数值分析多项式插值实验报告

1 / 6数值分析多项式插值实验报告数值分析实验报告 数值分析课程实验报告 实验名称 插值与拟合 数值分析实验报告 1 2 3 (转 载 于: 海达范文网:数值分析多项式插值实验报告) 4 5 数值分析实验报告2 / 6 1 2 实验报告：函数逼近&插值多项式补充 问题 1：对于给函数 f(x)? 12k?1 x?cos?，k 取 0，1，n。n 取 10，取点 k 1+25x22n?21 在区间-1，1上取 xi=-1+，试求 3 次 1+25x2 或 20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题 2 的结果进行比较。 问题 2：对于给函数 f(x)? 3 / 6曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题 2 的结果进行比较。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2 编写相关程序并进行实验； 3 调试程序，得到最终结果； 4 分析解释实验结果； 5 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见数值分析第 5 版第二章、第三章相关内容。 实验内容： 问题 1： 这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。 当 n=10 时，代码为： 4 / 6clear all clc k=0:10; n=length(k); x1=cos(2*k+1)/2/n*pi); y1=1./(1+25.*x1. ); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1)/(x1(i)-x1(i-j+1); end end syms Fxp; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1); p(i)=f(i)*F(i); end syms P P=sum(p); P10=vpa(expand(P),5); x0=-1:1; y0=subs(P,x,x0); y2=subs(1/(1+25*x ),x,x0);形，并和原函数进行对比，得 Fig. 1。 牛顿插值多项式函数和原函数图形 牛顿插值多项式函数和原函数图形5 / 6 回顾一下实验一的结果，我们不难发现，仅仅是改变了 x的取值，结果发生了很大的变化。实验一中，插值多项式与原函数产生了很大的偏差，并且随着分的段数的增加，其误差不断变大，但是在本次实验中，我们不难发现，虽然多项式依旧存在震荡现象，但是误差小了很多，而且随着分的段数的增加，插值多项式曲线与原函数曲线已经十分接近了。 实验一结果 这个例子说明：采用切比雪夫节点替代等距节点可以消除龙格现象。 问题 2： 分析问题，发现在这个问题中，我们已经知道了原函数，同时它也告诉我们所需取的 11 个点的值，所以这里可以用两种方法进行函数逼近得到拟合曲线。 首先采用最小二乘法来考虑这个问题，编写代码如下： 6 / 6clear all clc n=3; x1=-1:1; y1=1./(1+25.*x y2=subs(1/(1+25*x ),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel(x) ylabel(y) 我们可以得到一个三次多项式：S3=*x - *x - *x + 。同时我们也可以得到它与原函数的图形，如图 Fig. 4。 最小二乘法 n=3 的结果 我们发现得到的结