二次函数与几何综合压轴题题型归纳--学生版

1 二次函数综合压轴题型归类二次函数综合压轴题型归类 教学目标 教学目标 1 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2 掌握特殊图形面积的各种求法 掌握特殊图形面积的各种求法 重点 难点 重点 难点 1 利用图形的性质找点 利用图形的性质找点 2 分解图形求面积 分解图形求面积 一 二次函数和特殊多边形形状一 二次函数和特殊多边形形状 二 二次函数和特殊多边形面积二 二次函数和特殊多边形面积 三 函数动点引起的最值问题三 函数动点引起的最值问题 四 常考点汇总四 常考点汇总 1 两点间的距离公式两点间的距离公式 22 BABA xxyyAB 2 中点坐标中点坐标 线段的中点的坐标为 ABC 22 BABA yyxx 直线直线 与 与 的位置关系 的位置关系 11 bxky 0 1 k 22 bxky 0 2 k 1 两直线平行且 2 两直线相交 21 kk 21 bb 21 kk 3 两直线重合且 4 两直线垂直 21 kk 21 bb 1 21 kk 3 一元二次方程有整数根问题一元二次方程有整数根问题 解题步骤如下 用和参数的其他要求确定参数的取值范围 解方程 求出方程的根 两种形式 分式 二次根式 分析求解 若是分式 分母是分子的因数 若是二次根式 被开方式是完全平方式 例 关于x的一元二次方程有两个整数根 且为整数 求的值 012 22 mxmx 5 mmm 4 二次函数与二次函数与轴的交点为整数点问题轴的交点为整数点问题 方法同上 x 例 若抛物线与轴交于两个不同的整数点 且为正整数 试确定 313 2 xmmxyxm 此抛物线的解析式 2 5 方程总有固定根问题方程总有固定根问题 可以通过解方程的方法求出该固定根 举例如下 已知关于的方程 为实数 求证 无论为何值 方程总x 2 3 1 230mxmxm mm 有一个固定的根 解 当时 0 m1 x 当时 0 m 03 2 m m m x 2 13 m x 3 2 1 1 2 x 综上所述 无论为何值 方程总有一个固定的根是 1 m 6 函数过固定点问题函数过固定点问题 举例如下 已知抛物线 是常数 求证 不论为何值 该抛物线总经过一个2 2 mmxxymm 固定的点 并求出固定点的坐标 解 把原解析式变形为关于的方程 m xmxy 12 2 解得 01 02 2 x xy 1 1 x y 抛物线总经过一个固定的点 1 1 题目要求等价于 关于的方程不论为何值 方程恒成立 m xmxy 12 2 m 小结 关于的方程有无数解xbax 0 0 b a 7 路径最值问题路径最值问题 待定的点所在的直线就是对称轴 1 如图 直线 点在上 分别在 上确定两点 使得 1 l 2 lA 2 l 1 l 2 lMN 之和最小 MNAM 2 如图 直线 相交 两个固定点 分别在 上确定两点 使得 1 l 2 lAB 1 l 2 lMN 之和最小 ANMNBM 3 3 如图 是直线 同旁的两个定点 线段 在直线 上确定两点 在BA lalEFE 的左侧 使得四边形的周长最小 FAEFB 8 在平面直角坐标系中求面积的方法 在平面直角坐标系中求面积的方法 直接用公式 割补法 三角形的面积求解常用方法 如右图 S PAB 1 2 PM x 1 2 AN y 9 函数的交点问题 函数的交点问题 二次函数 与一次函数 cbxaxy 2 hkxy 1 解方程组可求出两个图象交点的坐标 hkxy cbxaxy 2 2 解方程组 即 通过可判断两个图象的交 hkxy cbxaxy 2 0 2 hcxkbax 点的个数 有两个交点 0 仅有一个交点 0 没有交点 0 10 方程法方程法 1 设 设主动点的坐标或基本线段的长度 2 表示 用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 3 列方程或关系式 11 几何分析法几何分析法 特别是构造 平行四边形 梯形 相似三角形 直角三角形 等腰三角形 等图形时 利用几何分析法能给解题带来方便 几何要求几何分析涉及公式应用图形 4 跟平行有关的 图形 平移 2121 kkll 21 21 xx yy k 平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的 图形 勾股定理逆定理 利用相似 全等 平 行 对顶角 互余 互补等 22 BABA xxyyAB 直角三角形 直角梯形 矩形 跟线段有关的 图形 利用几何中的全等 中垂线的性质等 22 BABA xxyyAB 等腰三角形 全等 等腰梯形 跟角有关的图 形 利用相似 全等 平 行 对顶角 互余 互补等 例题精讲例题精讲 一一 基础构图 基础构图 y 以下几种分类的函数解析式就是这个 以下几种分类的函数解析式就是这个 32 2 xx 和最小 差最大和最小 差最大 在对称轴上找一点 P 使得 PB PC 的和最小 求出 P 点坐标 在对称轴上找一点 P 使得 PB PC 的差最大 求出 P 点坐标 求面积最大求面积最大 连接 AC 在第四象限找一点 P 使得面积最大 求出 P 坐标ACP 讨论直角三角讨论直角三角 连接 AC 在对称轴上找一点 P 使得为直角三角形 ACP 求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P 使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 Ox y AB C D Ox y AB C D Ox y AB C D 5 讨论等腰三角讨论等腰三角 连接 AC 在对称轴上找一点 P 使得为等腰三角形 ACP 求出 P 坐标 讨论平行四边形讨论平行四边形 1 点 E 在抛物线的对称轴上 点 F 在抛物线上 且以 B A F E 四点为顶点的四边形为平行四边形 求点 F 的坐标 二二 综合题型综合题型 例例 1 中考变式 中考变式 如图 抛物线如图 抛物线cbxxy 2 与与 x x 轴交与轴交与 A 1 0 B 3A 1 0 B 3 0 0 两点 顶点为两点 顶点为 D D 交 交 Y Y 轴于轴于 C C 1 1 求该抛物线的解析式与求该抛物线的解析式与 ABC 的面积 的面积 2 在抛物线第二象限图象上是否存在一点在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M 使 使 MBC 是以是以 BCM 为直角的直角三角形 若存为直角的直角三角形 若存 在 求出点在 求出点 P 的坐标 若没有 请说明理由的坐标 若没有 请说明理由 Ox y AB C D 6 3 若若 E 为抛物线为抛物线 B C 两点间图象上的一个动点两点间图象上的一个动点 不与不与 A B 重合重合 过 过 E 作作 EF与与X轴垂直轴垂直 交 交 BC 于于 F 设 设 E 点横坐标为点横坐标为 x EF 的长度为的长度为 L 求求 L 关于关于 X 的函数关系式 关写出的函数关系式 关写出 X 的取值范围 的取值范围 当当 E 点运动到什么位置时 线段点运动到什么位置时 线段 EF 的值最大 并求此时的值最大 并求此时 E 点的坐标 点的坐标 4 在 在 5 的情况下直线 的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点与抛物线的对称轴交于点 H 当 当 E 点运动到什么位置时点运动到什么位置时 以点以点 E F H D 为顶点的四边形为平行四边形 为顶点的四边形为平行四边形 5 在 在 5 的情况下点 的情况下点 E 运动到什么位置时 使三角形运动到什么位置时 使三角形 BCE 的面积最大 的面积最大 例例 2 考点考点 关于面积最值关于面积最值 如图 在平面直角坐标系中 点 A C 的坐标分别为 1 0 0 点 B 在 x 轴上 已知某3 二次函数的图象经过 A B C 三点 且它的对称轴为直线 x 1 点 P 为直线 BC 下方的二次函数 图象上的一个动点 点 P 与 B C 不重合 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F 1 求该二次函数的解析式 2 若设点 P 的横坐标为 m 试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长 3 求 PBC 面积的最大值 并求此时点 P 的坐标 y xBA F P x 1 C O 7 例例 3 考点考点 讨论等腰 讨论等腰 如图 已知抛物线 y x 2 bx c 与 y 轴相交于 C 与 x 轴相交于 A B 点 A 的坐标为 2 0 2 1 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面积最大时 求点 D 的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 例例 4 考点考点 讨论直角三角 讨论直角三角 如图 已知点A 一1 0 和点B 1 2 在坐标轴上 确定点P 使得 ABP为直角三角形 则满足这样条件的点P共有 A 2个 B 4个 C 6个 D 7个 已知 如图一次函数 y x 1 的图象与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 二次函数 y x 2 1 2 1 2 bx c 图象与一次函数 y x 1 图象交于 B C 两点 与 x 轴交于 D E 两点且 D 点坐标为 2 1 1 0 1 求二次函数的解析式 2 求四边形 BDEC 的面积 S 3 在 x 轴上是否存在点 P 使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形 若存在 求出所有的 点 P 若不存在 请说明理由 D B C OA y x E B C OA 备用图 y x OA B y C x DE 2 8 例例 5 考点考点 讨论四边形 讨论四边形 已知 如图所示 关于 x 的抛物线 y ax 2 x c a 0 与 x 轴交于点 A 2 0 点 B 6 0 与 y 轴交于点 C 1 求出此抛物线的解析式 并写出顶点坐标 2 在抛物线上有一点 D 使四边形 ABDC 为等腰梯形 写出点 D 的坐标 并求出直线 AD 的 解析式 3 在 2 中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M 抛物线上有一动点 P x 轴上有一动点 Q 是否存在以 A M P Q 为顶点的平行四边形 如果存在 请直接写出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 综合练习 综合练习 1 平面直角坐标系 xOy 中 抛物线与 x 轴交于点 A 点 B 与 y 轴的正半轴 2 44yaxaxac 交于点 C 点 A 的坐标为 1 0 OB OC 抛物线的顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足 APB ACB 求点P的坐标 3 Q 为线段 BD 上一点 点 A 关于 AQB 的平分线的对称点为 若 求点 Q 的 A 2 QBQA 坐 标和此时 的面积 QAA BA y O C x 9 2 在平面直角坐标系中 已知二次函数的图像与轴交于点 与xOy 2 2 yaxaxc y 3 0 C 轴交于 A B 两点 点 B 的坐标为 x 0 3 1 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标 2 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点 若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1 2 的 两部分 求出此时点的坐标 M 3 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点 问 点 P 在何处时 的面积最大 最大面积CPB 是多少 并求出此时点 P 的坐标 3 如图 在平面直角坐标系中 抛物线与轴负半轴交于点 顶点为 xOyxx m y2 2 2 xAB 且对称轴与轴交于点 xC 1 求点的坐标 用含的代数式表示 Bm 2 为中点 直线交轴于 若 0 2 求抛物线的解析式 DOBADyEE 3 在 2 的条件下 点在直线上 且使得的周长最小 在抛物线上 在MOBAMC PQ 直线上 若以为顶点的四边形是平行四边形 求点的坐标 BCQPMA P 10 4 已知关于的方程 x 2 1 4 30m xm x 1 若方程有两个不相等的实数根 求的取值范围 m 2 若正整数满足 设二次函数的图象与轴交于m822m 2 1 4 3ym xm x x 两点 将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折 图象的其余部分保持不变 得到一AB 个新的图象 请你结合这个新的图象回答 当直线与此图象恰好有三个公共点3ykx 时 求出