北京市石景山区2013届高三数学一模试题 文（石景山一模含解析）

1 北京市石景山区北京市石景山区 20132013 届高三统一测试届高三统一测试 数学 文 试题数学 文 试题 本试卷共 150 分 考试时长 120 分钟 请务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无 效 考试结束后上交答题卡 第 卷 选择题共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 设集合 则等于 2 4 Mx x 2 log1 Nxx NM A 2 2 B 2 C 2 D 2 答案 B 解析 所以 选 B 22 Mxx 2 Nx x 2 2 MNx x 2 若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上 则实数的值是 2 a iya A 1 B 1 C D 22 答案 A 解析 对应点的坐标为 由题意知 22 1 2aiaai 2 1 2 aa 2 10 20aa 解得 选 A 1a 3 将一颗骰子掷两次 观察出现的点数 并记第一次出现的点数为 m 第二次出现的点数为 n 向量 m n 3 6 则向量与共线的概率为 p q p q A B C D 1 3 1 4 1 6 1 12 答案 D 解析 由题意可得 基本事件 m n m n 1 2 6 的个数 6 6 36 若共线 则 得到 满足此条件的共有 1 2 2 4 p q 630mn 2nm 3 6 三个基本事件 因此向量共线的概率 选 D p q 31 3612 P 4 执行右面的框图 输出的结果 s 的值为 2 A 3B 2 C D 1 2 1 3 答案 A 解析 第 1 次循环 第 2 次循环 第 3 次循环 1 3iS 1 2 2 iS 第 4 次循环 第 5 次循环 1 3 3 iS 4 2iS 5 3iS 框图的作用是求周期为 4 的数列 输出 S 的值 不满足 2014 2013 退出循环 循环次 数是 2013 次 所以即输出的结果为 3 故选 A 2013503 4 1 5 设 a R 则 是 直线l1 ax 2y 0 与直线l2 x a 1 y 4 0 平行的 1a A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 直线的斜率为 直线的斜率为 所以如两直线平行则有 1 l 2 a 2 l 1 1a 解得或 所以是两直线平行的充分不必要条件 选 A 1 12 a a 1a 2a 1a 6 函数的最大值与最小值之和为 2sin 0 3 yxx A 0 B C 1 D 23 13 答案 B 解析 当时 所以 即0 x 2 333 x 2sin 2sin 2sin 332 x 所以最大值与最小值之和为 选 B 32y 23 7 某四棱锥的三视图如图所示 则最长的一条侧棱长度是 3 A B C 5 D 132 229 答案 D 解析 由三视图可知 该几何体是一个四棱锥 如图所示 侧棱 PD 底面 ABCD PD 2 底面 ABCD 是一个直角梯形 AD BC AD DC AD 2 DC 3 BC 4 BD 5 所以则最长的一条侧棱 PB 其长度是 选 D 22 2529 8 若直角坐标平面内的两点 p Q 满足条件 p Q 都在函数 y f x 的图像上 p Q 关于原点对称 则称点对 P Q 是函数 y f x 的一对 友好点对 注 点对 P Q 与 Q P 看作同一对 友好点对 已知函数 则此函数的 友好点对 有 对 2 2 1 0 4 0 og x x f x xx x A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 根据题意 当时 则 若函数为奇函数 可有0 x 0 x 2 4fxxx 则函数的图象关于原点对称的函数是 2 4f xxx 2 4 0 yxx x 2 4f xxx 由题意知 作出函数 x 0 的图象 看它与函数交点 2 4f xxx 2 1 0 f xog x x 4 个数即可得到友好点对的个数 如图观察图象可得 它们的交点个数是 2 即的 友好点对 有 2 个 选 C f x 第 卷 非选择题共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 函数 为偶函数 则实数 2 f xxax a 答案 2 解析 因为函数为偶函数 所以 2 2 2f xxa xa 即 所以 2 2 2 fxxa xaf x 20a 2a 10 在 ABC中 若 2 4 Bba 则C 答案 7 12 解析 因为 所以根据正弦定理得 所以 2ba 2 sin2sin 2 BA 1 sin 2 A 又 a b 所以 则 6 A 7 4612 C 11 在等差数列中 2013 其前n项和为 若 2 则的值等于 n a 1 a n S 1012 1210 SS 2 013 S 答案 2013 解析 在等差数列中 由得 即 所以 1012 2 1210 SS 11 119 2 22 adad 2d 20131 2013 2012 20132013 20132012 2013 2 Sad 12 设抛物线的焦点为F 其准线与轴的交点为Q 过点F作直线 交抛物线于 2 4yx xl A B两点 若 则直线 的方程为 90AQB l 答案 1x 5 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 因为 AQB 90 所以 kAQ kBQ 1 可得即 y1y2 x1 1 x2 1 整理可得 y1y2 x1x2 x1 x2 1 因为直线 AB 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F 1 0 所以根据抛物线的性质 可得 x1x2 p2 1 y1y2 p2 4 代入 得 4 1 x1 x2 1 可得 x1 x2 2 结合 x1x2 1 可得 x1 x2 1 即 A B 两点的横坐标相等 所 以直线 AB 的方程为 即直线 l 的方程为 1x 1x 13 如图 在矩形ABCD中 22ABBC 点E为BC的中点 点F在边CD上 若 2AB AF 则AE BF 的值是 D E FC BA 答案 2 解析 将矩形放入坐标系中 则 设 0 0 2 0 0 2 2 2 ABDC 2 1 E 则 由 得 2 F x 2 0 2 ABAFx 2 0 2 22AB AFxx 1x 即 所以 所以 1 2 F 12 2 2 1 BFAE 12 2 2 1 2222AE BF 14 观察下列算式 l3 1 23 3 5 33 7 9 11 43 13 15 17 19 若某数 n3按上述规律展开后 发现等式右边含有 2013 这个数 则 n 答案 45 解析 由题意可得第 n 行的左边是 右边是个连续奇数的和 设第行的第一个数为 3 nnn 6 则有 n a 21 3 12aa 32 734aa 43 1376aa 以上 个式子相加可得 1 2 1 nn aan 1n 1 1 22 1 1 2 n nn aan n 所以 可得 故可知 2013 在第 45 行 2 1 n ann 4546 1981 2071aa 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 已知函数 sin 2 cos2 6 f xxx 求函数的单调递增区间 f x 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已知 3 2 f A 2a 求 ABC的面积 3 B 16 本小题满分 13 分 PM2 5 日均值 微克 立方米 2 21 6 3 37 5 59 6 60 3 8 85 6 7 PM2 5 是指大气中直径小于或等于 2 5 微米的颗 粒物 也称为可入肺颗粒物 PM2 5 日均值在 35 微克 立方米以下空气质量为一级 在 35 微 克 立方米 75 微克 立方米之间空气质量为二级 在 75 微克 立方米以上空气质量为超标 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM2 5 监测数据如茎叶图所示 计算这 10 天 PM2 5 数据的平均值并判断其是否超标 小陈在此期间的某天曾经来此地旅游 求当天 PM2 5 日均监测数据未超标的概率 小王在此期间也有两天经过此地 这两天此地 PM2 5 监测数据均未超标 请计算 出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率 17 本小题满分 14 分 如图 在底面为直角梯形的四棱锥中 PABCD 90ADBCABC 平面 PD ABCDAD 13AB 4BC 求证 BDPC 设AC与BD相交于点O 在棱上是否存在PC 点 使得 平面 若存在 确定点位置 EOEPABE 18 本小题满分 14 分 已知函数 aR xaxxfln1 讨论函数 f x的单调区间 10104 7 A P C D B O 8 若函数在处取得极值 对 恒成立 xf1 xx 0 2 bxxf 求实数的取值范围 b 19 本小题满分 13 分 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的左 右焦点分别为 离心率为 左焦点 12 FF 1 2 到直线033 yxl的距离等于长半轴长 1 F 求椭圆C的方程 过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于两点 线段的中垂线与MN MN x轴相交于点 0 mP 求实数m的取值范围 20 本小题满分 13 分 给定有限单调递增数列且 定义集合 n x 2 nNn 1 0nixi 且 若对任意点 存在点使得 1 njixxA ji NjiAA 1 AA 2 为坐标原点 则称数列具有性质 21 OAOA O n xP 判断数列 和数列 是否具有性质 简述理由 n x2 2 n y3 1 1 2 P 若数列具有性质 求证 n xP 数列中一定存在两项使得 n x ji xx 0 ji xx 若 且 则 1 1 x0 2 x1 n x1 2 x 9 20132013 年石景山区高三统一测试年石景山区高三统一测试 高三数学 文科 参考答案高三数学 文科 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 题号 12345678 答案 BADAABDC 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 三 三 解答解答 题 题 本大本大 题共题共6 6 个个 小题 共小题 共 8080 分 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 13 分 解 sin 2 cos2 6 f xxx sin2 coscos2 sincos2 66 xxx 1 分 33 sin2cos2 22 xx 13 3 sin2cos2 22 xx 3 分 3sin 2 3 x 令 22 2 232 kxk 5 分 5 1212 kxk 函数的单调递增区间 6 分 f x 5 1212 kkkZ 由 3 2 f A 1 sin 2 32 A 题号 91011121314 答案2 7 12 2013 1x 2 45 10 因为为内角 由题意知 所以 AABC 2 0 3 A 5 2 333 A 因此 解得 8 分 5 2 36 A 4 A 由正弦定理 得 10 分 B b A a sinsin 6b 由 由 可得 12 分 4 A 3 B 62 sin 4 C 13 分 116233 sin26 2242 sabC 16 本小题满分 13 分 解 2 分 2126375960638586104107 64 8 10 X 64 8 在 35 与 75 之间 空气质量属于二级 未超标 3 分 记 当天 PM2 5 日均监测数据未超标 为事件A 6 分 243 105 P A 由茎叶图知 PM2 5 数据在之间的有 21 26 PM2 5 数据在之间的有 035 3575 37 59 60 63 从这六个数据中 任意抽取 2 个的结果有 21 37 21 59 21 60 21 63 26 37 26 59 26 60 26 63 21 26 37 59 37 60 37 63 59 60 59 63 60 63 共有 15 个 10 分 记 这两天此地 PM2 5 监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级 为事件B 13 分 8 15 P B 17 本小题满分 14 分 证明 I 在直角梯形 ABCD 中 1 3ADAB 所以 所以 4 分 2 2 3BDCD BDCD 11 又因为 所以ABCDPD 面PDBD 由 所以PDBDD PCDBD 面 所以 7 分 BDPC II 存在点 使得 平面 此时 9 分EOEPAB 1 5 PEPC 证明 在PC上取点使得 连接OE E 1 5 PEPC 由 ADBC 1 4 ADAO BCOC 所以 可得 13 分 1 4 PEAO ECOC OEPA 又因为PA 面PAB 所以 平面 14 分 OEPAB 18 本小题满分 14 分 解 在区间 0 上 1 分 11 ax fxa xx 若0a 则 f x是区间 0 上的减函数 3 分 0fx 若0a 令 0fx 得 1 x a 在区间 1 0 a 上 函数 f x是减函数 0fx 在区间 1 a 上 函数 f x是增函数 0fx 综上所述 当0a 时 f x的递减区间是 0 无递增区间 当0a 时 f x的递增区间是 1 a 递减区间是 1 0 a 6 分 II 因为函数在处取得极值 所以 xf1 x 1 0 f 解得 经检验满足题意 7 分1 a 12 由已知则 8 分 2 f xbx 1ln 2 1 x f xbxb xx 令 则 10 分 x x x xg ln1 1 222 11lnln 2 xx g x xxx 易得在上递减 在上递增 12 分 xg 2 0 e 2 e 所以 即 14 分 2 2 min 1 1 e egxg 2 1 1b e 19 本小题满分 13 分 解 由已知 2 1 a c 可得 1 1 0 2 Fa 由到直线的距离为a 所以 a a 2 3 2 1 3 分 1 F 解得 2 1 3acb 所求椭圆方程为1 34 22 yx 5 分 由 知 0 1 2 F 设直线 的方程为 l 1 yk x 1 34 1 22 yx xky 消去得01248 43 2222 kxkxk 7 分y 因为 过点 所以恒成立l 2 F0 设 11 yxM 22 yxN 则 2 2 21 43 8 k k xx 1212 2 6 2 34 k yyk xx k 中点 9 分 当MN 2 22 43 3434 kk kk 时 为长轴 中点为原点 则 10 分0