几种不同类型行列式的计算

几种不同类型行列式的计算几种不同类型行列式的计算 摘要 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一 在数学中有着广泛的应 用 懂得如何计算行列式显得尤为重要 本文先阐述行列式的基本性质 然后 介绍各种具体的方法 最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法 通 过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识 对我们以后的学习带来十 分有益的帮助 关键字 排列 行列式 范德蒙行列式 拉普拉斯定理 加边法 升阶法 数 学归纳法 The calculation method of N determinant Abstract Determinant is an basic and important subject in advanced algebra it is very useful in mathematic It is very important to know how to calculate determinant The paper first introduced the basic nature of determinant then introduced some methods Finally with the other determinant of knowledge on the links in several other ways through this series of methods will futher enhance our understanding o the determinat on our learning will bring very useful help Keywords Determinant Vandermonde Determinant Matrix Eigenvalue Laplace theorem Factorial Auxiliary determinant method 前言 行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行 列式进行较深入的认识 本文对行列式的解题方法进行总结归纳 我们可以这样来理解行列式 它是在实数 复数 的基础上定义的一个独立结 构 作为行列式本身而言 我们可以发现它的二个基本特征 当行列式是一个 三角形行列式 上三角或下三角形行列式 对角形行列式也是三角形行列式的 特殊形式 时 计算将变得十分简单 于是将一个行列式化为三角形行列式便 是行列式计算的一个基本思想 这也是化三角形法的思想精髓 行列式的另一 特征便是它的递归性 即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示 于 是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法 即递推法 这 两种方法也经常一起使用 而其它方法如 加边法 降阶法 数学归纳法 拆 行 列 法 析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法 作为特殊的行列式 当然也有其它方法 如用范德蒙公式计算某些行列式 上面这些方法是基于行 列式这一结构内部的 作为行列式与其它知识的联系 特别是多项式 矩阵的 密切关系 我们将得到一些其它的方法 这将在文中一一讨 第一章 行列式的定义及性质 1 1 行列式的定义 1 1 级排列级排列n 1 基本概念 排列 反序 反序数 排列的奇偶性 2 主要结论 级排列共有个 其中奇偶排列各占一半n n 对换改变排列的奇偶性 任意一个级排列都可以经过一些对换变成自然顺序 并且所作对换的个数与这n 个排列有相同的奇偶性 2 2 级行列式的概念级行列式的概念n 其中的所有排列求和表示对的一个排列是nnjjj n jjj n 2 1 2 1 21 21 1 2 行列式的性质 行列式的性质行列式的性质 1 有关行列式的转置 行列互换 行列式不变 2 有关行 列 的变换 互换行 列 行列式反号 用一个数乘某行 列 就等于用这个数乘这个行列式 把某行 列 的倍数加到另一行 列 行列式不变 3 有关按行 列 分解为两个行列式的和 如果某行 列 是两组数的和 那么行列式可以写成两个行列式的和 这两个行 列式的这一行 列 分别是第一组数与第二组数 而其它各行 列 都与原行列式相 n n n jjj njjj jjj nnnn n n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 21 21 22221 11211 1 同 4 有关行列式等于零 两行 列 成比例 行列式等于零 4 行列式依行依列展开 1 基本概念 子式 余子式 代数余子式 2 主要公式 n l ltls n k jkik ts tsD Aa ji jiD Aa 1 1 0 0 5 克拉默规则 若线性方程组 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 的行列式 则它有唯一解0 D nj D D x j j 2 1 其中是把的第列换成常数项 所得的行列式 j DDj n bbb 21 第二章第二章 行列式的计算行列式的计算 n 阶行列式的计算方法很多 除非零元素较少时可利用定义计算 阶行列式的计算方法很多 除非零元素较少时可利用定义计算 按照按照 某一列或某一行展开某一列或某一行展开 完全展开式 外 更多的是利用行列式的性质计算 特完全展开式 外 更多的是利用行列式的性质计算 特 别要注意观察所求题目的特点 灵活选用方法 值得注意的是 同一个行列式 别要注意观察所求题目的特点 灵活选用方法 值得注意的是 同一个行列式 有时会有不同的求解方法 下面介绍几种常用的方法 并举例说明 有时会有不同的求解方法 下面介绍几种常用的方法 并举例说明 2 1 利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0010 0200 1000 000 n D n n 解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 112211 nnnnn aaaan 该项列标排列的逆序数 t n 1 n 2 1n 等于 1 2 2 nn 故 1 2 2 1 nn n Dn 2 2 利用行列式的性质计算 例 一个 n 阶行列式的元素满足 nij Da 1 2 ijji aai jn 则称 Dn为反对称行列式 证明 奇数阶反对称行列式为零 证明 由知 即 ijji aa iiii aa 0 1 2 ii ain 故行列式 Dn可表示为 由行列式的性质 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa A A 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa 12131 12232 13233 123 0 0 1 0 0 n n n n nnn aaa aaa aaa aaa 1 n n D 当 n 为奇数时 得 Dn Dn 因而得 Dn 0 2 3 化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形 其结果为行列式主对角线上 元素的乘积 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法 化三角形法是将原行列式化为上 下 三角形行列式或对角形行列式计算 的一种方法 这是计算行列式的基本方法重要方法之一 因为利用行列式的定 义容易求得上 下 三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形 行列式计算 原则上 每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式 但对于阶 数高的行列式 在一般情况下 计算往往较繁 因此 在许多情况下 总是先 利用行列式的性质将其作为某种保值变形 再将其化为三角形行列式 例例 1 计算行列式 11231 33795 20421 357146 4410102 D 解解 这是一个阶数不高的数值行列式 通常将它化为上 下 三角行列式 来计算 23 1 32 1 43 1 54 12342 11231112311 12 31 00102020410204 1 020410010200 10 2 0215302153001 12 00222002220022 2 D 43 52 352 4 1123111231 0304102041 1 211612 0010200102 0001000010 0002600006 例例 2 计算 n 阶行列式 123 123 123 123 1 1 1 1 n n n n aaaa aaaa Daaaa aaaa 解解 这个行列式每一列的元素 除了主对角线上的外 都是相同的 且各 列的结构相似 因此 n 列之和全同 将第 2 3 n 列都加到第一列上 就 可以提出公因子且使第一列的元素全是 1 122323 122323 122323 1 122323 2 1 1 1 2 2 11 1111 11111 1111 1 1 nnn nnn n nnin i nnn n i i i i in in aaaaaaaaa aaaaaaaaa Daaaaaaaaaa aaaaaaaaa aa a 3 11 0100 111 0010 0001 n nn ii ii a aa A 例 3 计算 n 阶行列式 abbb babb Dbbab bbba 解 这个行列式的特点是每行 列 元素的和均相等 根据行列式的性质 把第 2 3 n 列都加到第 1 列上 行列式不变 得 1 1 1 1 anbbbb anbabb Danbbab anbbba 1 1 1 1 1 bbb abb anbbab bba 1 000 1 000 000 bbb ab anbab ab 1 1 nanb ab 例例 4 浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题 重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题 的解答中 需要计算如下行列式的值 1231 2341 34512 1221 n nn n D nnn 分析分析 显然若直接化为三角形行列式 计算很繁 所以我们要充分利用行 列式的性质 注意到从第 1 列开始 每一列与它一列中有 n 1 个数是差 1 的 根据行列式的性质 先从第 n 1 列开始乘以 1 加到第 n 列 第 n 2 列乘以 1 加到第 n 1 列 一直到第一列乘以 1 加到第 2 列 然后把第 1 行乘以 1 加到 各行去 再将其化为三角形行列式 计算就简单多了 解 解 1 1 2 2 1 1111111111 211111000 311112000 11111000 1000 000 100 000 200 11 1 2 000 2000 000 100 1 1 2 i i n n in rr in rr n nn Dnn nnnn n n n n n n n nn n n n nn n n n n 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 nn n n n n n 2 4 降阶法 按行 列 展开法 降阶法是按某一行 或一列 展开行列式 这样可以降低一阶 更一般地 是用拉普拉斯定理 这样可以降低多阶 为了使运算更加简便 往往是根据行 列式的特点 先利用列式的性质化简 使行列式中有较多的零出现 然后再展 开 例例 1 1 计算 20 阶行列式 20 123181920 212171819 321161718 201918321 D 分析分析 这个行列式中没有一个零元素 若直接应用按行 列 展开法逐次降阶 直至化许许多多个 2 阶行列式计算 需进行 20 20 1 次加减法和乘法运算 这人根本是无法完成的 更何况是 n 阶 但若利用行列式的性质将其化为有很 多零元素 则很快就可算出结果 注意到此行列式的相邻两列 行 的对应元素仅差 1 因此 可按下述方 法计算 解 解 1 1 20 20 118 1 2 20 19 111111 123181920 211111 212171819 311111 321161718 1911111 201918321 2011111 111111 302222 400222 21 1 221 2000002 2100000 ii i i i cc rr D 18 2 例 2 计算 n 阶行列式 0001 0000 0000 0000 1000 n a a a D a a 解 将 Dn按第 1 行展开 1 000000 000000 1 000 000 0001000 n n aa aa Daa a a 12 1 1 nnnn aa 2nn aa 例例 3 计算 n n 2 阶行列式 0001 0000 0000 1000 a a Da a 解解 按第一行展开 得 1 000 000 000 000 1 000 000 1000 n a a a a Da a a 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开 则可得到 111 2222 111 nn nnnnn Daaaaaa 2 5 递 逆 推公式法 递推法是根据行列式的构造特点 建立起 与 的递推关系式 逐 步推下去 从而求出 的值 有时也可以找到 与 的递推关系 最后利用 得到 的值 注意 注意 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的 话 即很难找出递推关系式 从而不能使用此方法 例例 1 1 计算行列式 1000 000 0010 001 000 n D 解 将行列式按第列展开 有 n 21 nnn DDD 112112 nnnnnnnn DDDDDDDD 得 nn nnnn DDDDDD 12 2 32 2 1 同理得 n nn DD 1 1 11 nn n n n D 例例 2 2 计算 ayyy xayy xxay xxxa Dn 解 1 1 1 1 01 001 0001 0 0 0 n n n n xayDya xaxyxy xaxy xa yDya ayyy xayy xxay xxxy ayy xay xxa xxxya D 同理 1 1 n nn yaxDxaD 联立解得 yx yx xayyax D nn n 当时 yx 121 12 211 2 2 2 1 nn nnn nnn Dax Dx axaxDx ax axDnx axaxanx 例例 3 计算 n 阶行列式 1221 1000 0100 0000 0001 n nnn x x x D x aaaaax 解解 首先建立递推关系式 按第一列展开 得 111 11 12321 1000 10000 0100 1000 0000 111 0100 0001 0001 nnn nnnnnn nnn x x x x DxaxDaxDax x x aaaaax 这里与有相同的结构 但阶数是的行列式 1n D n D1n 现在 利用递推关系式计算结果 对此 只需反复进行代换 得 22122 21213211221 nn nnnnnnnnnnnnnn Dx xDaax DaxaxxDaaxaxDa xaxaxa 因 故 111 Dxaxa 1 11 nn nnn Dxa xaxa 最后 用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的 当时 显然成立 设对阶的情形结果正确 往证对 n 阶的情形也1n 1n 正确 由 121 112111 nnnn nnnnnnnn DxDax xa xaxaaxa xaxa 可知 对 n 阶的行列式结果也成立 根据归纳法原理 对任意的正整数 n 结 论成立 例例 4 证明 n 阶行列式 210000 121000 1 000121 000012 n Dn 证明证明 按第一列展开 得 210000100000 121000121000 2 000121000121 000012000012 n D 其中 等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式 n D1n 记作 第二个行列式 若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构 1n D n D 但阶数为的行列式 记作 2n 2n D 这样 就有递推关系式 12 2 nnn DDD 因为已将原行列式的结果给出 我们可根据得到的递推关系式来证明这个 结果是正确的 当时 结论正确 当时 结论正确 1n 1 2D 2n 2 21 3 12 D 设对的情形结论正确 往证时结论也正确 1kn kn 由 可知 对 n 阶行列式结果也成立 12 2211 nnn DDDnnn 根据归纳法原理 对任意的正整数 n 结论成立 例例 5 5 2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 10 小题要证如下行 列式等式 000 100 0100 0001 n D 11 nn n D 证明 其中 虽然这是一道证明题 但我们可以直接求出其值 从而证之 分析 分析 此行列式的特点是 除主对角线及其上下两条对角线的元素外 其余的元素都为零 这种行列式称 三对角 行列式 1 从行列式的左上方往 右下方看 即知 Dn 1与 Dn具有相同的结构 因此可考虑利用递推关系式计算 证明 证明 Dn按第 1 列展开 再将展开后的第二项中 n 1 阶行列式按第一行展 开有 12nnn DDD 这是由 Dn 1 和 Dn 2表示 Dn的递推关系式 若由上面的递推关系式从 n 阶逐 阶往低阶递推 计算较繁 注意到上面的递推关系式是由 n 1 阶和 n 2 阶行列 式表示 n 阶行列式 因此 可考虑将其变形为 11212nnnnnn DDDDDD 或 11212nnnnnn DDDDDD 现可反复用低阶代替高阶 有 23 1122334 222 21 1 nnnnnnnn nnn DDDDDDDD DD 同样有 23 1122334 222 21 2 nnnnnnnn nnn DDDDDDDD DD 因此当时 由 1 2 式可解得 证毕 11nn n D 2 6 利用范德蒙行列式 根据行列式的特点 适当变形 利用行列式的性质 如 提取公因式 互换两行 列 一行乘以适当的数加到另一行 列 去 把所求行列式化 成已知的或简单的形式 其中范德蒙行列式就是一种 这种变形法是计算行列 式最常用的方法 例 1 计算行列式 12 222 1122 121212 1122 111 111 n nn nnnnnn nn xxx Dxxxxxx xxxxxx 解 把第 1 行的 1 倍加到第 2 行 把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行 以 此类推直到把新的第 n 1 行的 1 倍加到第 n 行 便得范德蒙行列式 12 222 12 1 111 12 111 n nij n ij nnn n xxx Dxxxxx xxx 例 2 计算阶行列1n 式 其中 1221 111111 11 1221 222222 22 1221 11111111 nnnnn nnnnn nnnnn nnnnnnnn aabababb aababa bb D aabababb 121 0 n a aa 解解 这个行列式的每一行元素的形状都是 n kk ii ab 0 1 2 n 即按降幂排列 按升幂排列 且次数之和都是 n 又k i a i b 因 若在第 i 行 1 2 n 提出公因子 则 D 可化为一个转置0 i a i n i a 的范德蒙行列式 即 2 111 111 2 2221 121 222 11111 2 111 111 1 1 1 n n n j nnnni niijij ij inj in ij n nnn nnn bbb aaa bbb b b Da aaab aa b aaa aa bbb aaa 例例 3 3 计算行列式 xyxzyz zyx zyx D 222 解 222 222 1 3 22 222 1 3 yzxzxyxzyzxy xzyzxyzxzyzxyyxzyzxyx zyx zyx xyzyzxzyzyyzxzxy zyx zyx D x zy 例例 4 4 计算行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 解 作如下行列式 使之配成范德蒙行列式 nn n nn nn n nn nn n nn n n yxxx yxxx yxxx yxxx yxxx yP 21 111 2 1 1 222 2 2 1 222 2 2 1 21 1111 nij ji n i i xxxy 11 易知等于中 的系数的相反数 而中 的系数为 n D yP 1 n y yP 1 n y 因此 nij ji n k k xxx 11 n knij jikn xxxD 11 例例 5 计算 n 阶行列式 1111 2222 1 2 1 1 2 1 121 1111 nnnn nnnn n ananaa ananaa D ananaa 解 显然该题与范德蒙行列式很相似 但还是有所不同 所以先利用行列 式的性质把它化为范德蒙行列式的类型 先将的第 n 行依次与第 n 1 行 n 2 行 2 行 1 行对换 再将得到到的 新的行列式的第 n 行与第 n 1 行 n 2 行 2 行对换 继续仿此作法 直到 最后将第 n 行与第 n 1 行对换 这样 共经过 n 1 n 2 2 1 n n 1 2 次行对换后 得到 1 2 2222 1111 1111 121 1 1 2 1 1 2 1 n n n nnnn nnnn ananaa D ananaa ananaa 上式右端的行列式已是范德蒙行列式 故利用范德蒙行列式的结果得 1 1 22 11 1 1 n nn n n j i nj i n Danianjij 2 7 加边法 升阶法 加边法 又称升阶法 是在原行列式中增加一行一列 且保持原行列式不 变的方法 它要求 1 保持原行列式的值不变 2 新行列式的值容易计算 根据需要和原 行列式的特点选取所加的行和列 加边法适用于某一行 列 有一个相同的字 母外 也可用于其第 列 行 的元素分别为 n 1 个元素的倍数的情况 例 1 计算 n 阶行列式 12 12 12 12 n n nn n xaaa axaa Daaa aaxa 解 1 1 0 0 n n n aa D D 12 1 100 2 1100 100 n i aaa x inx x 第行减第1行 12 1 1 000 000 000 n j n j a aaa x x x x 1 1 n jn j a x x 例 2 计算 n n 2 阶行列式 其中 1 2 3 1111 1111 1111 1111 n n a a Da a 12 0 n a aa 解解 先将添上一行一列 变成下面的阶行列式 n D1n 显然 1 12 1111 0111 0111 0111 n n a Da a 1nn DD 将的第一行乘以后加到其余各行 得 1n D 1 1 12 1111 100 1010 100 n n a Da a 因 将上面这个行列式第一列加第 i 列的倍 得 0 i a 2i 1n 1 1 i a 1 1 1 12 2 1 2 12 11 1 11111111 100 000 100 000 100 000 00 00 11 1 1 00 n i i nn n n nn n ii ii n a a a DDa a a a a a a aa aa a A 2 8 数学归纳法 当 与 是同型的行列式时 可考虑用数学归纳法求之 一般是利 用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值 再用数学归纳法给出猜想的证明 因 此 数学归纳法一般是用来证明行列式等式 因为给定一个行列式 要猜想其 值是比较难的 所以是先给定其值 然后再去证明 数学归纳法的步骤大家都 比较熟悉 这里就不再说了 例 1 计算 n 阶行列式 1221 1000 0100 0001 n nnn x x D x aaaaax 解 用数学归纳法 当 n 2 时 212 21 1 x Dx xaa axa 2 12 xa xa 假设 n k 时 有 12 121 kkk kkk Dxa xa xaxa 则当 n k 1 时 把 Dk 1按第一列展开 得 11kkk DxDa 1 111 kk kkk x xa xaxaa 12 111 kk kkk xa xaxa xa 由此 对任意的正整数 n 有 12 121 nn nnnn Dxa xaxaxa 例例 2 2 计算行列式 cos21000 1cos2000 00cos210 001cos21 0001cos n D 解解 于是猜想 2cos cos 21 DD nDncos 证明证明 对级数用第二数学归纳法证明 时 结论成立 假设对级数小于时 结论成立 将级行列式按第行1 nnnn 展开 有 nn nnn nn DD DD n n n n n n nn cos 1cos sin 1sin cos 1cos 1cos cos2 2cos 1 1cos cos2 1 cos2 11000 0cos2000 00cos210 001cos21 0001cos 1 cos2 12 2 12 1 1 12 1 例例 3 计算行列式 解 解 猜测 证明 1 n 1 2 3 时 命题成立 假设 n k 1 时命题成立 考察 n k 的情形 故命题对一切自然数n 成立 2 9 拆开法 拆项法是将给定的行列式的某一行 列 的元素写成两数和的形式 再利 用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和 把一个复杂的行列式简化成两 个较为简单的 使问题简化以利计算 例 1 计算行列式 n D 112 122 12 n n nn aaa aaa aaa 解 n D 12 122 12 n n nn aaa aaa aaa 12 22 0 00 n n nn aa aa a 12 2 0 00 n n n aaa a 11n D 1211nn aD 12 1 1 n i n i i a 例 2 计算 n n 2 阶行列式 11121 21222 12 12 12 12 n n n nnnn x yx ynx y x yx ynx y D x yx ynx y 解解 将按第一列拆成两个行列式的和 即 n D 12111121 22221222 212 122 122 122 nn nn n nnnnnnn x ynx yx yx ynx y x ynx yx