江苏省2012届高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法专题训练

用心 爱心 专心1 专题七专题七 数学思想方法数学思想方法 分类讨论思想分类讨论思想 第第1 18 8讲讲 1 若 A x x2 1 0 x R R B x mx 1 且 A B B 则实数 m 的值是 2 函数 f x Error 的零点个数为 3 若 loga0 a 1 在区间内单调递增 则 a 的取值范 1 2 0 围是 8 已知函数 f x Error 则满足不等式 f 1 x2 f 2x 的 x 的范围是 9 已知 an 是以 a 为首项 q 为公比的等比数列 Sn为它的前 n 项和 当 Sm Sn Sl成等差数 列时 求证 对任意自然数 k am k an k al k也成等差数列 10 已知函数 f x ax3 x2 1 x R R 其中 a 0 若在区间上 f x 0 恒成 3 2 1 2 1 2 立 求 a 的取值范围 函数与方程思想 第19讲 用心 爱心 专心2 1 已知函数 f x loga x2 2a 2 对任意 x 都有意义 则实数 a 的取值 1 2 范围是 2 方程 sin2x cosx 在区间 0 2 内解的个数是 3 已知 f x log2 x 2 若实数 m n 满足 f m f 2n 3 则 m n 的最小值是 4 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 x2 4 y2 3 则 的最大值为 OP FP 5 已知圆 O x2 y2 1 圆 C x 2 2 y 4 2 1 由圆外一点 P a b 作两圆的 切线 PA PB 切点分别为 A B 满足 PA PB 则实数 a b 满足的等量关系是 6 已知 a R R 若关于 x 的方程 x2 2x a 1 a 0 有实根 则 a 的取值范围是 7 设曲线 y xn 1 n N N 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn 令 an lgxn 则 a1 a2 a99的值为 8 已知抛物线 y2 2x 点 P a 0 a R R 点 Q x y 为抛物线上任意一点 当且仅当 点 Q 为抛物线的顶点时 PQ 取最小值 则实数 a 的取值范围是 用心 爱心 专心3 9 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a3 12 S12 0 S132 的解集为 1 8 4 当 时 则 tan sin cos 的大小关系为 4 2 5 若复数 z x yi x y R R 满足 z 1 i 1 则的取值范围是 y x 1 6 已知数列 an 是等差数列 Sn为 an 的前 n 项和 S5S8 则下列四个结 论中 正确的有 填上所有正确结论的序号 dS5 S6与 S7均为 Sn的最大值 7 函数 f x sinx 2 sinx x 0 2 的图象与直线 y k 有且仅有 2 个不同的交 点 则实数 k 的取值范围是 8 在 ABCD 中 已知 AB 2 AD 1 DAB 60 点 M 为 AB 的中点 点 P 在 BC 与 CD 上运动 包括端点 则 的取值范围是 AP DM 第 8 题 用心 爱心 专心5 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 P 是函数 f x ex x 0 的图象上的动点 该 图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N 设线段 MN 的中点的 纵坐标为 t 求 t 的最大值 10 已知 a 是实数 函数 f x 2ax2 2x 3 a 如果函数 y f x 在区间 1 1 上 有零点 求 a 的取值范围 用心 爱心 专心6 转化与化归思想 第21讲 1 设 a b R R a2 b2 1 则 a b 的最小值是 2 设函数 f x x R R 为奇函数 f 1 f x 2 f x f 2 则 f 5 1 2 3 以点 2 1 为圆心且与直线 x y 6 相切的圆的方程是 4 函数 f x cos2x 2sinxcosx 的最小正周期为 3 5 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 等差数列 bn 的前 n 项和为 Tn 且 则 Sn Tn 3n 2 n 1 a6 b6 6 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 ABC 的顶点 A 4 0 和 C 4 0 顶点 B 在椭圆 1 上 则 x2 25 y2 9 sinA sinC sinB 7 设 a b c 0 且 a a b c bc 4 2 则 2a b c 的最小值是 3 8 已知函数 f x 2x2 4 m x 4 m g x mx 若对于任一实数 x f x 与 g x 的值至少有一个为正数 则实数 m 的取值范围是 用心 爱心 专心7 9 设 a 0 f x x 1 ln2x 2alnx x 0 1 令 F x xf x 讨论 F x 在 0 内的单调性并求极值 2 求证 当 x 1 时 恒有 x ln2x 2alnx 1 10 设函数 f x x alnx a R R 1 x 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 有两个极值点 x1和 x2 记过点 A x1 f x1 B x2 f x2 的直线的斜率 为 k 问 是否存在 a 使得 k 2 a 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心8 滚动练习 七 1 已知集合 A 3 m2 B 1 3 2m 1 若 A B 则实数 m 的值为 2 双曲线 x2 1 的渐近线方程为 y2 4 3 若复数 z 1 mi i 为虚数单位 m R R z2 2i 则复数 z 的虚部为 4 若 an 为等差数列 Sn是其前 n 项的和 且 S11 则 tana6的值为 22 3 5 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m n 作为点 P 的横 纵坐标 则点 P 在直线 x y 5 上的概率为 6 执行右边的程序框图 若 P 15 则输出的 n 第 6 题 7 函数 f x x 2lnx 的单调递增区间为 8 已知函数 f x Error 则 f的值是 f 1 4 9 设向量a a cos sin b b cos sin 其中 0 b 0 其中 a2 b2 c2 的左 右顶点分别为 D B M 与 y2 a2 x2 b2 x 轴的两个交点分别为 A C 且 A 点在 B 点右侧 C 点在 D 点右侧 求椭圆离心率的取值范围 若 A B M O C D O 为坐标原点 依次均匀分布在 x 轴上 问直线 MF1与直线 DF2 的交点是否在一条定直线上 若是 请求出这条定直线的方程 若不是 请说明理由 专题七 数学思想方法 第 18 讲 分类讨论思想 1 1 0 1 解析 分 m 0 m 0 两种情况写出集合 B 2 2 解析 分别讨论 令 f x 0 得 x 3 和 x e2 3 0 a 或 a 1 解析 分 0 a 1 和 a 1 两种情况讨论 2 3 4 Sn Error 解析 分 x 1 和 x 1 两种情况讨论 利用等比数列求和公式 5 3 或 解析 分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况 1 3 6 1 解析 m 0 符合题意 由于 f 0 1 m 0 也符合题意 m 0 时 则Error 0 m 1 综上 m 1 7 解析 当 0 a 1 时 函数 y x3 ax 在上单调减 3 4 1 1 2 0 y x 3x2 a 0 对 x 恒成立 从而 a 1 1 2 0 3 4 当 a 1 时 函数 y x3 ax 在上单调增 而 y x 3x2 a 0 对 x 1 2 0 不恒成立 故 a 的取值范围是 1 2 0 3 4 1 8 1 1 解析 分 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1 四种情况 2 9 证明 若 q 1 则 an 的每项 an a 此时 am k an k al k显然成等差数列 若 q 1 由 Sm Sn Sl成等差数列可得 Sm Sl 2Sn 即 a qm 1 q 1 a ql 1 q 1 整理得 qm ql 2qn 2a qn 1 q 1 因此 am k al k aqk 1 qm ql 2aqn k 1 2an k 所以 am k an k al k也成等差数列 10 解 f x 3ax2 3x 3x ax 1 令 f x 0 解得 x 0 或 x 1 a 以下分两种情况讨论 1 若 0 a 2 则 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 a 1 2 用心 爱心 专心12 x 1 2 0 0 0 1 2 f x 0 f x 极大值 当 x 时 f x 0 等价于Error 即Error 1 2 1 2 解不等式组得 5 a2 则 0 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 a 1 2 x 1 2 0 0 0 1 a 1 a 1 a 1 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 当 x 时 f x 0 等价于Error 即Error 1 2 1 2 解不等式组得 a 5 或 a 因此 2 a 5 2 2 2 2 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 5 用心 爱心 专心13 第 19 讲 函数与方程思想 1 解析 x2 2a 2 0 对 x 恒成立 又由题知 0 1 4 1 2 a 0 a 1 2 2a 2 0 0 a 1 2 1 4 2 4 解析 sin2x cosx 即 cosx 0 或 sinx 在 x 0 2 内 x 1 2 2 3 2 6 共 4 个解 5 6 3 7 解析 由 f m f 2n 3 得 log2 m 2 log2 2n 2 3 解得 m m n n 3 n 1 7 当且仅当 n 3 时取等号 2 n 1 n 1 2 n 1 n 1 4 n 1 4 6 解析 设 P x y F 1 0 x y x 1 y OP FP x2 x y2 又 1 y2 3 x2 x 2 2 OP FP x2 4 y2 3 3 4 2 2 2 6 OP FP 1 2x 1 5 a 2b 5 0 解析 PA PB 则 PA2 PB2 PA2 PO2 1 PB2 PC2 1 a2 b2 a 2 2 b 4 2 整理得 a 2b 5 0 6 1 0 解析 方程 x2 2x a 1 a 0 可化为 a 1 a x2 2x 函数 f x x2 2x x 1 2 1 1 a 1 a 1 解得 1 a 0 本题也可 用判别式来解决 7 2 解析 y n 1 xn 切线斜率为 n 1 切线方程为 y n 1 x n xn an lg a1 a2 a99 lg x1x2x3 x99 lg lg 2 n n 1 n n 1 1 2 2 3 99 100 1 100 8 a 1 解析 PQ 则 a 1 0 即 x a 2 y2 x a 1 2 2a 1 a 1 9 解 1 由 a3 12 得 a1 12 2d S12 12a1 66d 144 42d 0 S13 13a1 78d 156 52d 0 d 3 24 7 2 Sn na1 d dn2 n n n 1 2 1 2 12 5 2d d 0 Sn是关于 n 的二次函数 对称轴方程为 x 5 2 12 d 又 d 3 6 当 n 6 时 Sn最大即 S6最大 24 7 5 2 12 d 13 2 另外 本题也可利用等差数列的性质来解决 S12 0 S13 0 即 12 0 a6 a7 2 13 0 a6 0 a7 0 S6最大 2a14 2 10 解 1 依题意 h x lnx x2 bx h x 在 0 上是增函数 h x 2x b 0 对 x 0 恒成立 b 2x x 0 2x 2 1 x 1 x 1 x2 用心 爱心 专心14 当且仅当 x 时取等号 b 的取值范围是 2 2 22 2 设 t ex 则函数化为 y t2 bt t 1 2 y 2 t b 2 b2 4 当 1 即 2 b 2时 函数 y 在 1 2 上为增函数 当 t 1 时 b 22 ymin b 1 当 1 2 即 4 b 2 t 时 ymin b 2 b 2 b2 4 当 2 即 b 4 时 函数 y 在 1 2 上是减函数 t 2 ymin 4 2b b 2 综上所述 x min Error 3 设点 P Q 的坐标是 x1 y1 x2 y2 且 0 x1 x2 则点 M N 的横坐标为 x x1 x2 2 C1在点 M 处的切线斜率为 k1 x 1 x x1 x2 2 2 x1 x2 C2在点 N 处的切线斜率为 k2 ax bx b x1 x2 2 a x1 x2 2 假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线平行 则 k1 k2 即 b 2 x1 x2 a x1 x2 2 则 b x2 x1 2 x2 x1 x1 x2 a x2 2 x2 1 2 a 2x2 2 bx2 a 2x2 1 bx1 y2 y1 lnx2 lnx1 ln ln x2 x1 x2 x1 2 x2 x1 x1 x2 2 x2 x1 1 1 x2 x1 设 u 1 则 lnu u 1 x2 x1 2 u 1 1 u 令 r u lnu u 1 则 r u 2 u 1 1 u 1 u 4 u 1 2 u 1 2 u u 1 2 u 1 r u 0 r u 在 1 上单调递增 故 r u r 1 0 则 lnu 与 矛盾 2 u 1 u 1 故不存在点 R 使 C1在 M 处的切线与 C2在 N 处的切线平行 用心 爱心 专心15 第 20 讲 数形结合思想 1 1 解析 利用韦恩图可以解决 2 解析 这是一道几何概率题 P 2 d的测度 D的测度 边长为 2的正方形面积 半径为1的圆的面积 3 解析 f x 在 0 上是增函数 f log x 2 x0 x 1 2或x 2 1 8 即 f f 亦即 即 log x 或 log x 解得 0 x 或 log 1 8x 1 3 log 1 8x 1 3 1 8 1 3 1 8 1 3 1 2 x 2 4 cos sin tan 解析 画三角函数线 利用单位圆 5 解析 点 z x y 在以 1 1 为圆心 1 为半径的圆上动点 看成是圆 0 4 3 y x 1 上的点与点 1 0 连线的斜率 6 7 1 3 解析 由 f x sinx 2 sinx x 0 2 得 f x Error 画出函数 的图象可得 1 k 3 8 解析 以 A 为坐标原点 AB 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 则 1 2 1 A 0 0 M 1 0 B 2 0 D C 1 2 3 2 5 2 3 2 设 P x y x 则 x y 1 2 5 2 AP DM 1 2 3 2 P 在 DC 上时 y 则 x 3 2 AP DM 1 2 3 4 1 2 1 2 P 在 BC 上时 BC 所在直线方程为 y x 2 3 3 x x 3 x AP DM 2 5 2 AP DM 1 2 1 综上 的取值范围是 AP DM 1 2 1 9 解 设 P x0 ex0 则 l y ex0 ex0 x x0 M 0 1 x0 ex0 过点 P 作 l 的垂线方程为 y ex0 e x0 x x0 N 0 ex0 x0e x0 t 1 x0 ex0 ex0 x0e x0 ex0 x0 e x0 ex0 1 2 1 2 t ex0 e x0 1 x0 t 在 0 1 上单调增 在 1 上单调减 1 2 当 x0 1 时 tmax 1 2 e 1 e 10 解 若 a 0 f x 2x 3 显然在 1 1 上没有零点 所以 a 0 令 4 8a 3 a 8a2 24a 4 0 解得 a 3 7 2 当 a 时 函数 y f x 在 1 1 上恰有一个零点 3 7 2 当 f 1 f 1 a 1 a 5 0 即 1 a 5 时 y f x 在 1 1 上也恰有一个零点 如图 1 用心 爱心 专心16 图 1 图 2 图 3 当 y f x 在 1 1 上有两个零点时 如图 2 或图 3 则 Error 或Error 解得 a 5 或 a 3 7 2 综上所求 实数 a 的取值范围是 a 1 或 a 3 7 2 用心 爱心 专心17 第 21 讲 转化与化归思想 1 解析 利用 2可得到 也可以用圆的性质来处理 2 a2 b2 2 a b 2 2 3 x 2 2 y 1 2 4 5 2 25 2 5 解析 35 12 a6 b6 S11 T11 6 解析 点 A C 是椭圆的两个焦点 5 4 sinA sinC sinB BA BC AC 2a 2c a c 5 4 7 2 1 解析 由 a a b c bc 4 2 得 a b a c 4 2 333 2a b c a b a c 2 2 2 2 a b a c 3 1 23 8 4 解析 由 f x 2x2 4 m x 4 m 得 m2 16 0 故 m 4 4 f x 0 恒成立 若 m 4 x 0 时 g x 0 恒成立 但 f 0 0 故 m 4 不成立 若 m 4 x 0 时 g x 0 恒成立 而 x 0 时 函数 f x 单 调增 f 0 0 恒成立 综上实数 m 的取值范围是 m 4 9 1 解 根据求导法则有 f x 1 x 0 2lnx x 2a x 故 F x xf x x 2lnx 2a x 0 于是 F x 1 x 0 2 x x 2 x 列表如下 x 0 2 2 2 F x 0 F x 极小值 F 2 故知 F x 在 0 2 内是减函数 在 2 内是增函数 所以 在 x 2 处取得极小值 F 2 2 2ln2 2a 无极大值 2 证明 由 a 0 知 F x 的极小值 F 2 2 2ln2 2a 0 于是由上表知 对一切 x 0 恒有 F x xf x 0 从而当 x 0 时 恒有 f x 0 故 f x 在 0 内单调增加 所以当 x 1 时 f x f 1 0 即 x 1 ln2x 2alnx 0 故当 x 1 时 恒有 x ln2x 2alnx 1 10 解 1 f x 的定义域为 0 f x 1 1 x2 a x x2 ax 1 x2 令 g x x2 ax 1 其判别式 a2 4 当 a 2 时 0 f x 0 故 f x 在 0 上单调递增 当 a 2 时 0 g x 0 的两根都小于 0 在 0 上 f x 0 故 f x 在 0 上单调递增 当 a 2 时 0 g x 0 的两根为 x1 x2 a a2 4 2 a a2 4 2 当 0 x x1时 f x 0 当 x1 x x2时 f x 0 当 x x2时 f x 0 故 f x 分别在 0 x1 x2 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 2 由 1 知 a 2 用心 爱心 专心18 因为 f x1 f x2 x1 x2 a lnx1 lnx2 x1 x2 x1x2 所以 k 1 a f x1 f x2 x1 x2 1 x1x2 lnx1 lnx2 x1 x2 又由 1 知 x1x2 1 于是 k 2 a lnx1 lnx2 x1 x2 若存在 a 使得 k 2 a 则 1 即 lnx1 lnx2 x1 x2 亦即 lnx1 lnx2 x1 x2 x2 2lnx2 0 x2 1 1 x2 再由 1 知 函数 h t t 2lnt 在 0 上单调递增 而 x2 1 所以 1 t x2 2lnx2 1 2ln1 0 这与 式矛盾 1 x2 1 1 故不存在 a 使得 k 2 a 用心 爱心 专心19 滚动练习 七 1 1 解析 m2 2m 1 m 1 2 y 2x 3 1 解析 由 z2 2i 得 1 m2 2mi 2i Error m 1 4 解析 S11 11 11a6 a6 tana6 3 22 3 a1 a11 2 2 33 5 解析 这是一道典型的古典概率题 P 1 9 4 36 1 9 6 5 7 2 解析 函数 f x x 2lnx 的定义域为 0 f x 1 0 x 2 故函数单调递增区间为 2 2 x 8 解析 f log2 2 f 3 2 1 9 1 4 1 4 f 1 4 1 9 9 解析 a a b b 1 1 2a 2a b b a a 2b 2b 得 2a2a b b 2 2 a a 2b2b 2 2 2 a ba b 0 0 即 cos cos sin sin 0 亦即 cos 0 又 0 2 10 解析 PF2 2c 1 2 c 椭圆的离心率 e 1 1 3 2 5 c 5 c 5 2 10 3 c 5 c 5 5 c 1 3 2 5 11 解 由已知 得 tan A B tanA tanB 1 tanA tanB 3 3 3 3 0 A 0 B A B A B 2 2 2 2 6 1 由已知 得 cosC C a2 b2 c2 2ab 1 2 3 由Error 解得 A B A B C 5 12 4 5 12 4 3 2 3m3m 2n2n 2 2 9m9m2 2 4n4n2 2 12m n12m n 13 12 sinAcosB cosAsinB 13 12sin A B 13 12sin 2B 6 ABC 为锐角三角形 A B 6 C A B A B 2 6 2 B 2B 6 3 2 6 5 6 sin 2B 6 1 2 1 用心 爱心 专心20 3m 3m 2n 2n 2 13 12sin 1 7 2B 6 3m 3m 2n 2n 的取值范围是 1 7 12 1 证明 由已知得 MD 是 ABP 的中位线 MD AP MD 面 APC AP 面 APC MD 面 APC 2 证明 PMB 为正三角形 D 为 PB 的中点 MD PB AP PB 又 AP PC PB PC P