第八章解析几何章末质量检测

1 第八章第八章 解析几何解析几何 自我评估 考场亮剑 收获成功后进入下一章学习 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2009 天津河西期末 点 P 2 1 到直线 2x y 5 的距离为 A B C D 2 5 5 8 5 5 2 5 8 5 解析 点 P 到直线的距离 d 2 2 1 5 22 1 8 5 5 答案 B 2 2010 苏州模拟 若 ab 0 则过点 P与 Q的直线 PQ 的倾斜角的取值范 0 1 b 1 a 0 围是 A B C D 0 2 2 2 2 0 解析 kPQ ab 0 0 即 k4 点 P 在圆外 故过点 P 与圆相切的直线有两条 答案 A 5 直线 2x y 2 0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 所得的直线方程是 2 A x 2y 4 0 B x 2y 4 0 C x 2y 4 0 D x 2y 4 0 解析 由题意知 两直线垂直 且已知直线过点 0 2 所求直线斜率为 1 2 所求直线方程为 y 2 x 即 x 2y 4 0 1 2 答案 D 6 2010 广州调研 已知点 A 1 0 直线 l y 2x 4 点 R 是直线 l 上的一点 若 则点 P 的轨迹方程为 RA AP A y 2x B y 2x C y 2x 8 D y 2x 4 解析 设点 P x y R x1 y1 AP RA 1 x1 y1 x 1 y Error Error 即Error Error 又点 R 在直线 l 上 y 2 2 x 4 即 2x y 0 为所求 答案 B 7 过点 0 1 的直线与 x2 y2 4 相交于 A B 两点 则 AB 的最小值为 A 2 B 2 C 3 D 2 35 解析 当过点 0 1 的直线与直径垂直且 0 1 为垂足时 AB 最小值为 2 3 答案 B 8 如右图 F1和 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的 x2 a2 y2 b2 两个焦点 A 和 B 是以 O 为圆心 以 OF1 为半径的圆 与该双曲线左支的两个交点 且 F2AB 是等边三角形 则双曲线的离心率为 A B C D 1 35 5 23 解析 连结 AF1 则 F1AF2 90 AF2B 60 AF1 F1F2 c 1 2 3 AF2 F1F2 c 3 23 c c 2a e 1 3 c a 2 3 13 答案 D 9 2009 海淀模拟 若直线 l1 y k x 4 与直线 l2关于点 2 1 对称 则直线 l2恒过定点 A 0 4 B 0 2 C 2 4 D 4 2 解析 直线 l1恒过定点 4 0 点 4 0 关于点 2 1 对称的点为 0 2 由题意知 l2恒过点 0 2 答案 B 10 抛物线 y2 2px p 0 的准线经过等轴双曲线 x2 y2 1 的左焦点 则 p A B C 2 D 4 2 2222 解析 双曲线 x2 y2 1 的左焦点为 0 故抛物线的准线为 2 x p 2 2 p 222 答案 C 11 若直线 ax by 1 0 a b 0 过圆 x2 y2 8x 2y 1 0 的圆心 则 的最小值 1 a 4 b 为 A 8 B 12 C 16 D 20 解析 由题意知 圆心坐标为 4 1 由于直线过圆心 所以 4a b 1 从而 4a b 8 8 2 4 16 当且仅当 b 4a 时取 1 a 4 b 1 a 4 b b a 16a b 答案 C 12 2010 诸城模拟 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 的 直线 l 交抛物线于点 A B 如图所示 交其准线于点 C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则此抛物线的方程为 A y2 9x B y2 6x C y2 3x D y2 x 3 解析 点 F 到抛物线准线的距离为 p 又由 BC 2 BF 得点 B 到准线的距离为 BF 则 l 与准线夹角为 30 BF BC 1 2 则直线 l 的倾斜角为 60 由 AF 3 如图连结 AH HC 4 EF AH 则 AE 3 p 则 cos60 故 p 3 p 3 3 2 抛物线方程为 y2 3x 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将答案填写在题中的横线上 13 2009 杭州模拟 直线 x 2y 2 0 经过椭圆 1 a b 0 的一个焦点和一个顶 x2 a2 y2 b2 点 则该椭圆的离心率等于 解析 直线过点 2 0 和 0 1 即为椭圆的一个焦点和一个顶点 又 a b 0 焦点 在 x 轴上 c 2 b 1 a e 22 125 2 5 5 答案 2 5 5 14 设 a b c 分别是 ABC 中 A B C 所对边的边长 则直线 x sinA ay c 0 与 bx y sinB sinC 0 的位置关系是 解析 在 ABC 中 由正弦定理得 a sinA b sinB asinB bsinA 0 两直线垂直 答案 垂直 15 2009 全国卷 已知圆 O x2 y2 5 和点 A 1 2 则过 A 且与圆 O 相切的直线与 两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 依题意过 A 1 2 作圆 x2 y2 5 的切线方程为 x 2y 5 在 x 轴上的截距为 5 在 y 轴上的截距为 切线与坐标轴围成的面积 S 5 5 2 1 2 5 2 25 4 答案 25 4 16 2009 湖南高考 过双曲线 C 1 a 0 b 0 的一个焦点作圆 x2 y2 a2的 x2 a2 y2 b2 两条切线 切点分别为 A B 若 AOB 120 O 是坐标原点 则双曲线 C 的离心率 为 解析 AOB 120 AOF 60 在 Rt OAF 中 OA a OF c 5 e 2 c a OF OA 1 cos60 答案 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 A x1 y1 B x2 y2 分别在直线 x y 7 0 及 x y 5 0 上 求 AB 中点 M 到原点距离的最小值 解 设 AB 中点为 x0 y0 Error Error 又 Error Error x1 x2 y1 y2 12 2x0 2y0 12 x0 y0 6 原点到 x0 y0 6 距离为所求 即 d 3 6 22 18 本小题满分 12 分 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为圆心的圆与直线 x y 4 相 3 切 1 求圆 O 的方程 2 圆 O 与 x 轴相交点 A B 两点 圆内的动点 P 使 PA PO PB 成等比数列 求 的取值范围 PA PB 解 1 依题设 圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x y 4 的距离 即 3 r 2 4 1 3 得圆 O 的方程为 x2 y2 4 2 不妨设 A x1 0 B x2 0 x1 x2 由 x2 4 即得 A 2 0 B 2 0 设 P x y 由 PA PO PB 成等比数列 得 x2 y2 x 2 2 y2 x 2 2 y2 即 x2 y2 2 2 x y 2 x y x2 4 y2PA PB 2 y2 1 由于点 P 在圆 O 内 故Error Error 由此得 y2 1 所以 的取值范围为 2 0 PA PB 19 本小题满分 12 分 已知点 x y 在曲线 C 上 将此点的纵坐标变为原来的 2 倍 对 6 应的横坐标不变 得到的点满足方程 x2 y2 8 定点 M 2 1 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m m 0 直线 l 与曲线 C 交于 A B 两个不同点 1 求曲线 C 的方程 2 求 m 的取值范围 解 1 在曲线 C 上任取一个动点 P x y 则点 x 2y 在圆 x2 y2 8 上 所以有 x2 2y 2 8 整理得曲线 C 的方程为 1 x2 8 y2 2 2 直线 l 平行于 OM 且在 y 轴上的截距为 m 又 kOM 1 2 直线 l 的方程为 y x m 1 2 由Error Error 得 x2 2mx 2m2 4 0 直线 l 与椭圆交于 A B 两个不同点 2m 2 4 2m2 4 0 解得 2 m 2 且 m 0 m 的取值范围是 2 m 0 或 0 mb 0 x2 a2 y2 b2 则Error Error Error Error 所以所求椭圆的方程是 1 x2 8 y2 4 2 由 1 得椭圆的左右焦点分别是 F1 2 0 F2 2 0 F2C b 0 的一个顶点为 A 0 2 离心率 e x2 a2 y2 b2 6 3 1 求椭圆的方程 2 直线 l y kx 2 k 0 与椭圆相交于不同的两点 M N 且满足 MP PN 0 求直线 l 的方程 AP MN 解 1 设 c 依题意 a2 b2 得Error Error 即Error Error a2 3b2 12 即椭圆方程为 1 x2 12 y2 4 2 0 AP MN MP PN AP AP 且点 P 是线段 MN 的中点 由Error Error 消去 y 得 x2 3 kx 2 2 12 即 1 3k2 x2 12kx 0 由 k 0 得方程 中 12k 2 144k2 0 显然方程 有两个不相等的实数根 设 M x1 y1 N x2 y2 线段 MN 的中点 P x0 y0 则 x1 x2 x0 12k 1 3k2 x1 x2 2 6k 1 3k2 y0 kx0 2 6k2 2 1 3k2 1 3k2 2 1 3k2 即 P 6k 1 3k2 2 1 3k2 k 0 直线 AP 的斜率为 8 k 1 2 1 3k2 2 6k 1 3k2 2 2 1 3k2 6k 由 MN AP 得 k 1 2 2 1 3k2 6k 2 2 6k2 6 解得 k 3 3 故直线方程为 y x 2 3 3 22 本小题满分 14 分 抛物线的顶点在原点 焦点在 x 轴的正半轴上 直线 x y 1 0 与抛物线相交于 A B 两点 且 AB 8 6 11 1 求抛物线的方程 2 在 x 轴上是否存在一点 C 使 ABC 为正三角形 若存在 求出 C 点的坐标 若 不存在 请说明理由 解 1 设所求抛物线的方程为 y2 2px p 0 由Error Error 消去 y 得 x2 2 1 p x 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 2 1 p x1 x2 1 AB 8 6