北师大版八年级数学下册-第一章-三角形的证明(提高)

1 第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 一 八条基本事实一 八条基本事实 1 两点确定一条直线 两点确定一条直线 2 两点之间直线最短 两点之间直线最短 3 同一平面内 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 同一平面内 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4 同位角相等 两直线平行 同位角相等 两直线平行 5 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 6 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 SAS 7 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 ASA 8 三边分别相等的两个三角形全等 三边分别相等的两个三角形全等 SSS 二 平行线的判定和性质二 平行线的判定和性质 判定 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 三 全等三角形三 全等三角形 判定定理 1 三组对应边分别相等的两个三角形全等 SSS 2 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 3 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ASA 4 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 AAS 性质 全等三角形对应边相等 对应角相等 三角形全等常用来证明线段或角相等 三角形全等常用来证明线段或角相等 例 例 如图 ABC 中 AC BC ACB 90 点 D 在 AC 上 点 E 在 BC 延长线上 CD CE BD 的延长线交 AE 于点 F 连 CF 1 证明 AEBD 2 证明 2EFFDFC 2 练习 1 在四边形ABCD中 AC AB DC DB CAB 60 CDB 120 E是AC上一点 F是AB延长线上一点 且CE BF 1 求证 DE DF 2 若 G 在 AB 上且 EDG 60 求证 CE BG EG 2 如图 在 ABC 中 AB AC D 是 AB 上一点 E 是 AC 延长线上一点 且 CE BD 连结 DE 交 BC 于 F 猜想 DF 与 EF 的大小关系并请证明你的猜想 3 如图 RT ABC 中 ACB 90 ABC 的角平分线 AD BE 相交于点 P 过 P 作 PF AD 交 BC 的延长线于点F 交 AC 于点 H 1 求的度数 APB 2 证明 AHBDAB 四 等腰三角形四 等腰三角形 1 性质 定理 等腰三角形有两边相等 定理 等腰三角形有两边相等 定义定义 定理 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 定理 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 3 例题 例题 1 点 P 是等边三角形 ABC 所在平面上一点 若 P 和 ABC 的三个顶点所组成的 PAB PBC PAC 都是等腰三角形 则这样的点 P 的个数为 A 1 B 4 C 7 D 10 2 如图 如图 等腰三角形 ABC 中 AB AC A 20 D 为 AB 边上一点 且 AD BC 求 CDB 的度数 练习 1 等腰三角形 ABC 中 AB AC D 为 BC 上的一点 且 BD AD DC 那么 B 的度数为 2 如图在平面直角坐标系中 点 A 在第一象限 点 P 在 x 轴上 若以 P O A 为顶点的三角形是等腰三 角形 则满足条件的点 P 共有 A 2 个B 3 个 C 4 个D 5 个 3 等腰三角形一腰长为 5 一边上的高为 3 则底边长为 4 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A1 A2 A3 和 B1 B2 B3 分别在直线 y kx b 和 x 轴上 OA1B1 B1A2B2 B2A3B3 都是等腰直角三角形 如果 A1 1 1 A2 那么点 A3的纵坐标是 点的纵坐标是 5 如图 ABC 中 AB AC 点 Q 在 AC 上 在 BA 的延长线上取 AP AQ 求证 PQ 垂直于 BC 4 6 已知 如图 在等腰三角形 ABC 中 AB AC P 是底边 BC 上任意一点 过点 P 作 PE AB PF AC 垂 足分别为 E F 过点 B 作 BD AC 垂足为 D 求证 PE PF BD 推论推论 1 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线合一 三线合一 推论推论 2 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 例 例 如图 在 RT ABC 中 ACB 90 AC BC D 为 AB 的中点 DE 交 AC 于点 E DF 交 BC 于点 F 且 DE DF 过 A 作 AG BC 交 FD 的延长线于点 G 1 求证 AGBF 2 若 求线段的长 9AE 18BF EF 练习 1 如图 在 ABC 中 ABC 45 CD AB BE AC 垂足分别为 D E F 为 BC 中点 BE 与 DF DC 分别交于点 G H ABE CBE 1 证明 BHCA 2 证明 222 BGGEEA 2 已知 CE 垂直于 AB 于 E 点 1 2 AE 1 2 AD AB 求证 ABC D 180 5 2 判定 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形 定理 有一个角等于定理 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 的等腰三角形是等边三角形 3 反证法 先假设命题的结论不成立 然后推导出与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结果 从而证 明命题的结论一定成立 这种证明方法称为反证法 例 1 如图所示 在边长为 2 cm 的正三角形 ABC 中 E F G 分别为 AB AC BC 的中点 点 P 为线段 EF 上一个动点 连接 BP GP 则 PBG 的周长的最小值是 例 2 如图 在等腰RT ABC 中 ACB 90 AC CB F 是 AB 边上的中点 点D E 分别在 AC BC 边上运动 且始终保持AD CE 连接 DE DF EF 1 求证 DF EF 2 试证明是等腰直角三角形 DEF 例 3 如图 等腰直角三角形ABC 中 BAC 90 D E 分别为 AB AC 边上的点 AD AE AF BE 交 BC 于点 F 过点 F 作 FG CD 交 BE 的延长线于点 G 交 AC 于点 M 1 证明 为等腰三角形 EGM 2 证明 BGAFFG F E D C B A 6 练习 1 如图 已知 ABC 为等边三角形 D 为 BC 延长线上的一点 CE 平分 ACD CE BD 求证 ADE 为等 边三角形 2 在等边三角形 ABC 中 点 D E 分别在边 BC AB 上 且 BD AE AD 与 CE 交于点 F 求 DFC 的度数 五 直角三角形五 直角三角形 1 直角三角形的性质 直角三角形两锐角互余 直角三角形两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 在直角三角形中 如果一个锐角等于在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 那么它所对的直角边等于斜边的一半 2 直角三角形判定 有两个锐角互余的三角形是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 勾股定理逆定理 3 互逆命题 互逆定理 在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为互逆 命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它也是一个定理 这两个定理称为互逆定理 其中一个 定理称为另一个定理的逆定理 注意 真命题的逆命题不一定为真 定理和逆定理均为真命题 4 直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 斜边 直角边 或 HL 7 例例 1 如图 ABC 中 C 90 1 2 CD 3 2 BD 5 2 求 AC 的长 例 2 小明是一位善于思考的学生 在一次数学活动课上 他将一副直角三角板如图位置摆放 A B D 在同 一直线上 EF AD A EDF 90 C 45 E 60 量得 DE 8 试求 BD 的长 例 3 如图 等边 ABC 中 AO 是 BAC 的角平分线 D 为 AO 上一点 以 CD 为一边且在 CD 的下方作等边 三角形 CDE 连接 BE 1 求证 ACDBCE 2 延长至 为上一点 连结 使 若时 求的长 BEQPBQCPQC5CPCQ 8BC PQ 练习 1 如图 在 ABC 中 ACB 90 D 是 BC 的中点 DE BC CE AD 若 AC 2 CE 4 则 四边形 ACEB 的周长为 8 2 如图 2 5 所示 在等边三角形 ABC 中 AE CD AD BE 交于 P 点 BQ AD 于 Q 求证 BP 2PQ 3 如图 是等边的边上一点 是延长线上一点 连接交DABC ABEBCCEDA DE 于 过点作于于点 ACFDDGAC G 1 证明 1 2 AGAD 2 证明 GFFCAG 4 已知等腰 Rt ABC 中 ACB 90 AC BC 点 G 在 BC 上 连接 AG 过 C 作 CF AG 垂足为点 E 过点 B 作 BF CF 于点 F 点 D 是 AB 的中点 连接 DE DF 1 若 CAG 30 EG 1 求 BG 的长 2 求证 AED DFE 六 线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 外心 外心 判定 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上判定 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 G F E D C B A 9 例例 1 如图 ABC 中 AB AC BAC 54 BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O 将 C 沿 EF E 在 BC 上 F 在 AC 上 折叠 点 C 与点 O 恰好重合 则 OEC 大小为 A 134 B 136 C 108 D 112 2 在 ABC 中 AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F 垂足为 D 若 AC 6 BC 4 BCF 的周长为 E C F A D B 3 如图 在 RT ABC 中 AB AC BAC 90 D E 为 BC 上的两点 DAE 45 F 为 ABC 外 一点 且 FB BC FA AE 1 证明 CEBF 2 证明 222 BDCEDE 练习 1 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 4 对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD AC 于点 E O 连接 CE 则 CE 的长为 A 3 B 3 5 C 2 5 D 2 8 2 如图 在 RT ABC 中 ACB 900 BC 3 AC 4 AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E CE 的 长为 3 如图所示 在 ABC 中 AB AC BAC 1200 D F 分别为 AB AC 的中点 DE AB FG AC E G 在 BC 上 BC 15cm EG 的长度为 A D F B E G C 4 1 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直平分线交 AB 于 N 交 BC 的延长线于 M A 求 NMB 0 40 10 的大小 2 如果将 1 中 A 的度数改为 其余条件不变 再求 NMB 的大小 0 70 3 你发现有什么样的规律性 试证明之 4 将 1 中的 A 改为钝角 对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 5 如图 1 已知点 D 为等腰直角三角形ABC 内一点 ACB 90 CAD CBD 15 E 为 AD 延长线上的一点 且CE CA 1 求的大小 DCA 2 若点在上 如图 2 且 求证 MDEDCDM MEDB 七 角平分线 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 三角形三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 三角形三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 内心 内心 判定 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 判定 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 例 1 已知 如图 BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于点 P PE AB PF AC 垂足分别为 E F 若 AB 8 AC 4 则 AE 2 如图 分别以 ABC 的边 AB AC 向外作等边三角形ABD 和等边三角形 ACE 线段 BE 与 CD 相较于点 O 连接 AO A B C N M A B C N M A B C N M 11 1 求的度数 BOD 2 求证 平分 AODOE 练习 练习 1 如图 在 ABC 中 BC 5cm BP CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线 且 PD AB PE AC 则 PDE 的周长是 cm 2 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DF AB 垂足为 F DE DG ADG 和 AED 的面积分别为 50 和 39 则 EDF 的面积为 A 11 B 5 5 C 7 D 3 5 3 如图 ABC 是等边三角形 P 是 ABC 的平分线 BD 上一点 PE AB 于点 E 线段 BP 的垂直平分 线交 BC 于点 F 垂足为点 Q 若 BF 2 则 PE 的长为 A