 0 0 x f lim 0 0 xf xx 函数函数 在在 点导数的右极限点导数的右极限定义为 xf 0 x 0 0 x f lim 0 0 xf xx 在很多情况下 导数的左极限在很多情况下 导数的左极限 往往就是左导数往往就是左导数 导数的右极 导数的右极 lim 0 0 xf xx 0 xf 限限 往往就是右导数往往就是右导数 lim 0 0 xf xx 0 xf 例如 函数例如 函数 1 1 1 2 xx x x xf 在 点的左导数为 1 x 1 f 1 1 1 1 lim 1 1 lim 00 x x x fxf xx 导数的左极限为 两者是一样的 lim 01 xf x 1 1 lim 1 lim 2 0101 xx xx 在 点的右导数为 1 x2 1 1 lim 1 1 lim 1 2 00 x x x fxf f xx 导数的右极限为 两者也是一样的 lim 01 xf x 2 2 lim lim 01 2 01 xx xx 但有时候 导数的左极限但有时候 导数的左极限 并不等于左导数并不等于左导数 导数的右极限 导数的右极限 lim 0 0 xf xx 0 xf 并不等于右导数并不等于右导数 lim 0 0 xf xx 0 xf 2 例如 函数例如 函数 01 0 2 x xx xf 在 的左导数为 0 x 0 f x x x fxf xx 1 0 lim 0 0 lim 2 00 导数的左极限为 显然两者是不一样的 lim 0 xf x 0 2 lim lim 0 2 0 xx xx 在 的右导数为 0 x 0 f x x x fxf xx 1 0 lim 0 0 lim 2 00 导数的右极限为 显然两者也是不一样的 lim 0 xf x 0 2 lim lim 0 2 0 xx xx 又例如 函数又例如 函数 见下图 见下图 00 0 1 sin 2 x x x x xf 在 的左导数为 0 x 0 f x fxf x 0 0 lim 0 x x x x 0 1 sin lim 2 0 0 1 sinlim 0 x x x 而导数的左极限的计算式为 lim 0 xf x 1 cos lim 1 cos 1 sin2 lim 1 sin lim 00 2 0 xxx x x x xxx 这个极限不存在 在 的右导数为0 x 0 f 0 1 sinlim 0 1 sin lim 0 0 lim 0 2 00 x x x x x x fxf xxx 而导数的右极限的计算式为 lim 0 xf x
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