六年级奥数最短路线

最短路线最短路线 一 学习目标 一 学习目标 通过最短路线的学习 体会转化的数学思想 二 基础知识 二 基础知识 最短路线通常的最短路线问题是以 平面内连结两点的线中 直线段最短 为原则引伸出来的 在求最短路线时 常常先用 对称 的方法 化成两点之间的最短距离问题 利用对称性把折线化成易求的直线段 所以这 种方法也叫做化直法 其他还有旋转法 翻折法等 有时所求最短路线位于凸 多面体的不同平面上 需将它们展开在同一平面上 三 例题解析 三 例题解析 例例 1 1 如图 A B 两个学校在公路的两侧 想在这两校的附近的公路上建一个 汽车站 要求车站到两个学校的距离之和最小 应该把车站建在哪里 解 解 例例 2 2 如图 A B 两个学校都在公路的同侧 想在这两校的附近的公路上建一 个汽车站 要求车站到两个学校的距离之和最小 应该把车站建在哪里 解 解 练一练 练一练 如下图 侦察员骑马从 A 地出发 去 B 地取情报 在去 B 地之前需要 先饮一次马 如果途中没有重要障碍物 那么侦察员选择怎样的路线最节省时 间 请你在图中标出来 并说明做法 解 解 例例 3 3 少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛 规则是从 A 点出发 见下图 跑到墙边 用手触摸墙壁 然后跑到 B 点 接着 离 B 点再次跑到墙边手触摸 墙壁后 跑到 C 点 问选择怎样的路线最节省时间 请你在图中标出来 分析 实际上是两个最短路线问题 解 解 例例 4 4 在河中有 A B 两岛 如下图 六年级一班组织一次划船比赛 规则要 求船从 A 岛出发 必须先划到甲岸 又到乙岸 再到 B 岛 最后回到 A 岛 试 问应选择怎样的路线才能使路程最短 解 解 例例 5 如图 13 6 河流 EF 与公路 FD 所夹的角是一个锐角 某公司 A 在锐角 EFD 内 现在要在河边建一个码头 在公路边修建一个仓库 工人们从公司出 发 先到河边的码头卸货 再把货物转运到公路边的仓库里去 然后返回到 A 处 问仓库 码头各应建在何处 使工人们所行的路程最短 解 解 例例 6 6 A B 两个村子 中间隔了一条小河 现在要在小河上架一座桥 使它垂 直于河岸 请你在河两岸选择合适的架桥地点 使 A B 两个村子之间的路程最 短 解 解 例例 7 7 长方体 ABCD A B C D 中 AB 4 A A 2 AD 1 有一只小虫从 顶点 D 出发 沿长方体表面爬到 B 点 问这只小虫怎样爬距离最短 见图 解 解 结论 结论 想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时 可以把不同平面转成同 一平面 此时 把处在同一平面上的两点连起来 所得到的线段还原到原始的 两相邻平面上 这条线段所构成的折线 就是所求的最短路线 例 8 如图 13 10 在圆柱形的木桶外 有一个小甲虫要从桶外的 A 点爬到桶 内的 B 点 已知 A 点到桶口 C 点的距离为 14 厘米 B 点到桶口 D 点的距离是 10 厘米 而 C D 两点之间的弧长是 7 厘米 如果小甲虫爬行的是最短路线 应该怎么走 路程是多少 分析与解 先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面 如图 13 11 由于 B 点 在桶内 不便于作图 利用轴对称原理 作点 B 关于直线 CD 的对称点 B 这就可以用 B 代替 B 从而找出最短路线 如图 13 11 将圆柱体侧面展成平面图形 作点 B 关于直线 CD 的对称 点 B 连结 AB AB 是 A B 两点间的最短距离 与桶口边交于 O 点 则 OB OB AB AO OB 那么 A B 之间的最短距离就是 AO OB 所以 小甲虫在桶外爬到 O 点后 再向桶内的 B 点爬去 这就是小甲虫爬行的最短路 线 延长 AC 到 E 使 CE B D 因为 AEB 是直角三角形 AB 是斜边 EB CD 7 厘米 AE 14 10 24 厘米 根据勾股定理 AB 2 AE2 EB 2 242 72 625 所以 AB 25 厘米 即小甲虫爬行的最短路程是 25 厘米 课后练习 作图题写出具体过程 课后练习 作图题写出具体过程 一 基本题一 基本题 1 如图一位牧童从甲地出发 赶着羊群先到河边饮水 再到乙地 问应当怎样 选择河边的位置 使得羊群所走的路线最短 在图上标明 并写出画法 2 甲 乙两村之间隔一条河 如图 现在要在小河上架一座桥 使得这两村之 间的行人最节省时间 桥应修在何处 在图上标明 并写出画法 3 如图一只壁虎要从一面墙壁 上 A 点 爬到邻近 的另一面墙壁 上的 B 点捕蛾 它可以沿许多路径到达 但哪一条是最近的路 线呢 请仿照例 5 画出图示来说明理由 4 下图 小明住在甲村 奶奶住在乙村 星期天小明去看奶奶 先在北山坡打 一捆草 又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去 请问 小明应选择怎样的路线使路程 最短 在图上标明 并写出画法 二 综合题二 综合题 5 如下图 在河弯处 M 点有个观测站 观测员要从 M 点出 先到 AB 岸 再到 CD 岸 然后返回 M 点 问船应该走什么路线最短 在图 上标明 6 一个小虫从圆柱体 如图 13 15 的 A 点处绕圆柱体侧面一周 最后爬到 顶点 B 处 请画出小虫从 A 点绕到圆柱体侧面到达 B 点的最短路线 7 如下图 在河的两岸共有三个小镇 A B C 问应在河的什么位置架两座桥 使两岸人们来往路程最短 两座桥都