初一下不等式知识点和专用练习题(人教A版)

不等关系 不等式的基本性质及解集不等关系 不等式的基本性质及解集 知识要点 要点 1 不等式的概念及分类 一般地 用符号 或 或 连接的式子叫做不等式 不等式分类 1 绝对不等式 无论在什么条件下不等式都成立 2 条件不等式 只有在一定条件下不等式才能成立 3 矛盾不等式 无论在什么条件下不等式都不成立 要点 2 常见不等式的基本语言 1 若 x 0 则 x 是正数 2 若 x 0 则 x 是负数 3 若 x 0 则 x 是非负数 4 若 x 0 则 x 是非正数 5 若 x y 0 则 x 大于 y 6 若 x y 0 则 x 小于 y 7 若 x y 0 则 x 不小于 y 8 若 x y 0 则 x 不大于 y 9 若 xy 0 或 则 x y 同号 10 若 xy 0 或 则 x y 异号 0 y x 0 y x 要点 3 不等式的基本性质及其他性质 基本性质 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个整式 不等号方向不变 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号方向不变 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号方向要改变 其他性质 1 若 a b 则 b a 2 若 a b 且 b c 则 a c 3 若 a b 且 b a 则 a b 4 若 a2 0 则 a 0 说明 不等式的基本性质也是不等式的同解原理 要点 4 不等式的解和不等式的解集以及它们的区别与联系 能使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解 能使不等式成立的未知数的某个值 一个含有未知数的不等式的所有的解 组成这个不等式的解集 能使不等式成立的未知数的所有值 要点 5 在数轴上表示不等式的解集 用以下口诀便于记忆 大于向右画 小于向左画 有等号的画实心 无等号的画空心 大于向右画 小于向左画 有等号的画实心 无等号的画空心 一元一次不等式 一元一次不等式与一次函数 一元一次不等式组一元一次不等式 一元一次不等式与一次函数 一元一次不等式组 知识要点 要点 1 一元一次不等式及解一元一次不等式的一般步骤 概念 不等式两边都是整式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 像这样的不等式为 一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤 1 去分母 根据不等式的性质 2 或 3 2 取括号 根据整式的运算法则 3 移项 根据不等式的性质 1 4 合并同类项 根据整式的运算法则 5 将未知数的系数化为 1 根据不等式的性质 2 或 3 要点 2 一元一次不等式在实际问题中的应用 1 把实际问题转化为不等式问题 就是根据不等式关系列出不等式 2 要根据题中字母或者有关量的限制条件找出符合实际定一的解 符合实际意义 具体的 有限 的特殊解 要点 3 用一次函数的图象确定一元一次不等式解集的方法 1 对于单个的一次函数 y kx b k 0 求函数值为正 或负 时对应自变量的取值时 就变成了 一元一次不等式 kx b 0 或 kx b 0 2 对于两个一次函数 y1 k1x b1 k1 0 和 y2 k2x b2 k2 0 若求 x 为何值时 y1 y2 或 y1 y2 就成为不等式 k1x b1 k2x b2 或 k1x b1 k2x b2 要点 4 一元一次方程 一元一次不等式与一次函数的关系 不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体 有如下关系 不等式或小于函数值大于 方程函数值等于 函数 a a 要点 5 一元一次不等式组的概念及解集 1 概念 一般地 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起 就组成一个一元一次不等式 组 2 解集 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分 叫做一元一次不等式组的解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 一元一次不等式和一元一次不等式组 不等关系 不等式的基本性质及解集 易错易混点 1 不能正确理解不等号的作用 2 在运用不等式的基本性质时 忽略字母取 0 的特殊情况 造成错误 3 在运用不等式的性质时 必须明确不等式两边是同乘以 或除以 一个正数还是负数 确定不等号的变化 4 对不等式的解和不等式的解集 概念不理解 例 下列式子是不等式的是 x 0 5 8 a 2 a b A B C D 例 若 a b c 为实数 则 ac2 bc2 例 若 a 1 时 则下列各式错误的是 A a 1 B a 1 0 C a 1 0 D 2a 2 典型例题 已知关于 x y 的方程组 1 152 myx myx 1 试列出使 x y 成立的 m 的不等式 2 运用不等式的基本性质将此不等式化为 m a 或 m a 的形式 例 1 不等式 ax b 的解集为 那么 a 的取值范围是 a b x A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 例 2 已知不等式 5x a 3 的解集为 x 2 试求 a 的值 相关题型 ax 2 与 2x 3 5 的解集相同 则 a 例 3 试比较代数式 3x2 2x 7 与 4x2 2x 7 大小 相关题型 a 取什么值时 代数式的值不小于的值 并且求出 a 的最小值 6 45 a 3 1 8 7a 例 4 求不等式的最小整数解 xx219175 相关题型 不等式 0 的正整数解 45 2 42 x x 例 5 已知关于 x 的方程的解是非正数 求 m 为何正整数 24 15 4 35mmx 一元一次不等式 一元一次不等式与一次函数 一元一次不等式组一元一次不等式 一元一次不等式与一次函数 一元一次不等式组 易错易混点 1 不等式两边都乘以 或除以 同一个负数时 不等号要变号 2 不等正确理解用一元一次不等 式求一次函数自变量的取值范围 3 对特殊解的表示出现错误 例 1 已知等腰三角形 ABC 的周长为 12cm 试写出腰长 y cm 与底边 x cm 之间的函数关系式 并画出它的图象 例 2 若不等式组的解集为 x 2 则 a 的取值范围是 ax x 1 3 12 A a 2 B a 2 C a 2 D a 2 典型例题 1 不等式 6x 2 a 2x 的解集是 x 2 求 a 的值 2 一次函数 y 2x 5 中 如果 y 的取值范围是 3 y 11 则 x 的取值范围是 A 3 x 11 B 4 x 11 C 4 x 3 D 3 x 3 3 若不等式 2 x 1 5 3 x 1 4 的最小整数解是方程的解 求代数式 a2 2a 1 的值 5 3 1 axx 相关题型 已知不等式 5 x 2 8 6 x 1 7 的最小整数解是方程 2x ax 3 的解 求代数式 的值 a a 14 4 4 已知不等式组的解集为 1 x 1 求 a 与 b 的值 32 12 bx ax 5 某市组织 20 辆汽车装运完 A B C 三种脐橙共 100 吨到外地销售 按计划 20 辆汽车都要装 运 每辆汽车只能装运同一种脐橙 且必须装满 根据下表提供的信息 解答一下问题 1 设装运 A 种脐橙的车辆数为 x 装运 B 种脐橙的车辆数为 y 求 y 与 x 的函数关系式 2 如果装运每种脐橙的车辆数都不 少于 4 辆 那么车辆的安排方案有几种 并写出每种安排方案 3 若要使此次销售获利最大 应采用哪种安排方案 并求出最大利润的值 6 已知关于 x 的不等式组的解集如图 01 1 所示 01 02 mx x 求 m 的取值范围 脐橙品种ABC 每辆汽车运载量 吨 654 每吨脐橙获得 百元 121610 01 1 7 有人问一位老师 她所教的班有多少学生 老师说 一半学生在学数学 四分之一的学生在 学音乐 七分之一的学生在读英语 还剩不足六位同学在操场踢足球 试问这个班共有多少学 生 8 班委会决定 由小敏 小聪两人负责选购圆珠笔 钢笔共 22 枝 赠给山区学校的同学 他们去 了商场 看到圆珠笔每枝 5 元 钢笔每枝 6 元 1 若他们购买圆珠笔 钢笔刚好用去了 120 元 问圆珠笔 钢笔各买了多少枝 2 若购买圆珠笔可 9 折优惠 钢笔可 8 折优惠 在所需费用不超过 100 元的前提下 请你写出 一种选购方案 练习题一 1 m2是非负数 用适当的不等式表示 2 一部电梯最大负荷为 1000kg 有 12 个人共携带一个 40kg 的木箱乘电梯 他们的平均体重 x kg 应满足的关系式为 3 在两个连续整数 a 和 b 之间 a b 那么 a b 的值分别是 1010 4 已知 x 为整数 且满足 x 则 x 2 3 5 若 a b c 0 则 a c b c ac bc ac2 bc2 6 由 x y 得到 ax ay 则 a 的取值范围是 7 若 则 x 的取值范围是 055 xx 8 滨海市出租汽车起步价为 10 元 即行驶距离在 5 千米以内的都需付 10 元车费 达到或超过 5 千米后 每增加 1 千米加价 1 2 元 不足 1 千米部分按 1 千米来计 小华乘这种出租车从家到 单位 支付车费 22 元 设小华从家到单位距离为 x 千米 x 为整数 那么 x 的最大值是 9 若 x 满足不等式 3 2006 则满足条件的所有的 x 值的和为 x 10 下列说法错误的是 A 4 不是不等式 x 2 0 的解 B 2 是不等式 x 3 0 的一个解 C 不等式 2x 5 10 x 的解有无数个 D 不等式 x 5 的正整数解有无数多个 11 无论 x 取什么数 下列不等式总成立的是 A x 5 0 B x 5 0 C x 5 2 0 D x 5 2 0 12 如果 m n 0 那么下列结论中错误的是 A m 9 n 9 B m n C D mn 11 1 n m 13 若 x 4 则下列不等式中成立的是 A x2 4x B x2 4x C x2 4x D x2 4 14 由 m n 得到 ma2 na2的条件是 A a 0 B a 0 C a 0 D a 为任意实数 15 某种商品的进价为 800 元 出售时标价为 1200 元 后来由于该商品积压 商店准备打折出售 但要保持利润率不低于 5 则至少可打 A 6 折 B 7 折 C 8 折 D 9 折 16 若 a b a a b b 则有 A ab 0 B 0 C a b 0 D a b 2 b a 17 如果不等式 3x m 0 的正整数解是 1 2 3 那么 m 的取值范围是 A 9 m 12 B 9 m 12 C m 12 D m 0 18 若不等式 a 1 x a 1 的解集为 x 1 则 a 必须满足 A a 0 B a 1 C a 1 D a 1 19 已知 a 0 b 0 a b 0 你能将 a a b b a b b a 按从小到大的顺序排列起来 吗 试试看 20 根据不等式的基本性质 把下列不等式化简为 x a 或 x a 的形式 1 2 1 4 5 4 3 xx5543 xx 21 已知 x 3 是方程的解 求不等式的解集 将解集表示在数轴上 12 2 x ax 3 1 5 2 x a 22 已知关于 x 的不等式的两边同时除以 1 a 得到 试化简 21 xa a x 1 2 21 aa 23 当 k 在什么范围内取值时 关于 x 的方程有 1 非正数解 2 不大于 3 的 1423 kxkx 解 24 比较下面两列算是结果的大小 在横线上填 或 或 42 32 2 4 3 2 2 12 2 2 1 22 22 2 2 2 2 1 22 2 1 2 2 2 通过观察归纳 写出能反映这种规律的一般结论 并加以证明 练习题二 1 当 x 满足 时 代数式的值为非负数 2 75 x 2 不等式 x 9 3x 3 的最大负整数解是 不等式的解集为3432 x 3 关于 x 的方程 1 a x 1 2x 的解为一正数 则 a 的取值范围是 4 函数 y x 3a 与 y x a 1 的图象相交于第二象限 则 a 的取值范围是 5 已知一次函数 y ax b a b 是常数 x 与 y 的部分对应值如下表 x 2 10123 y6420 2 4 那么方程 ax b 0 的解是 不等式 ax b 0 的解集是 6 若 则 k 的取值范围是 8282 kk 7 若不等式 2x m 0 的正整数解恰好是 1 2 3 4 则 m 的取值范围是 8 若关于 x 的方程的解是非负数 则 m 的取值范围是 2 2 2 3 xmx x 9 一天夜里 一个在森林散布的人听见树林里一伙盗贼在瓜分一批作为赃物的布匹 只听见他们 说 如果每人分 4 匹 则剩 20 匹 如果每人分 8 匹 则有一人少几批 问盗贼有 个 它们总共盗来 匹布 10 如果 2 m m 1 m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列 那么的取值范围是 A m 0 B m C m 0 D 0 m 2 1 2 1 11 点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 是一次函数 y 4x 3 图象上的两个点 且 x1 x2 则 y1与 y2的大小 关系是 A y1 y2 B y1 y2 0 C y1 y2 D y1 y2 12 若 则 x 应满足 1 2 2 x x A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 13 已知 1 x 2 则等于 12 xx A x B 1 C 2x 3 D 1 2x 14 若不等式 a 7 x 6 的解集为 x 1 则 a 的值为 A 13 B 8 C 1 D 9 15 已知一次函数 y1 k1x b1和 y2 k2x b2的图象如图 01 2 所示 则 y1 y2时 x 的取值范围是 A B C x 1 D x 1 2 3 x 2 3 x 16 设一个三角形的三边长分别为 3 1 2m 8 则 m 的取值范围是 01 2 A 0 m B 5 m 2 2 1 C 2 m 5 D m 1 2 7 17 已知点 M 3a 9 1 a 在第三象限 且它的坐标都是整数 则 a 等于 A 1 B 2 C 3 D 4 18 解不等式 组 1 2 03 0 02 003 0 2 5 5 0 14 0 xxx x xx 4 143 3 262 7 3 4 xxx xx 4245 3 5 4 5 43 3 2 7 13 2 1 5423 xx x xx 19 已知的值不小于的值 求 x 的取值范围 并在数轴上表示出来 3 72 x 7 53 x 20 求不等式的正整数解 045 2 42 x x 21 若 x 满足不等式组 化简 0 5 2 1342 x xx 522 xx 22 若 求当 y 0 时 m 的取值范围 054 2 myxx 23 已知关于 x 的不等式组的整数解共有 5 个 求 a 的取值范围 123 0 x ax 24 已知关于 x 的不等式组的解集为 1 x 19 求 a b 的值 02 0 bax bax 25 不等式组的解集是 3 x a 2 求 a 的取值范围 53 21 x axa 26 有一个两位数 其十位数字比个位数字小 2 这个数大于 20 小于 40 求这个两位数 27 已知关于 x y 的方程组的解中 x 为非正数 y 为负数 ayx ayx 31 7 1 求 a 的取值范围 2 化简 23 aa 3 在 a 的取值范围中 m 是其中最大的整数 n 为其中的最小整数 求的值 nm nm 4 在 a 的取值范围中 当 a 为什么整数时 不等式 2ax x 2a 1 的解集为 x 1 28 某种化肥在县城的甲 乙两个生产资料门市部均有销售 现了解到该化肥在甲 乙两个门市部 的标价均为 600 元 吨 但都有一定的优惠政策 甲门市部是第一吨按标价收费 超出部分每吨 优惠 25 乙门市部每吨优惠 20 出售 1 写出甲门市部每次交易的销售额 y1 元 与销售 x 吨 之间的函数关系式及乙门市部每次交易 的销售额 y2 元 与销售 x 吨 之间的函数关系式 2 种粮大户张某想一次购买此种化肥 4 吨 李某想一次购买此种化肥 8 吨 他们到哪个门市 部购买省钱 请给他们分别提出合理建议 29 某饮料厂开发了 A B 两种新型饮料 主要原料均为甲和乙 每瓶饮料中甲和乙的含量如下表 所示 现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产 计划生产 A B 两种饮料共 100 瓶 设生产 A 种饮料 x 瓶 解答下列问题 原料名称 饮料名称 甲乙 A20 克40 克 1 有几种符合题意的生产方案 写出解答 过程 2 如果 A 种饮料每瓶的成本为 2 60 元 B 种饮料每瓶的成本为 2 80 元 这两种饮料成本总额 为 y 元 请写出 y 与 x 之间的关系式 并说明 x 取何值会使成本总额最低 30 某校九年级三班为开展 迎 2008 年北京奥运会 的主题班会活动 派了小林和小明两位同学 去学校附近的超市购买钢笔作为奖品 已知该超市的锦江牌钢笔每支 8 元 红梅牌钢笔每支 4 8 元 他们要购买这两种笔共 40 支 1 如果他们两人一共带了 240 元 全部用于购买奖品 那么能卖这两种笔各多少支 2 小林和小明根据主题班会活动的设奖情况 决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于红梅牌钢 笔的数量的 1 2 但又不少于红梅牌钢笔的数量的 1 4 如果他们买了锦江牌钢笔 x 支 买这两 种笔共花了 y 元 请写出 y 元 关于 x 支 的函数关系式 并求自变量 x 的取值范围 请帮他们计算一下 这两种笔各购买多少支时 所花的钱最少 此时花了多少元 中考链接中考链接 1 某公司打算至多用 1200 元印制广告单 已知制版费 50 元 每印一张广告单还需支付 0 3 元的 印刷费 则该公司可印制的广告单数量 x 张 满足的不等式为 2 甲从一个鱼摊上买了三条鱼 平均每条 a 元 又从另一个鱼摊上买了两条鱼 平均每条 b 元 后来他又以元的价格把鱼全部卖给了乙 结果赔了钱 原因是 2 ba A a b B a b C a b D 与 a 和 b 的大小无关 3 若 a b 且 x 是有理数 则下列结论正确的是 A ax bx B ax bx C ax2 bx2 D a x2 bx2 4 5 初中毕业了 孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取 140 200 元钱 买一份礼物送给父母 已知 在暑假期间 如果卖出的报纸不超过 1000 份 则每卖出一份报纸可得 0 1 元 如果卖出的报纸 超过 1000 份 则超过部分每份可得 0 2 元 1 请说明 孔明同学要到目的 卖出报纸的份数必须超过 1000 份 2 孔明同学要通过卖报纸赚取 140 200 元 请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内 6 在一