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第第 25 周周 最大公约数最大公约数 专题简析 几个数公有的约数叫做这几个数的公约数 其中最大的一个叫 做这几个数的最大公约数 我们可以把自然数 a b 的最公约数记作 a b 如果 如果 a b 1 则 则 a 和和 b 互质 互质 求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法 例题例题 1 一张长方形的纸 长一张长方形的纸 长 7 分米分米 5 厘米 宽厘米 宽 6 分米 现在要把分米 现在要把 它裁成一块块正方形 而且正方形边长为整厘米数 有几种裁法 它裁成一块块正方形 而且正方形边长为整厘米数 有几种裁法 如果要使裁得的正方形面积最大 可以裁多少块 如果要使裁得的正方形面积最大 可以裁多少块 4 20 分析 7 分米 5 厘米 75 厘米 6 分米 60 厘米 因为裁成的正 方形的边长必须能同时整除 75 和 60 所以边长是 75 和 60 的公约 数 75 和 60 的公约数有 1 3 5 15 所以有 4 种裁法 如果要使正方形面积最大 那么边长也应该最大 应该取 75 和 60 的最大公约数 15 作为正方形的边长 所以可以裁 75 15 60 15 20 块 练习一 1 把 1 米 3 分米 5 厘米长 1 米 5 厘米宽的长方形纸 裁成同 样大小的正方形 至少能裁多少块 63 2 一块长 45 厘米 宽 30 厘米的长方形木板 把它锯成若干块 正方形而无剩余 所锯成的正方形的边长最长是多少厘米 15 3 将一块长 80 米 宽 60 米的长方形土地划分成面积相等的小 正方形 小正方形的面积最大是多少 400 例题例题 2 一个长方体木块 长一个长方体木块 长 2 7 米 宽米 宽 1 8 分米 高分米 高 1 5 分米 要分米 要 把它切成大小相等的正方体木块 不许有剩余 正方体的棱长最大把它切成大小相等的正方体木块 不许有剩余 正方体的棱长最大 是多少分米 是多少分米 0 3 1 一个长方体木块的长是 4 分米 5 厘米 宽 3 分米 6 厘米 高 2 分米 4 厘米 要把它切成大小相等的正方体木块 不许有剩余 求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米 3 2 有 50 个梨 75 个橘子和 100 个苹果 要把这些水果平均分 给几个小组 并且每个小组分得的三种水果的个数也相同 最多可 以分给几个小组 25 3 五年级三个班分别有 24 人 36 人 42 人参加体育活动 要 把他们分成人数相等的小组 但各班同学不能打乱 最多每组多少 人 每班各可以分几组 每组 6 人 分别分成 4 6 7 组 例题例题 3 有三根钢管 它们的长度分别是有三根钢管 它们的长度分别是 240 厘米 厘米 200 厘米和厘米和 480 厘米 如果把它们截成同样长的小段 不能剩余 每小段最长可以厘米 如果把它们截成同样长的小段 不能剩余 每小段最长可以 是多少厘米 是多少厘米 40 分析 要把三根钢管截成同样长的小段 每小段的长度数应该 是 240 200 和 480 的公约数 而每小段要取最长 也就是求 240 200 和 480 的最大公约数 240 200 和 480 的最大公约数是 40 所以每小段最长是 40 厘米 1 有一个长方体木块 长 60 厘米 宽 40 厘米 高 24 厘米 如果要切成同样大小的小正方体 这些正方体的棱长最长是多少厘 米 4 2 用一张长 1072 毫米 宽 469 毫米的长方形纸 剪成面积相 等的正方形 并且最后没有剩余 这些正方形的边长最长是多少 67 3 工人加工了三批零件 每加工一批零件 除了王师傅比其他 工人多加工若干个外 其他工人加工的都同样多 已知他们第一批 共加工 2100 个 其中王师傅比每个工人多加工 7 个 第二批加工 1800 个 其中王师傅比每个工人多加工 6 个 第三批加工 1600 个 其中王师傅比每个工人多加工 13 个 这批工人最多有多少人 23 例题例题 4 一条道路由甲村经过乙村到丙村 已知甲 乙村相距一条道路由甲村经过乙村到丙村 已知甲 乙村相距 360 米 乙 丙村相距米 乙 丙村相距 675 米 现在准备在路边裁树 要求相邻两棵树米 现在准备在路边裁树 要求相邻两棵树 之间距离相等 并在甲 乙两村和乙 丙两村的中点都要种上树 之间距离相等 并在甲 乙两村和乙 丙两村的中点都要种上树 求相邻两棵树之间的距离最多是多少米 求相邻两棵树之间的距离最多是多少米 22 5 分析 由于甲乙 乙丙的两村中点各要种上一棵树 所要要将 360 2 180 米 675 2 337 5 米平均分成若干段 并且使每段的长 度最长 因为 675 360 45 而 180 360 2 337 5 675 2 所以 45 2 22 5 即相邻两棵树之间距离最多是 22 5 米 1 一条公路由 A 经 B 到 C 已知 A B 相距 300 米 B C 相距 215 米 现在路边植树 要求相邻两树间的距离相等 并在 B 点及 AB BC 的中点上都要植一棵 那么两树间的距离最多有多少米 2 5 2 有 336 支铅笔 252 块橡皮 210 个文具盒 用这些文具 最多可以分成多少份同样的礼物 在每份礼物中 铅笔 橡皮 文 具盒各有多少 42 份 分别是 8 6 5 3 甲数是 36 甲 乙两数的最小公倍数是 288 最大公约数是 4 乙数是多少 32 例题例题 5 5 用一张长用一张长 10721072 毫米 宽毫米 宽 469469 毫米的长方形纸 剪成面积相毫米的长方形纸 剪成面积相 等的正方形 并且最后没有剩余 这些正方形的边长最长是多少 等的正方形 并且最后没有剩余 这些正方形的边长最长是多少 6767 分析 前面的例题已经告诉了我们 解决这道题只要求出长方 形长和宽的最大公约数就行了 但是这题中 长和宽的数比较大 最大公约数比较难求出 这里再介绍一种求两个数的最大公约数的 方法 第一步 1072 469 余 134 第二步 469 134 余 67 第三步 134 67 没有余数 所以用 67 毫米为正方形的边长 来剪 正好能剪 1072 67 469 67 112 个正方
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