四川省德阳市2012高考数学难点37 数形结合思想

用心 爱心 专心 1 难点难点 3737 数形结合思想数形结合思想 数形结合思想在数形结合思想在高考中占有非常重要的地位 其高考中占有非常重要的地位 其 数数 与与 形形 结合 相互渗透 把结合 相互渗透 把 代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合 使代数问题 几何问题相互转化 使抽代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合 使代数问题 几何问题相互转化 使抽 象思维和形象思维有机结合象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想 就是充分考查数学问题的条件和结论之间应用数形结合思想 就是充分考查数学问题的条件和结论之间 的内在联系 既分析其代数意义又揭示其几何意义 将数量关系和空间形式巧妙结合 来的内在联系 既分析其代数意义又揭示其几何意义 将数量关系和空间形式巧妙结合 来 寻找解题思路 使问题得到解决寻找解题思路 使问题得到解决 运用这一数学思想 要熟练掌握一些概念和运算的几何意运用这一数学思想 要熟练掌握一些概念和运算的几何意 义及常见曲线的代数特征义及常见曲线的代数特征 难点磁场难点磁场 1 1 曲线曲线y y 1 1 2 2 x x 2 2 与直线与直线y y r r x x 2 42 4 有两个交点时 实数有两个交点时 实数r r的取值的取值 2 4x 范围范围 2 2 设设f f x x x x2 2 2 2axax 2 2 当当x x 1 1 时 时 f f x x a a恒成立 求恒成立 求a a的取值范围的取值范围 案例探究案例探究 例 例 1 1 设 设A A x x 2 2 x x a a B B y y y y 2 2x x 3 3 且 且x x A A C C z z z z x x2 2 且 且x x A A 若若C CB B 求实数 求实数a a的取值范围的取值范围 命题意图 本题借助数形结合 考查有关集合关系运算的题目命题意图 本题借助数形结合 考查有关集合关系运算的题目 属属 级题目级题目 知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区 间上的值域求法确定集合间上的值域求法确定集合C C 进而进而 将将C CB B用不等式这一数学语言加以转化用不等式这一数学语言加以转化 错解分析 考生在确定错解分析 考生在确定z z x x2 2 x x 2 2 a a 的值域是易出错 不能分类而论 的值域是易出错 不能分类而论 巧妙观巧妙观 察图象将是上策察图象将是上策 不能漏掉不能漏掉a a 2 2 这一种特殊情形这一种特殊情形 技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么 然后再把集合语言技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么 然后再把集合语言 翻译翻译 为为 一般的数学语言 进而分析条件与结论特点 再将其转化为图形语言 利用数形结合的思一般的数学语言 进而分析条件与结论特点 再将其转化为图形语言 利用数形结合的思 想来解决想来解决 解 解 y y 2 2x x 3 3 在 在 2 2 a a 上是增函数 上是增函数 1 1 y y 2 2a a 3 3 即 即B B y y 1 1 y y 2 2a a 3 3 作出作出z z x x2 2的图象 该函数定义域右端点的图象 该函数定义域右端点x x a a有三种不同的位置情况如下 有三种不同的位置情况如下 用心 爱心 专心 2 当当 2 2 a a 0 0 时 时 a a2 2 z z 4 4 即即C C z z z z2 2 z z 4 4 要使要使C CB B 必须且只须必须且只须 2 2a a 3 4 3 4 得得a a 与与 2 2 a a 0 0 矛盾矛盾 2 1 当当 0 0 a a 2 2 时 时 0 0 z z 4 4 即即C C z z 0 0 z z 4 4 要使 要使C CB B 由图可知 由图可知 必须且只需必须且只需 20 432 a a 解得解得 a a 2 2 2 1 当当a a 2 2 时 时 0 0 z z a a2 2 即 即C C z z 0 0 z z a a2 2 要使 要使C CB B必须且只需必须且只需 解得解得 2 2 a a 3 3 2 32 2 a aa 当当a a 2 2 时 时 A A 此时此时B B C C 则 则C CB B成立成立 综上所述 综上所述 a a的取值范围是的取值范围是 2 2 3 3 2 1 例 例 2 2 已知 已知a acoscos b bsinsin c c a acoscos b bsinsin c c abab 0 0 k k k k Z Z 求证 求证 22 2 2 2 cos ba c 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力 属属 级题目级题目 知知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由进而由A A B B两点坐两点坐 标特点知其在单位圆上标特点知其在单位圆上 错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义 是为瓶颈之一错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义 是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意如何巧妙利用其几何意 义是为瓶颈之二义是为瓶颈之二 技巧与方法 善于发现条件的几何意义 还要根据图形的性质分析清楚结论的几技巧与方法 善于发现条件的几何意义 还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义 这样才能巧用数形结合方法完成解题何意义 这样才能巧用数形结合方法完成解题 证明证明 在平面直角坐标系中 点在平面直角坐标系中 点A A coscos sin sin 与点 与点 B B coscos sinsin 是直线 是直线l l axax byby c c与单位圆与单位圆x x2 2 y y2 2 1 1 的的两个交点如图两个交点如图 用心 爱心 专心 3 从而 从而 ABAB 2 2 cos cos coscos 2 2 sin sin sinsin 2 2 2 2 2cos 2cos 又又 单位圆的圆心到直线单位圆的圆心到直线l l的距离的距离 22 ba c d 由由平面几何知识知 平面几何知识知 OAOA 2 2 ABAB 2 2 d d2 2即即 2 1 ba c d 2 2 2 4 cos 22 1 22 2 2 2 cos ba c 锦囊妙计锦囊妙计 应用数形结合的思想 应注意以下数与形的转化 应用数形结合的思想 应注意以下数与形的转化 1 1 集合的运算及韦恩图 集合的运算及韦恩图 2 2 函数及其图象 函数及其图象 3 3 数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 4 4 方程 多指 方程 多指二元方程 及方程的曲线二元方程 及方程的曲线 以形助数常用的有 借助数轴 借助函数图象 借助单位圆 借助数式的结构特征 以形助数常用的有 借助数轴 借助函数图象 借助单位圆 借助数式的结构特征 借助于解析几何方法借助于解析几何方法 以数助形常用的有 借助于几何轨以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系 迹所遵循的数量关系 借助于运算结果与几何定理借助于运算结果与几何定理 的结合的结合 歼灭难点训练歼灭难点训练 一 选择题一 选择题 1 1 方程 方程 sin sin x x x x的实数解的个数是的实数解的个数是 4 4 1 A 2A 2 B 3B 3 C 4C 4 D D 以上均不对以上均不对 2 2 已知 已知f f x x x x a a x x b b 2 2 其中 其中a a b b 且 且 是方程是方程f f x x 0 0 的两根 的两根 则实数 则实数a a b b 的大小关系为的大小关系为 A A a a b b B B a a b b C C a a b b D D a a b b 二 填空题二 填空题 用心 爱心 专心 4 3 3 4cos 4cos 3 3 2 2t t 2 2 3sin 3sin 1 21 2t t 2 2 t t为参数为参数 的最大值是的最大值是 4 4 已知集合 已知集合A A x x 5 5 x x B B x x x x2 2 axax x x a a 当 当A A B B 1 2 x 时 则时 则a a的取值范围是的取值范围是 三 解答题三 解答题 5 5 设关于 设关于x x的方程的方程 sinsinx x coscosx x a a 0 0 在 在 0 0 内有相异解 内有相异解 3 1 1 求 求a a的取值范围 的取值范围 2 2 求 求 tan tan 的值的值 6 6 设 设A A x x y y y y a a 0 0 B B x x y y x x 1 1 2 2 y y 3 3 22 2xa 2 2 a a2 2 a a 0 0 且且A A B B 求 求a a的最大值与最小值的最大值与最小值 7 7 已知 已知A A 1 1 1 1 为椭圆 为椭圆 1 1 内一点 内一点 F F1 1为椭圆左焦点 为椭圆左焦点 P P为椭为椭 59 22 yx 圆上一动点圆上一动点 求 求 P PF F1 1 PAPA 的最大值和最小值 的最大值和最小值 8 8 把一个长 宽 高分别为 把一个长 宽 高分别为 2525 cmcm 2020 cmcm 5 5 cmcm 的长方体木盒从一个的长方体木盒从一个 正正方形窗口穿过 那么正方形窗口的边长至少应为多少 方形窗口穿过 那么正方形窗口的边长至少应为多少 参参 考考 答答 案案 难点磁场难点磁场 1 1 解析 方程解析 方程y y 1 1 的曲线为半圆 的曲线为半圆 y y r r x x 2 42 4 为过 为过 2 2 4 4 的直线 的直线 2 4x 答案 答案 4 3 12 5 2 2 解法一 由解法一 由f f x x a a 在 在 1 1 上恒成立上恒成立x x2 2 2 2axax 2 2 a a 0 0 在 在 1 1 上上 恒成立恒成立 考查函数考查函数g g x x x x2 2 2 2axax 2 2 a a的图象在 的图象在 1 1 时位于 时位于x x轴上方轴上方 如图两种情况 如图两种情况 用心 爱心 专心 5 不等式的成立条件是 不等式的成立条件是 1 4 1 4a a2 2 4 24 2 a a 0 0a a 2 1 2 1 2 2 a a 3 3 2 2 综上所述 综上所述a a 3 1 3 1 0 1 1 0 g a 解法二 由解法二 由f f x x a ax x2 2 2 2 a a 2 2x x 1 1 令令y y1 1 x x2 2 2 2 y y2 2 a a 2 2x x 1 1 在同一坐标系中作出两个函数的图象在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线如图满足条件的直线l l位于位于l l1 1与与l l2 2之间 而直线之间 而直线l l1 1 l l2 2对应的对应的a a值 即直线的斜率 值 即直线的斜率 分别为分别为 1 1 3 3 故直线故直线l l对应的对应的a a 3 1 3 1 歼灭难点训练歼灭难点训练 一 一 1 1 解析 在同一坐标系内解析 在同一坐标系内作出作出y y1 1 sin sin x x 与与y y2 2 x x的图象如图的图象如图 4 4 1 答案 答案 B B 2 2 解析 解析 a a b b是方程是方程g g x x x x a a x x b b 0 0 的两根 在同一坐标系中作出函数的两根 在同一坐标系中作出函数f f x x g g x x 的图象如图所示 的图象如图所示 答案 答案 A A 用心 爱心 专心 6 二 二 3 3 解析 联想到距离公式解析 联想到距离公式 两点坐标为 两点坐标为A A 4cos 4cos 3sin 3sin B B 2 2t t 3 13 1 2 2t t 点点A A的几何图形是椭圆 点的几何图形是椭圆 点B B表示直线表示直线 考虑用点到直线的距离公式求解考虑用点到直线的距离公式求解 答案 答案 2 27 4 4 解析 解得解析 解得A A x x x x 9 9 或或x x 3 3 B B x x x x a a x x 1 0 1 0 画数轴可得 画数轴可得 答案 答案 a a 3 3 三 三 5 5 解 解 作出作出y y sin sin x x x x 0 0 及及y y 的图象 知当 的图象 知当 1 1 且且 3 2 a 2 a 2 a 时 曲线与直线有两个交点 故时 曲线与直线有两个交点 故a a 2 2 2 2 2 3 33 把把 sinsin coscos a a sin sin coscos a a相减得相减得 tantan 33 3 3 2 故故 tan tan 3 3 6 6 解 解 集合集合A A中的元素构成的图形是以原点中的元素构成的图形是以原点O O为圆心 为圆心 a a为半径的半圆 集合为半径的半圆 集合B B2 中的元素是以点中的元素是以点O O 1 1 为圆心为圆心 a a为半径的圆为半径的圆 如图所示如图所示3 A A B B 半圆半圆O O和圆和圆O O 有公共点有公共点 显然当半圆显然当半圆O O和圆和圆O O 外切时 外切时 a a最小最小 a a a a OOOO 2 2 a amin min 2 2 2 222 当半圆当半圆O O与圆与圆O O 内切时 半圆内切时 半圆O O的半径最大 即的半径最大 即a a最大最大 2 此时此时a a a a OOOO 2 2 a amax max 2 2 2 2 22 7 7 解 由解 由可知可知a a 3 3 b b c c 2 2 左焦点 左焦点F F1 1 2 0 2 0 右焦点右焦点F F2 2 2 0 2 0 由椭由椭1 59 22