圆锥曲线知识要点及结论个人总结

纯粹个人整理 盗版必须问我 1 圆锥曲线 知识要点及重要结论 一 椭圆 1 定义 平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭 21 F F 2 2 21F Faa P 圆 若 点的轨迹是线段 若 点不存在 21 2FFa P 21F F 21 20FFa P 2 标准方程 两焦点为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 21 cFcF 两焦点为 其中 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 0 0 21 cFcF 222 cba 3 几何性质 椭圆是轴对称图形 有两条对称轴 椭圆是中心对称图形 对称中心是椭圆的中心 椭圆的顶点有四个 长轴长为 短轴长为 椭圆的焦点在长轴上 a2b2 若椭圆的标准方程为 则 0 1 2 2 2 2 ba b y a x bybaxa 若椭圆的标准方程为 则 0 1 2 2 2 2 ba b x a y ayabxb 二 双曲线 1 定义 平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的 21 F F 20 2 21F Faa 轨迹叫做双曲线 若 点的轨迹是两条射线 若 点不存在 21 2FFa P 21 2FFa P 2 标准方程 两焦点为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 21 cFcF 两焦点为 其中 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 21 cFcF 222 bac 3 几何性质 双曲线是轴对称图形 有两条对称轴 双曲线是中心对称图形 对称中心是双曲线的中心 双曲线的顶点有两个 实轴长为 虚轴长为 双曲线的焦点在实轴上 21 A Aa2b2 若双曲线的标准方程为 则 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x Ryaxax 或 若双曲线的标准方程为 则 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y Rxayay 或 纯粹个人整理 盗版必须问我 2 4 渐近线 双曲线有两条渐近线和 即 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x x a b y x a b y 0 2 2 2 2 b y a x 双曲线有两条渐近线和 即 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y x b a y x b a y 0 2 2 2 2 b x a y 双曲线的渐进线是它的重要几何特征 每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线 但对于同 一组渐进线却对应无数条双曲线 与双曲线共渐进线的双曲线可表示为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 直线与双曲线有两个交点的条件 一定要 消元后的方程的二次项系数 和0 同时成立 0 5 等轴双曲线 实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的标准方程为或 0 1 2 2 2 2 a a y a x 0 1 2 2 2 2 a a x a y 等轴双曲线的渐近线方程为 xy 6 共轭双曲线 实轴为虚轴 虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线 如 的共轭双曲线为 它们的焦点到 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 1 2 2 2 2 ba a x b y 原点的距离相等 因而在以原点为圆心 为半径的圆上 且它们的渐近线都是 22 ba 和 x a b y x a b y 三 抛物线 1 定义 平面内与一个定点和一条定直线不在 上 的距离相等的点的轨迹叫做抛物FFl l 线 定点叫做抛物线的焦点 定直线 叫做抛物线的准线 Fl 2 标准方程 1 焦点为 准线方程为 抛物线张口向右 0 2 2 ppxy 0 2 p 2 p x 2 焦点为 准线方程为 抛物线张口向左 0 2 2 ppxy 0 2 p 2 p x 3 焦点为 准线方程为 抛物线张口向上 0 2 2 ppyx 2 0 p 2 p y 4 焦点为 准线方程为 抛物线张口向下 0 2 2 ppyx 2 0 p 2 p y 其中表示焦点到准线的距离 p 3 几何性质 抛物线是轴对称图形 有一条对称轴 若方程为或 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppxy 纯粹个人整理 盗版必须问我 3 则对称轴是轴 若方程为或 则对称轴是轴 x 0 2 2 ppyx 0 2 2 ppyxy 若抛物线方程为 则 0 2 2 ppxyRyx 0 若抛物线方程为 则 0 2 2 ppxyRyx 0 若抛物线方程为 则 0 2 2 ppyxRxy 0 若抛物线方程为 则 0 2 2 ppyxRxy 0 圆锥曲线的一些重要结论 几个重要结论 1 已知椭圆的两焦点为 为椭圆上一 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 21 cFcF 00 yxP 点 则 1 2 2 022 0 2 0 2 01 a x bcxycxPF a a cx a a cx acx a xc 0202 0 2 2 0 2 2 因为 axa 0 caa a cx cac a cx c 00 0 所以 同理 a a cx PF 0 1 a cx aPFaPF 0 12 2 已知双曲线的左 右焦点分别为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 21 cFcF 为双曲线上一点 则 00 yxPa a cx PF 0 1 a a cx PF 0 2 2 椭圆的两焦点为 为椭圆上一点 若 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F FP 21PF F 则的面积为 21PF F 2 tan cos1 sin 2 2 b b 解 根据椭圆的定义可得 aPFPF2 21 由余弦定理可得 cos24 21 2 2 2 1 2 21 2 PFPFPFPFFFc 纯粹个人整理 盗版必须问我 4 由 得 从而 cos1 244 21 22 PFPFca cos1 2 2 21 b PFPF 所以 的面积为 21F PF 2 tan cos1 sin sin 2 1 2 2 21 b b PFPF 双曲线的两焦点为 为其上一点 若 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F FP 21PF F 则的面积为 21PF F 2 cot cos1 sin sin 2 1 2 2 21 b b PFPF 3 已知椭圆 是上关于原点对称的两点 点是椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x CNM CP 上任意一点 当直线的斜率都存在 并记为时 那么与之积是PNPM PNPM kk PM k PN k 与点位置无关的定值 P 解 设 则 1100 yxMyxP 11 yxN 从而 01 01 01 01 xx yy k xx yy k PNPM 2 1 2 0 2 1 2 0 01 01 01 01 xx yy xx yy xx yy kk PNPM 又因为都在椭圆上 故 1100 yxMyxP1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 2 2 0 b y a x b y a x 两式相减得 因而即 0 2 2 1 2 0 2 2 1 2 0 b yy a xx 2 2 2 1 2 0 2 1 2 0 a b xx yy 2 2 a b kk PNPM 类似结论 已知双曲线 是上关于原点对称的两点 点是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x NM CP 上任意一点 当直线的斜率都存在 并记为时 那么与之积是PNPM PNPM kk PM k PN k 与点位置无关的定值 P 常用方法 1 在求轨迹方程时 若条件满足圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可以用定义求轨迹 方程 这是常用求轨迹的数学方法 称为定义法定义法 2 本章经常会碰到直线 与圆锥曲线相交于两点的问题 若已知 过定点 则lCl 00 yxP 可设 的方程为或 然后分两种情况进行研究 一般处理方法是l 0 xx 00 xxkyy 纯粹个人整理 盗版必须问我 5 把直线方程代入曲线的方程中 整理得到关于或的一元二次方程 要注意二次项系Cxy 数是否为零 韦达定理韦达定理和判别式判别式经常要用到 若 的条件不明显时 则可设 的方程为ll 或 mx mkxy 3 本章还经常用到 点差法 设直线 与圆锥曲线交于点 则lC 2211 yxByxA 两点坐标都满足曲线的方程 然后把这两个结构相同的式子相减 整理可以得到直BA C 线的斜率的表达式 也经常会出现 这样又可以与线段AB 12 12 xx yy 2121 yyxx 的中点联系起来 AB 00 yxP 4 若三点满足以线段为直径的圆经过点或 002211 yxPyxByxAABP 时 常用处理方法有 BPAP 根据勾股定理可得 222 PBPAAB 根据的斜率与的斜率之积为 可得 APBP1 1 20 20 10 10 xx yy xx yy 根据可得 0 02020101 yyxxPByyxxPAPBPA 0 02010201 yyyyxxxx 5 求轨迹方程的方法常见的有 直接法 定义法 待定系数法 代入法 也叫相关点法 圆锥曲线中有用的结论圆锥曲线中有用的结论 1 1 椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 离心率离心率 2 2 1 cb e aa PF1F2中 记 则有 12 FPF 12 PFF 12 FF P sin sinsin c e a 线到中心的距离为线到中心的距离为 焦点到对应准线的距离 焦点到对应准线的距离 焦准距焦准距 2 a c 2 b p c 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 2 2 b a 2 2 椭圆椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 22 22 1 0 xy ab ab 纯粹个人整理 盗版必须问我 6 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 12 2 1 tan 2 F PFP FPF Sc yb 3 3 椭圆的的内外部椭圆的的内外部 1 1 点 点在椭圆在椭圆的内部的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 2 点 点在椭圆在椭圆的外部的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 4 4 椭圆的切线方程椭圆的切线方程 1 1 椭圆椭圆上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过椭圆 过椭圆外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 xy ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 椭圆 椭圆与直线与直线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 5 5 双曲线双曲线的离心率的离心率 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 2 1 cb e aa PF1F2中 记 则有 12 FPF 12 PFF 12 FF P sin sinsin c e a 焦点在焦点在 x 轴的轴的与焦点在与焦点在 y 轴的轴的共渐近共渐近 22 22 x 0 y m m ab 22 22 x 0 y n n ba 线 它们离心率满足关系线 它们离心率满足关系 22 11 1 xy ee 准线到中心的距离为准线到中心的距离为 焦点到对应准线的距离 焦点到对应准线的距离 焦准距焦准距 2 a c 2 b p c 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经 其长度为 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经 其长度为 2 2 b a 焦半径公式焦半径公式 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 两焦半径与焦距构成三角形的面积两焦半径与焦距构成三角形的面积 12 2 1 cot 2 F PF FPF Sb 6 6 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 1 若双曲线方程为 若双曲线方程为渐近线方程 渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 2 若渐近线方程为若渐近线方程为双曲线可设为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 3 若双曲线与若双曲线与有公共渐近线 可设为有公共渐近线 可设为1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 纯粹个人整理 盗版必须问我 7 焦点在 焦点在 x x 轴上 轴上 焦点在 焦点在 y y 轴上 轴上 0 0 4 4 焦点到渐近线的距离总是焦点到渐近线的距离总是 b 7 7 双曲线的切线方程双曲线的切线方程 1 1 双曲线双曲线上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过双曲线过双曲线外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 xy ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 双曲线 双曲线与直线与直线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 xy ab 0AxByC 22222 A aB bc 8 8 抛物线抛物线的焦半径公式的焦半径公式 pxy2 2 抛物线抛物线焦半径焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 2 2 sin p 9 9 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或或 22 1212 ABxxyy 2222 21211212 1 4 1tan 1tABkxxxxxxyyco 弦端点 弦端点 A A 由方程 由方程 消去消去 y y 得到得到 2211 yxByx 0 y x F bkxy 0 2 cbxax 为直线的倾斜角 为直线的倾斜角 为直线斜率 为直线斜率 0 k 2 121212 4xxxxx x 10 经过抛物线经过抛物线 y2 2px p 0 的焦点作一条直线的焦点作一条直线交抛物线于交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 则则l l 的方程为的方程为 x 通经所在直线通经所在直线 或 或 y k x 2 p 2 p 两式联立 两式联立 消消 x 得得 得 得 y1y2 p2 定值 消 定值 消 y 得方得方 2 0 22 kpk yy p 程程 得 得 x1x2 定值定值 22 222 2 0 4 k p k xk pp x 2 4 p 例题 例题 若若 P1 x1 y1 P2 x2 y2 是抛物线是抛物线 y2 2px p 0 上不同的两点 则上不同的两点 则 y1y2 p2 是是 直线直线 P1P2过抛物线焦点过抛物线焦点 F 的充要条件 的充要条件 11 11 以焦点弦以焦点弦 AB 为直径的圆必与准线相切 为直径的圆必与准线相切 以焦半径为直径的圆必与以焦半径为直径的圆必与 y 轴相切 请证明 轴相切 请证明 过过 A B 作准线的垂线 焦点弦作准线的垂线 焦点弦 AB 与准线形成的直角梯形与准线形成的直角梯形 ABB A 的对角线的的对角