初中数学竞赛—三角形三边关系(教师版)

初中数学竞赛专题选讲 三角形的边角性质 一 内容提要一 内容提要 三角形边角性质主要的有 1 边与边的关系是 任意两边和大于第三边 任意两边差小于第三边 反过来要使三条线段能组成一个三角形 必须任意两条线段的和都大 于第三条线段 即最长边必须小于其他两边和 用式子表示如下 a b c 是 ABC 的边长bacba bac acb cba 推广到任意多边形 任意一边都小于其他各边的和 2 角与角的关系是 三角形三个内角和等于 180 任意一个外角等于和 它不相邻的两个内角和 推广到任意多边形 四边形内角和 2 180 五边形内角和 3 180 六边形内角和 4 180 n 边形内角和 n 2 180 3 边与角的关系 在一个三角形中 等边对等角 等角对等边 大边对大角 大角对大边 在直角三角形中 ABC 中 C Rt 勾股定理及逆定理 222 cba ABC 中a b c 1 2 30A RtC 3 ABC 中 a b c 1 1 45A RtC 2 二 例题二 例题 例 1 要使三条线段 3a 1 4a 1 12 a 能组成一个三角形求 a 的取值范围 1988 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题 解 根据三角形任意两边和大于第三边 得不等式组 解得 1 5 a 5 141312 131214 121413 aaa aaa aaa 5 113 5 1 a a 答当 1 5 a 5 时 三条线段 3a 1 4a 1 12 a 能组成一个三角形 例 2 如图 A B C D AB x AC y AD z 若以 AB 和 CD 分别绕着点 B 和点 C 旋转 使点 A 和 D 重合组成三角形 下列不等式哪些必须满足 x y x y 2 z 2 z 2 z 解由已知 AB x BC y x CD z x 要使 AB BC CD 组成三角形 必须满足下列不等式组 即 xyzxy xyyzx yzxyx xz yzx zy 2 22 2 2 2 2 z x z xy z y 答 y x 和 y 必须满足 2 z 2 z 例 3 已知 ABC 的三边都是正整数 a 5 b a c 符合条件的三角形共 有几个 试写出它们的边长 解 由已知 a 5 1 b 5 c a b 5 c 9 符合条件的三角形共有 15 个 按 b a c 排列 它们的边长是 155 255 256 355 356 357 455 456 457 458 555 556 557 558 559 例 4 如图求角 A B C D E F 的度数和 解 四边形 EFMN 的内角和 360 度 1 A B 2 C D 1 2 E F 360 度 A B C D E F 360 度 例 5 ABC 中 A B C 2 C 5 A 求 B 的取值范围 1989 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题 解 根据题意 得 21 N M A BC D E F 得 C 180 B A 180 B 180 52 CBA AC CBA 7 5 7 2 180 B B 180 B 40 B 75 7 2 7 5 例 6 在凸四边形 ABCD 中 AB BC CD A B C 1 1 2 求各内角的度数 解 作 BCD 的平分线交 AD 于 E BCE DCE SAS D CBE BCE BAE SSS CBE ABE D 设 D X 度 则 2X 2X 4X X 360 X 40 度 答 DAB ABC 80 B D 160 D 40 三 练习三 练习 1 ABC 中 a 5 b 7 则第三边 c 和第三边上的高 hc的取值范围是 2 a b c 是 ABC 的三边长 化简得 22 cbacba 3 已知 ABC 的两边长 a 和 b ab c 那么 C 的度数是范围 1987 年泉州市初二数学年泉州市初二数学 双基赛题双基赛题 10 ABC 中 C B 的平分线相交于 O BOC 120 则 A 11 ABC 中 AB AC A 40 点 D E F 分别在 BC AC AB 上 CE BD BF DC 则 EDF 1986 年泉州市初二数学双基赛年泉州市初二数学双基赛 A 4 2 3 1 B C D 题 题 12 如图 A B C D E F 度 1986 年泉州市初二数学双基赛题 年泉州市初二数学双基赛题 13 如图 A B C D E F H 度 14 如图 ADE 中 ADE 140 且 AB BC CD DE 则 A 15 如图 A B C AED 度 1988 年泉州市初二数学双基赛年泉州市初二数学双基赛 题题 这里 AED 是指射线 EA 绕端点 E 按逆时针方向旋转到 ED 所成的角 16 ABC 的 AB AC CD AD BD 则 BAC 度 1988 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题 17 ABC 中 A Rt B 60 B 的平分线交 AC 于 D 点 D 到边 BC 的距离为 2cm 则边 AC 的长是 cm 1988 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题 C B A E B C D D A 18 ABC 中 AB AC M 是 AC 的中点 则的值是 BM AB A 大于 B 大于 C 大于 D 大于 2 1 3 2 3 1 4 3 19 不等边三角形的三边长均为整数 其周长是 28 且最大边与次大边的差 比次大 边与最小边的差大 1 则这样的三角形共有 个 它们的边长 是 1989 年泉州市初二数学双基赛题 年泉州市初二数学双基赛题 20 菱形 ABCD 中 点 E F 分别在边 BC CD 上 且 AEF 为等边三角形 求 C 的度数 练习题参考答案练习题参考答案 D 7 6 5 43 2 1 A F ED C B A B C E J A B C D 1 2 c 12 hc 5 2 2c 3 2b L 2a 2b 4 31 个 5 3 个 15 个 6 x s 2 1 s 4